/二次根式訓(xùn)練提高（201412１８)一.選擇題（共１4小題)1。（２010?自貢)已知n是一個正整數(shù),是整數(shù)，則n的最小值是()A。３B.5Ｃ.1５D。252．（200３?常州）式子、、、中，有意義的式子個數(shù)為（)A.１個B．2個C.3個Ｄ.4個３.(１９97?西寧)下列各式中、、、、、，二次根式的個數(shù)是(）A.4個B.３個C．2個D．1個4．若實數(shù)ａ滿足方程,則［a］=（)，其中[a］表示不超過a的最大整數(shù)．A。０B。1Ｃ．２D.３５．(2０1４?豐潤區(qū)二模）已知a為實數(shù)，則代數(shù)式的最小值為（）Ａ．0Ｂ．3Ｃ．Ｄ．９6．（2002?深圳)化簡二次根式，結(jié)果是(）A。﹣aＢ．﹣aC.aＤ．a(chǎn)7．(２010?江西)化簡的結(jié)果是(）A.3Ｂ.﹣3C．D.﹣8.（2０07?南京）下列各數(shù)中,與2的積為有理數(shù)的是（)A．２+B．２﹣C。﹣2+Ｄ.９．（２003?黃岡)下列各式經(jīng)過化簡后與不是同類二次根式的是（）A.B．Ｃ。Ｄ。10。(2００0?紹興）已知：,，則代數(shù)式（3ａ2﹣18ａ+15)(2b2﹣12b+1３)的值是（)A.6B。２4C．42D．９61１.觀察下列計算：?（+1)=（﹣1）（+１）=１，(+)（＋1）=［（﹣1）+(﹣)］(+1）=２,（++）(+1）=［（﹣１)+（﹣）+（﹣）］(+1）=３，…從以上計算過程中找出規(guī)律,并利用這一規(guī)律進行計算：（+++…＋）（+1）的值為（）A.2008Ｂ。２01０C。20１1Ｄ．２009１2．已知整數(shù)X，Y滿足，那么整數(shù)對（X，Ｙ）的個數(shù)是（）Ａ.2B。３C．４Ｄ。513.(1998?內(nèi)江）若，則x3﹣3x2+3ｘ的值等于（）Ａ。B．C．Ｄ．1４．（2０00?陜西)將一個邊長為a的正方形硬紙板剪去四角，使它成為正八邊形，求正八邊形的面積（）A．（２﹣2)a2B．a(chǎn)2C．ａ2D．（３﹣2）a2二．填空題（共6小題）1５。(2０12?田陽縣一模）若［x]表示不超過x的最大整數(shù)（如［］=3，［﹣π］=﹣4等），根據(jù)定義計算下面算式:［］+[］+…+[]=_＿＿___＿__．16．（20１1?成都)設(shè),，，…,．設(shè)，則S＝＿____＿_＿＿(用含n的代數(shù)式表示,其中n為正整數(shù))。１7．若實數(shù)ａ滿足｜a﹣8｜+＝ａ,則a=________＿．1８．(20０4?寧波)已知：a<０,化簡＝＿__＿_＿＿__．1９．（2０0３?常德)化簡:+2ｘ﹣x2=__＿______。2０。（２00２?黃岡）若,則代數(shù)式的值等于＿＿__＿＿___。三.解答題(共1小題）21．（２0０8?涼山州）閱讀材料，解答下列問題.例：當ａ＞0時,如a=６則｜a|=|6｜＝６，故此時a的絕對值是它本身；當a=0時，｜a｜=0,故此時a的絕對值是零；當ａ〈0時，如a=﹣6則｜ａ|＝|﹣6｜＝﹣(﹣6),故此時ａ的絕對值是它的相反數(shù)?！嗑C合起來一個數(shù)的絕對值要分三種情況,即，這種分析方法滲透了數(shù)學(xué)的分類討論思想．問：（1）請仿照例中的分類討論的方法，分析二次根式的各種展開的情況;（2）猜想與｜a｜的大小關(guān)系.二次根式訓(xùn)練提高(2014121８）參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題)1．（２010?自貢)已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（）Ａ．