8、一元二次方程要點(diǎn)一：一元二次方程的定義一、選擇題1、（2009?長沙中考）已知關(guān)于X的方程X2—kx—6=0的一個(gè)根為X=3，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）A.1B.T C.2 D.-2答案：A2、（2009舊照中考）若（（n≠0）是關(guān)于X的方程X2+mx+2n=0的根，則m+n的值為（）.（A）1 （B）2 （C）－1 （D）－2解析：選D.將n代入方程，方程兩邊同時(shí)除以n求解，可得m+n=—2.3、（2008?寧德中考）如果X=4是一元二次方程X2-3X=a2的一個(gè)根，則常數(shù)a的值是（）A.2B.—2C.±2 D.±4解析：選C.將X=4代如一元二次方程X2-3X=a2求解.4、（2008?煙臺(tái)中考）已知方程X2+bX+a=0有一個(gè)根是-a（a≠0）,則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是、）aA.ab B.-C.a+b D.a—bb解析：選D.將一a代入X2+bX+a=0中，則a2—ab+a=0,則Ua—b+1=0Λa—b=—1（恒為常數(shù)）5、（2008?東營中考）若關(guān)于X的一元二次方程（m-1）X2+5X+m2-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值等于、 ）A.1B.2C.1或2 D.0答案：B6、（2007?蘭州中考）下列方程中是一元二次方程的是、 ）（A）2X+1=0 （B）y2+X=1 （C）X2+1=0（D）?+X2=1X答案：C7、（2007?武漢中考）如果2是一元二次方程X2=C的一個(gè)根，那么常數(shù)C是（ ）（A）2 （B）-2 （C）4 （D）-4答案：C二、填空題8、（2009?慶陽中考）若關(guān)于X的方程X2+2X+k-1=0的一個(gè)根是0,則k=.答案：19、（2009?哈爾濱中考）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一個(gè)根，那么常數(shù)b的值為.答案：－310、（2009?赤峰中考）已知關(guān)于x的方程X2—3x+2k=0的一個(gè)根是1,則k=答案：111、（2009?崇左中考）一元二次方程X2+mx+3=0的一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根為.答案：—312、（2007?荊州中考）若X=0是方程（m-2）X2+3X+m2+2m-8=0的解，則m答案：2或—4；要點(diǎn)二、一元二次方程的解法一、選擇題1、（2009?慶陽中考）方程X2-4=0的根是（ ）A．X=2 B．X=-2 C．X=2,X=-2 D．X=412答案：C2、（2009?河南中考）方程X2=X的解是（ ）.（A）X=1 （B）X=0 （C）X1=1X2=0 （D）X1=-1 X2=0答案：C.3、（2009?太原中考）用配方法解方程X2-2X-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）A?(X+1>=6 b?(%—1%=6 C?(X+2)2=9D(%—2)解析：選B?根據(jù)配方法的步驟可知在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

即可得到B項(xiàng)是正確的=9整理4、(2009?南充中考)方程(%—3)(%+1)=%—3的解是( )A?X=0B?%=3 C.X=3或X=—1D?X=3或X=05、(2010?桂林中考)一元二次方程%2+3%—4=0的解是( )?A?X=1，X=—412C?%=—1，%=—412答案：D.、填空題B?%=—1，%=412D?%=1，%=4126、（2009?溫州中考）方程（x—1）2=4的解是解析：觀察此方程的特點(diǎn)可知本題可以采用直接開平方法進(jìn)行解題，即x—1=±2方程的解為：x1=3x2=—1答案：x1=3x2=—17、（2009?山西中考）請你寫出一個(gè)有一根為1的一元二次方程：?解析：答案不唯一，該一元二次方程必須有一個(gè)因式為（x—1）.答案：如X（x—1）=0所以8、（2008?莆田中考）方程%2+2%-3=0的根是 答案：%=—3,%=1129、（2007?淮安中考）寫出一個(gè)兩實(shí)數(shù)根符號(hào)相反的一元二次方程：L解析：答案不唯一如（x—1）（x+1）=0.三、解答題10、(2009?武漢中考)解方程：%2—3%—1=0?解析：?.?"=L匕=—3,c=—1,/.b2—4ac=(—3)2—4義1×(—1)=13,二.%13+√13

,23—√13^%= 2 2?11、（2009?新疆中考）解方程：（X-3）2+4X（X-3）=0解析：(X—3)2+4X(X—3)=0(X—3)(X—3+4X)=0(X-3)(5X-3)=0X-3=0或5X-3=02 3X=3,X=—1 2512、（2009?蘭州中考）用配方法解一元二次方程：2X2+1=3X解析：移項(xiàng)，得2X2-3X=-13 1二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得X2--X=--… 3.酉己方X2--X+2(3￥414√(3￥4141——+2(V3￥

