第十二講參數(shù)求解之參變分離知識與方法含參不等式問題是導(dǎo)數(shù)最常見的題型之一，解答題中常用的方法有三種：參變分離、帶參討論、先必要后充分.在處理這類問題時，我們需要根據(jù)實際的情況，選擇一個合適的方法來求解.這一小節(jié)我們主要針對用參變分離求解的題型，其基本的解題步驟是：（1）將含參不等式等價轉(zhuǎn)化成或的形式；（2）求函數(shù)的最小值或最大值，得出a的取值范圍.注意：能用參變分離這一方法來求解的含參不等式問題，一般參變分離后的函數(shù)不復(fù)雜，易于研究.典型例題【例1】已知函數(shù)為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意，對任意的成立，所以，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因為恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.【例2】若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】解法1：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，從而；當時，，從而，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍是.解法2：，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當且僅當時取等號，從而，故，所以，當且僅當時取等號，所以，且當時，，故，因為恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍是.【例3】已知函數(shù)，.（1）求證：當時，；（2）若對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而.（2）解法1：因為，所以即為，也即，令，則，令，則，，所以，，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以在R上單調(diào)遞減，又，所以當時，，從而；當時，，從而，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以，解得：，故實數(shù)m的取值范圍是.解法2：因為，所以即為，兩邊取對數(shù)得：，從而，設(shè)，則，易證為偶函數(shù)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以恒成立，故在上恒成立，從而在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性知在上單調(diào)遞增，所以，因為恒成立，所以，解得：，故實數(shù)m的取值范圍是.強化訓(xùn)練1.已知函數(shù)，（1）若是單調(diào)函數(shù)，求a的最大值；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，因為是單調(diào)函數(shù)，所以恒成立或恒成立，顯然不可能恒成立，所以，從而，故，因為，當且僅當時等號成立，所以，因為，所以，故a的最大值為.（2）由題意，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，從而，所以在上單調(diào)遞增,因為，所以，故a的取值范圍是.2.（2010·全國Ⅰ卷·節(jié)選）已知函數(shù)，若，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意，，所以，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍是.3.（2015·重慶）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；（2）若在上為減函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，因為在處取得極值，所以，從而，，故，，所求切線為，化簡得：.（2）若在上為減函數(shù)，則，且對任意的恒成立，所以，故，令，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，因為恒成立，所以，故實數(shù)的取值范圍是.4.（2011·浙江）設(shè)函數(shù)，.（1）若為的極值點，求實數(shù)；（2）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】（1）由題意，，因為為函數(shù)的極值點，所以，解得：或，經(jīng)檢驗，均滿足是的極值點，符合題意.（2）即為，顯然當時，該不等式對任意的實數(shù)都成立，當時，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，因為恒成立，所以，令，則，令得：，且當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因為恒成立，所以，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.5.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.【解析】（1）由題意，，令，則，，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以恒成立，從而在上單調(diào)遞減，因為，所以當時，，故；當時，，故，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由