2021年河南省洛陽市伊川第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對，恒成立，則

（

）A．1

B．3

C．8

D．9參考答案：D略2.，則點(diǎn)的軌跡一定過的（

）A、外心

B、內(nèi)心

C、重心

D、垂心參考答案：B略3.將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）?g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，則|x1﹣x2|的最大值為（）A．π B．2π C．3π D．4π參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到g（x）=sin2（x+）+2=sin（2x+）+2的圖象，若g（x1）?g（x2）=9，則g（x1）=g（x2）=3．∵x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x+∈[﹣，]，∴2x1+=+2kπ，2x2+=+2nπ，k，n∈Z．故當(dāng)2x1+=﹣，2x2+=時，|x1﹣x2|取得最大值為3π，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題．4.設(shè)全集則右圖中陰影部分表示的集合為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值是(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】化簡函數(shù)得，的圖象向右平移個單位可得，所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，得，即，，對賦值求解即可.【詳解】∵，函數(shù)的圖象向右平移個單位可得，所得圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，可得此函數(shù)在y軸處取得函數(shù)的最值，即，解得=，，所以，，且，令時，的最小值為.故選：D．

6.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知、是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（）．

．

．

．參考答案：A設(shè)橢圓的半長軸為，橢圓的離心率為，則.雙曲線的實(shí)半軸為，雙曲線的離心率為，.，則由余弦定理得，當(dāng)點(diǎn)看做是橢圓上的點(diǎn)時,有，當(dāng)點(diǎn)看做是雙曲線上的點(diǎn)時,有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，所以，即雙曲線的離心率為，選A.7.已知、都是銳角，則=A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)槭卿J角，所以，又，所以，所以，.又，選C.8.定義在上的奇函數(shù)對任意都有，當(dāng)時，，則的值為（

）A.-

B.

C.2

D.-2參考答案：A9.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A10.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（

）A．2

B．3

C．－7

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題中，正確的命題有．①回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個樣本點(diǎn)；②將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變；③用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近0，說明模型的擬合效果越好；④用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號，按編號順序平均分成20組（1～8號，9～16號，…，153～160號），若第16組抽出的號碼為126，則第一組中用抽簽法確定的號碼為6號．參考答案：②④【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】根據(jù)回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，不一定過樣本點(diǎn)判斷①錯誤；根據(jù)方差是表示數(shù)據(jù)波動大小的量，判斷②正確；用相關(guān)指數(shù)R2刻畫回歸效果時，R2越接近1說明模型的擬合效果越好判斷③錯誤；根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出第1組中抽取的號碼值，判斷④正確．【解答】解：對于①，回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，不一定過任一樣本點(diǎn)，∴①錯誤；對于②，因?yàn)榉讲钍潜硎緮?shù)據(jù)波動大小的量，將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變，∴②正確；對于③，用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近1，說明模型的擬合效果越好，∴③錯誤；對于④，根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理，樣本間隔為=8，第16組抽出的號碼為15×8+a0=126，解得a0=6，即第1組中抽取的號碼為6號，④正確．綜上，正確的命題序號是②④．故答案為：②④．12.若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：【答案解析】解析：因?yàn)椋?，得，所?得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】一般遇到不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答，本題通過替換后可看成關(guān)于xy的一次式恒成立問題.13.規(guī)定符號“”表示一種兩個正實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算，即ab=,a,b是正實(shí)數(shù)，已知1=3,則函數(shù)的值域是

．參考答案：（1，+∞）14.在△ABC中，三邊a，b，c的對角分別為A，B，C，若a2+b2=2018c2，則=．參考答案：2017【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入得到關(guān)系式，記作①，利用正弦定理化簡，整理即可得出所求式子結(jié)果．【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2=2018c2，∴cosC==，即2abcosC=2017c2，①由正弦定理=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入①得：2?2RsinA?2RsinBcosC=2017?4R2sin2C，即2sinAsinBcosC=2017sin2C=2017（1﹣cos2C），則=2017．故答案為：2017．【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，正弦定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．15.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知圓的極坐標(biāo)方程為，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為

。參考答案：16.已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y滿足則向量在向量方向上的投影的取值范圍是

參考答案：17.以為漸近線且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為______.參考答案：因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，又雙曲線的漸近線為，所以雙曲線為等軸雙曲線，即，所以雙曲線的方程為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知是正項(xiàng)數(shù)列，，且點(diǎn)（）在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若列數(shù)滿足，，求證：.參考答案：（Ⅰ）由已知得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，從而.

.………8分因?yàn)椤?……………………12分19.在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?所以.又，所以，因此，，，平面，，所以，，所以平面；所以.（2）由（1）知，，同理，又平面，因此兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，因此，.設(shè)平面的一個法向量為，則，，∴，所以，取，則，由于是平面的一個法向量，則，，所以二面角的余弦值為.20.已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：絕對值不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）變形已知表達(dá)式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通過2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，利用x的范圍分類討論，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，∴a+b≤3，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．故m的最小值為3．…（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，須且只須2|x﹣1|+|x|≥3．∴或或∴或．…點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．21.設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），離心率，A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M（1，2）.（1）求雙曲線C的方程；（2）求直線AB方程；（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？

參考答案：解：（1）依題意得，解得a=1.

（1分）所以，

（2分）故雙曲線C的方程為.

（3分）（2）設(shè)，則有.兩式相減得：， （4分）由題意得，，，

（5分）所以，即.

（6分）故直線AB的方程為.

（7分）（3）假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且圓心為P.因?yàn)锳B為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點(diǎn)M.（8分）下面只需證CD的中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.由得：A（-1，0），B（3，4）.

（9分）由（1）得直線CD方程：，

（10分）由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），

（11分）所以CD的中點(diǎn)M（-3，6）.

（12分）因?yàn)?，，，?/p>

（13分）所以，即A、B、C、D四點(diǎn)在以點(diǎn)M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上.

（14分）

22.（