X——4)11631由此可得x-=i—\o"CurrentDocument"4 41 1X=1，X=—2 213、（2007.蘭州中考）閱讀材料：為解方程（X2-1）2-5（X2-1）+4=0，我們可以將X2-1看作一個(gè)整體，然后設(shè)X2-1=y，那么原方程可化為W-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，當(dāng)y=1時(shí)，X2-1=1，12.?.X2=2，.?.X=±、/2；當(dāng)y=4時(shí)，X2-1=4，.?x2=5，/.X=±、/5，故原方程的解為X1=√2，X=-?^2，X=^?tj"5，X=-?^5.3 4解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請利用以上知識(shí)解方程X4-X2-6=0.解析（1）換元法（2）設(shè)X2=y，那么原方程可化為W—y—6=0解得y=3；y=一212當(dāng)y=3時(shí)，X2=3；.?.X=±%3當(dāng)y=-2時(shí)，X2=-2不符合題意，舍去.「?原方程的解為X=√3，X=-.3.1 2要點(diǎn)三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系一、選擇題1、（2010?玉溪中考）一元二次方程x2—5x+6=0的兩根分別是x1,x2,則x1+x2等于（）A.5B.6 C.－5 D.－6答案：A2、（2009?濟(jì)南中考）若X],X2是一元二次方程X2-5X+6=0的兩個(gè)根，則X1+2的值是（ ）.A．1 B．5 C．-5D．6答案：B3、（2009?眉山中考）若方程X2-3X-1=0的兩根為X、X，則-+—的值為（）.1 2 XX1211A.3B.-3C.— D.—3 3答案：B4、（2009?成都中考）若關(guān)于X的一元二次方程k2-2X-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>-1B,k>-1且k≠0 C.k<1 D,k<1且k≠0解析：選B.由題意得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則^=b2-4ac>0，即4+4k>0.解得k>-1且k≠05、（2009?濰坊中考）關(guān)于X的方程（。-6）X2-8X+6=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（ ）A．6B．7C．8D．9解析：選C.由題意得方程有實(shí)數(shù)根，則分兩種情況，當(dāng)a—6=0時(shí)，a=6,此時(shí)x=4，當(dāng)a-6≠0時(shí)，△=b2-4ac≥0,解得a≤266綜合兩種情況得答案.6、(2009?包頭中考)關(guān)于X的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是\o"CurrentDocument"X、X,且x2+x2=7,則(x-x)2的值是( )\o"CurrentDocument"12 1 2 12A．1B．12 C．13D．25解析：選C.Vx2+X2=7.?.(X+X)2-2xx=m2-2(2m-1)=7,解得m=5(此1 2 1 2 12時(shí)不滿足根的判別式舍去)或m=-1.原方程化為x2+x-3=0,\o"CurrentDocument"(x-x)2=(x+x)2-4xx=1+12=13.1 2 1 2 12二、填空題7、(2010?荊門中考)如果方程ax2+2X+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.答案：a<1且a≠0;8、(2009?泰安中考)關(guān)于X的一元二次方程-x2+(2k+1)X+2-k2=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是。9答案：k〉--49、(2008?呼和浩特中考)關(guān)于x的一元二次方程(m-1)X2-mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是.答案：m≠2且m≠110、(2008?棗莊中考)已知x1、x2是方程x2-3x—2=0的兩個(gè)實(shí)根，則(X1—2)(X2-2)=.答案：-411、(2007?無錫中考)設(shè)一元二次方程x2-6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X和X,則12X+X= ,X√X0 .2 12 答案：6，412、(2007?咸寧中考)關(guān)于X的一元二次方程x2+x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。1答案：k≤.4三、解答題13、(2010?珠海中考)已知x1=-1是方程X2+mx—5=0的一個(gè)根，求m的值及方程的另一根χ22。解析：由題意得：(T)2+(―1)義m—5=0解得m=-4當(dāng)m=—4時(shí)，方程為x2-4x-5=0解得：x1=-1x2=5所以方程的另一根x2=5k14、(2009?鄂州中考)關(guān)于X的方程kx2+(k+2)X+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍。(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由k解析(1)由4=(k+2)2-4k?^>0.?.k>-1XVk≠0，k的取值范圍是k>-1,且k≠0(2)不存在符合條件的實(shí)數(shù)kk理由：設(shè)方程kχ2+(k+2)x+-=0的兩根分別為x1,x2,由根與系數(shù)關(guān)系有：k+2 1x1+x2=- 'x1?x2=4，1 1 k+2又一+—=0=0貝°- =0 /.k=-2\o"CurrentDocument"xx k12由(1)知，k=-2時(shí)，4<0,原方程無實(shí)解/不存在符合條件的k的值。15、(2008.中山中考)已知關(guān)于x的方程x2+(m+2)X+2m-1=0.(1)求證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解.解析(1)證明:因?yàn)椤?