3B。5Ｃ.15D.25考點：二次根式的定義．分析:先將中能開方的因數(shù)開方，然后再判斷n的最小正整數(shù)值．解答：解：∵=３，若是整數(shù)，則也是整數(shù);∴n的最小正整數(shù)值是15；故選C.點評:解答此題的關(guān)鍵是能夠正確的對進行開方化簡．2。（2００3?常州）式子、、、中，有意義的式子個數(shù)為(）A．1個B.2個C．3個D。4個考點：二次根式的定義．分析：根據(jù)二次根式的有意義的條件，逐一判斷。解答：解:＝與的被開方數(shù)小于０，沒有意義；=與的被開方數(shù)大于等于０，有意義．故有意義的式子有2個。故選B.點評:本題考查二次根式有意義的條件,即被開方數(shù)非負．3．（19９7?西寧）下列各式中、、、、、，二次根式的個數(shù)是（）A.4個B．3個C．2個D.1個考點:二次根式的定義。分析：二次根式的被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù)，找到根號內(nèi)為非負數(shù)的根式即可．解答：解：3a，b2﹣１，都有可能是負數(shù),﹣14４是負數(shù)，不能作為二次根式的被開方數(shù)，∴二次根式有、、，共3個。故選Ｂ．點評:本題考查二次根式的定義,注意利用一個數(shù)的平方一定是非負數(shù)這個知識點．４。若實數(shù)ａ滿足方程,則[a]=(）,其中[a]表示不超過a的最大整數(shù).A.0B．1Ｃ。2D。3考點:二次根式有意義的條件；完全平方公式.分析：對已知條件變形整理并平方，解方程即可得到a的值,求出后直接選取答案。解答：解：根據(jù)二次根式有意義的條件,可得a≥1。原方程可以變形為：a﹣=，兩邊同平方得：ａ2+1﹣﹣2a=ａ﹣，a2＋1﹣2＝ａ．a(chǎn)２﹣a﹣2+１=0，解得=１,∴a2﹣ａ=1,a＝(負值舍去).a≈1.６１8.所以[ａ]＝1，故選B．點評:此題首先能夠根據(jù)二次根式有意義的條件求得a的取值范圍,然后通過平方的方法去掉根號.靈活運用了完全平方公式．５.（2０1４?豐潤區(qū)二模）已知a為實數(shù),則代數(shù)式的最小值為（）A．0B.3C．D．9考點：二次根式的性質(zhì)與化簡．專題:壓軸題。分析:把被開方數(shù)用配方法整理,根據(jù)非負數(shù)的意義求二次根式的最小值．解答:解：∵原式==＝∴當(a﹣3)2=0,即a=3時代數(shù)式的值最小，為即3故選B.點評：用配方法對多項式變形,根據(jù)非負數(shù)的意義解題，是常用的方法，需要靈活掌握．6．（2002?深圳)化簡二次根式，結(jié)果是（)Ａ.﹣aB。﹣aC．ａD．a(chǎn)考點：二次根式的性質(zhì)與化簡．專題：壓軸題.分析:二次根式有意義，隱含條件a≤0,利用二次根式的性質(zhì)化簡．解答:解:∵有意義∴a≤０∴原式=﹣a.故選B。點評:本題考查了二次根式的化簡，注意二次根式的結(jié)果為非負數(shù)．7.（2010?江西)化簡的結(jié)果是（）A.３B。﹣3C．D。﹣考點：二次根式的混合運算。專題:壓軸題．分析：首先按分配律去掉小括號，再進一步合并同類二次根式．解答：解：原式=﹣+3=３．故選Ａ．點評:本題考查的是二次根式的混合運算.8。(２00７?南京）下列各數(shù)中，與２的積為有理數(shù)的是（)A.2+B．２﹣C．﹣2+D.考點:二次根式的乘除法．專題：壓軸題．分析:把Ａ、B、C、D均與2相乘即可.解答:解:A、（2+）×2=6+4為無理數(shù),故不能；Ｂ、(２﹣）×2＝4﹣６為無理數(shù),故不能；C、（﹣２+)×２=﹣4+６為無理數(shù)，故不能；D、2×=６為有理數(shù).