安徽省蚌埠市曹顧張中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，其側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角

形，則這個(gè)幾何體的體積為（

）A.B.C. D.參考答案：B略2.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

參考答案：D略3.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是

A．

B．

C．

D．參考答案：在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中所占比例相差越大，則分類變量關(guān)系越強(qiáng)，故選．4.拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，.點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上,且.則的取值范圍是

參考答案：D略5.某汽車銷售公司統(tǒng)計(jì)了某款汽車行駛里程x(萬(wàn)公里)與維修保養(yǎng)費(fèi)用y(萬(wàn)元)的五組數(shù)據(jù)，并根據(jù)這五組數(shù)據(jù)求得y與x的線性回歸方程為.由于工作人員疏忽，行駛8萬(wàn)公里的數(shù)據(jù)被污損了，如下表所示.行駛里程x(單位:萬(wàn)公里)12458維修保養(yǎng)費(fèi)用y(單位:萬(wàn)元)0.500.902.32.7

則被污損的數(shù)據(jù)為（

）A.3.20 B.3.6 C.3.76 D.3.84參考答案：B分析：分別求出行駛里程和維修保養(yǎng)費(fèi)用的平均值，線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本的中心點(diǎn)，這樣求出被污損的數(shù)據(jù)。詳解：設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為，由已知有，而線性回歸方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入有，解得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬于容易題?；貧w直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本的中心點(diǎn)，根據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。6.下列函數(shù)中在區(qū)間上為增函數(shù)，且其圖像為軸對(duì)稱圖形的是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：C略7.若，則的定義域?yàn)?

)

B.

C.

D.

參考答案：C本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的定義域。難度較小，基礎(chǔ)題。選C。

8.設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，0

B．2，＋∞)C．(－∞，0∪2，＋∞)

D．0,2參考答案：D9.已知命題p1：函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x在R上單調(diào)遞增p2：函數(shù)g（x）=ex+e﹣x在R上單調(diào)遞減則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命題是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4參考答案：C【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先判斷命題p1，p2的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=ex在R上單調(diào)遞增，y=﹣e﹣x在R上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x在R上單調(diào)遞增，即p1為真命題；函數(shù)g（x）=ex+e﹣x在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即p2為假命題；則命題q1：p1∨p2為真命題，q2：p1∧p2為假命題，q3：（￢p1）∨p2為假命題，q4：p1∧（￢p2）為真命題，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．10.．x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為S2，則數(shù)據(jù)3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均數(shù)和方差分別是（）A．和S2 B．3和3S2C．3+5和9S2 D．3+5和9S2+30S+25參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式即可求解．【解答】解：根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差公式可知，若y=ax+b，則數(shù)據(jù)y和x的平均數(shù)和方程之間的關(guān)系為：，，∵y=3x+5，∴，方差，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)和方差的計(jì)算，要求熟練掌握滿足線性關(guān)系的兩個(gè)數(shù)據(jù)之間平均數(shù)和方差之間的關(guān)系，直接計(jì)算即可求值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.lg0.01+log216=；=．參考答案：2,6.【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2；=23﹣2=6．故答案分別為：2；6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知直線l：mx﹣y=4，若直線l與直線x﹣（m+1）y=1垂直，則m的值為﹣；若直線l被圓C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦長(zhǎng)為4，則m的值為

．參考答案：±2【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由直線垂直可得m﹣m（m﹣1）=0，解方程可得m值；由圓的弦長(zhǎng)公式可得m的方程，解方程可得．【解答】解：由直線垂直可得m+m+1=0，解得m=﹣；化圓C為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2+（y﹣1）2=9，∴圓心為（0，1），半徑r=3，∵直線l被圓C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦長(zhǎng)為4，∴圓心到直線l的距離d==，∴由點(diǎn)到直線的距離公式可得=，解得m=±2故答案為：﹣；±2【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．13.設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則＝ .參考答案：14.已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則z=

．參考答案：﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由，得到，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，則答案可求．【解答】解：由，得．則z=﹣i．故答案為：﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如右圖：的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于的命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在［0，2］是減函數(shù)；③如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么t的最小值為0；④函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是___________．參考答案：②③④略16.已知，正實(shí)數(shù)滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則=_______。參考答案：17.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是________．參考答案：復(fù)數(shù),其共軛復(fù)數(shù)為,故填.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若≥0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，證明：參考答案：（1）由題意，由得. 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，. ∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 即在處取得極小值，且為最小值， 其最小值為………………5分 （2）對(duì)任意的恒成立，即在上，. 由（1），設(shè)，所以. 由得. 易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ∴

在處取得最大值，而. 因此的解為，∴.………………9分（3）由（2）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，即.令，則.∴.∴…………13分19.(本小題滿分10分)在等差數(shù)列中，（1）求（2）記，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）對(duì)于（2）中的，求函數(shù)（，t為常數(shù)且）的最小值參考答案：（1） ―――――――――2分 （2）由得， 當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 ―――――――5分 （3）由（2）可得， ――――――7分 所以， ，而 所以，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故 ――――――――――10分20.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面積是，求sin∠BAP．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等邊三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面積公式可求PB=3．進(jìn)而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足為D，可求：，利用三角形面積公式可求PB，進(jìn)而可求BD，AB，利用三角函數(shù)的定義可求，．利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△APC中，因?yàn)椤螾AC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2?AP?AC?cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2?AP?（4﹣AP）?cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等邊三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…因?yàn)椤鰽PB的面積是，所以．…所以PB=3．…在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2?AP?PB?cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB中，由正弦定理得，…所以sin∠BAP==．…法2：作AD⊥BC，垂足為D，因?yàn)椤鰽PC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以．…因?yàn)椤鰽PB的面積是，所以．…所以PB=3．…所以BD=4．在Rt△ADB中，，…所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…21.已知函數(shù)f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2．證明：＞．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)a≥，函數(shù)f′（x）＜0恒成立，則f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)減函數(shù)，a＜，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）由題意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有兩個(gè)不等式的實(shí)根，利用韋達(dá)定理即可求得x1，x2，分別求得﹣，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得﹣＞0，即可求得＞．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?），求導(dǎo)：f′（x）=2x﹣=，x＜1，令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，則△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，當(dāng)4﹣8a≤0時(shí)，即a≥，則﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，則f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)4﹣8a＞0時(shí)，即a＜，則﹣2x2+2x﹣a=0的兩個(gè)根為x1=，x2=，當(dāng)x∈（﹣∞，x1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x1，），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，不符合題意，綜上可知：函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（，+∞）；（Ⅱ）證明：由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′（x）=0，在x＜1上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有兩個(gè)不等式的實(shí)根，x1，x2，由0＜a＜，則，且x1∈（0，），x2∈（，1），則===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：=﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），則﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求導(dǎo)，g′（x）=﹣2ln++，x∈（，1），由x∈（，1），則+＞0，則g′（x）＞0，則g（x）在x∈（，1），上單調(diào)遞增，則g（x）＞g（）=0，則﹣＞0，∴＞成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)及極值的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查構(gòu)造法，考查計(jì)算能力，屬于難題．22.已知函數(shù)f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．（1）求證：g（x）在區(qū)間(