(m+2)2—4(2m-1)二(m-2)2+4所以無論m取何值時(shí)，^>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)解：因?yàn)榉匠痰膬筛橄喾磾?shù)，所以X+X=0，12根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系得m+2=0，解得m=-2，所以原方程可化為X2-5=0,解得X=、運(yùn)，X=-√51 216、(2008?長沙中考)當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于X的一元二次方程X2-4X+m-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是多少？解析：由題意得，△=(—4)2—4(m—1)=0即16—4m+2=0,m=y.當(dāng)m=9時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=2.2 12要點(diǎn)四、列一元二次方程解應(yīng)用題一、選擇題1、(20XX年蘭州)上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元.下列所列方程中正確的是()A168(1+a%)2=128 R168(1-a%)2=128A． B．C168(1-2a%)=128 D168(1-a2%)=128．．答案：B2、(2009?恩施州中考)某種襯衣的價(jià)格經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每件150元降至96元，平均每次降價(jià)的百分率是()A.20%B.27%C.28%D.32%答案：A3、(2009?襄樊中考)為了改善居民住房條件，我市計(jì)劃用未來兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2提高到12.1m2,若每年的年增長率相同，則年增長率為( ).9%10%c.∏%D.12%答案：B4、（2009?江西中考）為了讓江西的山更綠、水更清，省委、省政府提出了確保到20XX年實(shí)現(xiàn)全省森林覆蓋率達(dá)到63%的目標(biāo)，已知我省森林覆蓋率為60.05%,設(shè)從起我省森林覆蓋率的年平均增長率為1，A.60.05（1+2x）=63%則可列方程（B.).60.05(1+2x)=63c60.05(l+x)2=63%D.60.05(l+x)2=63答案：D5、（2009?青海中考）在一幅長為80cm,寬為50Cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400Cm2,設(shè)金色紙邊的寬為XCm,那么了滿足的方程是（ ）.□A.χ2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.χ2-130x-1400=0 d.x2-65x-350=0解析：選B.（80+2x）（50+2x）=5400,化簡得整+65%—35。=0.6、（2009?慶陽中考）如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路,余下部分作為耕地.若耕地面積需要551米2,則修建的路寬應(yīng)為（ ）.A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米解析：選A.如圖將路平移，設(shè)路寬為X米，可列方程為：（30—x）（20—x）=551,解得:x=l或者x=49（舍去）.j* SOrn二、填空題7、（2010.臺(tái)州中考）某種商品原價(jià)是120元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100元，求平均每次降價(jià)的百分率.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為了,可列方程為.答案：120（1—X）2=1008、（2009?哈爾濱中考）4支排球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽），則總的比賽場數(shù)為場.答案：69、（2008?臨沂中考）某電動(dòng)自行車廠三月份的產(chǎn)量為1000輛，由于市場需求量不斷增大，五月份的產(chǎn)量提高到1210輛，則該廠四、五月份的月平均增長率為.答案：10%10、（2007?蘭州中考）蘭州市政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，由每盒72元調(diào)至56元.若每次平均降價(jià)的百分率為X，由題意可列方程為.答案：72（1-X）2=56三、解答題11、（2009?廣東中考）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？解析：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染X臺(tái)電腦,依題意得：X2=81 解得：X=9或一9（負(fù)值不合題意，舍去）???93=729>700,???若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái).12、（2009?黃石中考）如圖，利用一面墻，用80米長的籬笆圍成一個(gè)矩形場地墻aI ∣b（1）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750平方米？（2）能否使所圍的矩形場地面積為810平方米，為什么？解析：設(shè)AD=BC=Xm，貝UAB=（80—2x）m(1)由題意得：X(80-2x)=750解得：X[=15 x2=25當(dāng)x=15時(shí)，AD=BC=I5m,AB=50m當(dāng)x=25時(shí)，AD=BC=25m,AB=30m答：當(dāng)平行于墻面的邊長為50m,斜邊長為15m時(shí)，矩形場地面積