故選Ｄ．點評：正確理解二次根式乘法、積的算術(shù)平方根等概念是解答問題的關(guān)鍵．９．（２0０３?黃岡)下列各式經(jīng)過化簡后與不是同類二次根式的是（）A。B．C．Ｄ．考點：同類二次根式．專題:壓軸題。分析:因為＝﹣３ｘ2，然后把四個式子都化簡,比較計算結(jié)果,看含有不含有即可.解答:解：∵根據(jù)二次根式有意義，可知x≤0，∴＝3x，A、化簡為３ｘ;B、化簡為﹣；Ｃ、=；D、化簡為．∴B、C、D中都含有，是同類二次根式,Ａ不是,故選Ａ。點評:本題考查了同類二次根式的概念：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同。10．（2０00?紹興）已知:,,則代數(shù)式（3a2﹣１8a+１5）(2b2﹣12ｂ+13）的值是（）A．6B。24C．４2Ｄ.9６考點:二次根式的化簡求值。專題:壓軸題.分析：由已知變形得a2﹣6ａ=﹣7，b２﹣6b=﹣7，再整體代入計算．解答:解：由已知得a﹣3=﹣，b﹣３=，兩式平方，整理得a2﹣6ａ=﹣７，ｂ2﹣6b=﹣7，原式＝［3（ａ2﹣6a）+15］［２（b2﹣6b)+13］=［3×(﹣７）+15]［２×（﹣7)+13]=6。故選A．點評:先化簡再代入，應(yīng)該是求值題的一般步驟；不化簡,直接代入，雖然能求出結(jié)果，但往往導(dǎo)致繁瑣的運算。11.觀察下列計算:?（+１）=（﹣1）（+１）=１，（+）（+1)=［(﹣1）+（﹣）]（+1）=2,（＋＋）(+1）＝[(﹣1）+(﹣）+（﹣）]（＋１)=3，…從以上計算過程中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律進行計算:(++＋…+)(＋1）的值為(）A.200８B．2010C.2０11D．200９考點:二次根式的混合運算．專題：壓軸題;規(guī)律型．分析：從題中可以得到(+++…+）（+1）＝n．解答：解：由題意得：（+++…+)（+1)=2０09.故選Ｄ．點評:本題考查了歸納整理，尋找規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.12.已知整數(shù)Ｘ，Ｙ滿足，那么整數(shù)對（X，Ｙ）的個數(shù)是（）A。2B.3Ｃ．４D．5考點:二次根式的加減法.專題：壓軸題．分析：將原式化為=的形式，再將數(shù)值代入，逐步進行驗算.解答：解:當y=0時,=，ｘ=7２，整數(shù)對為(72,0）;當y=1時，＝﹣1,x不是整數(shù)；當y＝２時，＝﹣2=４=,x=3２,整數(shù)對為(32,2）；當y=３時,=﹣2=6﹣2;當y=4時，=﹣２=6﹣4;當y=５時,＝﹣2=6﹣2；當y=6時，=﹣２＝６﹣2；當y=7時，=﹣2=６﹣2；當ｙ=８時,=﹣2＝６﹣4＝２，x＝8，整數(shù)對為(8，8)；當y=9時，=﹣2=６﹣6;當y=10時，=﹣2＝6﹣2；當y=11時,＝﹣2＝６﹣2;當y=12時，=﹣2=6﹣4;當ｙ=１3時,=﹣2＝6﹣2;當y=1４時，=﹣2＝6﹣2；當y=１5時,＝﹣2＝6﹣2；當y=1６時，=﹣2=6﹣8;當y=17時,＝﹣2＝６﹣2；當y=18時，=﹣2＝６﹣６＝０,ｘ=0,整數(shù)對為（0，18）。故整數(shù)對（Ｘ,Y)是（72，0)，（３２,2),(8，8）,(0，１８）共四個．故選Ｃ．點評:此題比較復(fù)雜,需對ｘ、y的值進行逐一驗算求解，找出符合條件的實數(shù)對。１3。（1998?內(nèi)江）若,則x3﹣3x2＋3x的值等于（)A．Ｂ．C．D．考點：二次根式的化簡求值．專題：壓軸題。分析：把x的值代入所求代數(shù)式求值即可。也可以由已知得（x﹣1）2＝3，即x2﹣2x﹣２=0,則x3﹣3x２+3x＝x（x2﹣2x﹣2)﹣（x２﹣２ｘ﹣２)+3x﹣2=3x﹣2，代值即可．解答：解：∵ｘ3﹣３x２+3x=x（ｘ２﹣3x＋３），∴當時，原式=（）［﹣３（)+3]=3+1。故選C．點評：代數(shù)式的三次方不好求,就先提取公因式，把它變成二次方后再代入化簡合并求值。14．（2０００?陜西)將一個邊長為a的正方形硬紙板剪去四角，使它成為正八邊形，求正八邊形的面積()A。（2﹣２）a２B。ａ2Ｃ．a(chǎn)2D．(3﹣2）a2考點：二次根式的應(yīng)用.專題：壓軸題.分析：設(shè)剪去三角形的直角邊長x，根據(jù)勾股定理可得，三角形的斜邊長為x,即正八邊形的邊長為x,依題意得x+2x=a，則x=，那么正八邊形的面積等于原正方形的面積減去四個直角三角形的面積．解答：解:設(shè)剪去三角形的直角邊長x,根據(jù)勾股定理可得，三角形的斜邊長為x，即正八邊形的邊長為x,依題意得x+2x=a，則x＝=，∴正八邊形的面積=ａ2﹣４××=（2﹣2)a2．故選Ａ。點評:此題綜合性較強,關(guān)鍵是尋找正八邊形和正方形邊長和面積之間的關(guān)系，得以求解.二．填空題（共6小題）15.(2012?田陽縣一模）若［x］表示不超過x的最大整數(shù)（如［］＝3，［﹣π］＝﹣４等）,根據(jù)定義計算下面算式:[]+［]+…＋[］＝２0１1．考點：二次根式的化簡求值．專題:壓軸題；新定義.分析：首先對每個式子進行分母有理化,即可確定每個式子的值，然后相加即可．解答：解:==,而1<1+＜2．所以［］=1,設(shè)第n+1個式子是:＝==1＋，則[］=[1+］=1,故可求得每個式子均為1，所以所求式子的和為2011。點評：本題是一道定義新運算型問題，具有一定的難度，解答問題的關(guān)鍵是歸納出一般規(guī)律,然后求解。16.（20１1?成都）設(shè)，,，…,．設(shè),則S=（用含n的代數(shù)式表示，其中ｎ為正整數(shù)）?？键c:二次根式的化簡求值．專題：計算題;壓軸題；規(guī)律型．分析:由Sn=1+＋==＝,求,得出一般規(guī)律．解答：解：∵Ｓn=1++=＝＝，∴＝=1+=1+﹣，∴S=１+1﹣＋１+﹣＋…+１＋﹣=n+１﹣==.故答案為:。點評：本題考查了二次根式的化簡求值．關(guān)鍵是由Sn變形，得出一般規(guī)律，尋找抵消規(guī)律．17．若實數(shù)a滿足|a﹣8|＋=a，則ａ=74．考點：二次根式有意義的條件.專題：壓軸題.分析:由可得ａ≥10,再對式子進行化簡，從而求出a的值．解答：解:根據(jù)題意得:ａ﹣10≥0，解得a≥10，∴原等式可化為：a﹣8+=a,即＝8，∴a﹣1０=64，解得:a=７4．點評:二次根式中被開方數(shù)為非負數(shù),是解此題的突破口．18．(2004?寧波）已知:a＜0，化簡＝﹣2．考點：二次根式的性質(zhì)與化簡．專題：壓軸題.分析:根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡.解答：解:∵原式=﹣=﹣又∵二次根式內(nèi)的數(shù)為非負數(shù)∴ａ﹣＝0∴a=1或﹣1∵a＜0∴a=﹣１∴原式=0﹣2=﹣2.點評：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式內(nèi)的數(shù)為非負數(shù)得到a的值．1９.（2００3?常德）化簡：+2x﹣x２=﹣2x.考點:二次根式的加減法.專題：壓軸題．分析：利用開平方的定義計算．解答：解