2017^2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1

全冊學案匯編

目錄

第一講相似三角形的判定及有關性質(zhì)..................1

-平行線等分線段定理............................1

-行線分線段成比例定理.........................10

三.相似三角形的判定1.............................................20

四.相似三角形的性質(zhì)2.............................................28

五角三角形的射影定理...........................37

六本講高考熱點解讀與高頻考點例析..............44

第二講直線與園的位置關系.........................48

-圓周角定理...................................48

二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理................57

三圓的切線的性質(zhì)及判定定理.....................67

四弦切角的性質(zhì).................................79

五與圓有關的比例線段...........................88

六本講高考熱點解讀與高頻考點例析..............98

第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討........................103

2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

第一講相似三角形的判定及有關性質(zhì)

一平行線等分線段定理

1.平行線等分線段定理

(1)如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相

等.

(2)用符號語言表述：

已知a〃6〃c,直線0,/?分別與a,b,c交于點4B,C和力,，B',

C(如圖)，如果AB=BC,那么4=B'C.

(1)定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的一組特殊的平行線，它是由三條

或三條以上的平行線組成的.

(2)“相等線段”是指在“同一條直線”上截得的線段相等.

2.平行線等分線段定理的推論

(1)推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必至分第三邊.

(2)推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另二腰」

推論既可用來平分已知線段，也可用來證明線段的倍數(shù)問題.

平行線等分線段定理

如圖，已知直線lx//lz//h//h,1,1'分別交12,h,hiJ

于4B,C,〃和4,B\,G,D\,AB=BC=CD.-

By_____

求證：A\B\-B\C\—C\D\.[

直接利用平行線等分線段定理即可.D\；

:直線人〃心〃[3,JLAB^BC,:"瓜=BC.I\

?.?直線，2〃/3〃4，宜BC=CD,:.RC、=C\R,

/?A\B\—B\C\—C\D\.

[方法?規(guī)律?小結]

平行線等分線段定理的應用非常廣泛，在運用的過程中要注意其所截線段的確定與對

應，分析存在相等關系的線段，并會運用相等線段來進行相關的計算與證明.

1

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〃〃〃網(wǎng)檢集鈍〃〃〃

1.如圖，AB//CD//EF,且AgOADF,OE=6,則應1等于（）

A.9B.10C.11D.12

解析：選A過。作一直線與4氏CD,加■平行,

因為Ag08DF,

由平行線等分線段定理知，BO=OC=CE,

又OE=6,所以a'=9.

2.如圖，已知。/版的對角線/G切交于點。，過點4B,C,

D,。分別作直線a的垂線，垂足分別為/,夕，U.

求證：A'D'=B'C.

證明：：口應?①的對角線/C,加交于。點，

：.OA=OC,OB=OD.

'：AA'_La,00'J_a,CCLa,：.AA'//00'//CC.

：.O'A'=0'C.

同理，O'D'=0'B'.：.A'D'=B'C.

平行線等分線段定理推論1的運用

如圖，在△4%中，AD,跖為中線，A1),毋,交于點G,龍〃所交力，的延長線于點笈

求證：AG=2DE.

AF=FC,6F/詞f|4G=6￡|f|△劭62△煙f|/G=2闌

2

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在中，

'：AF=FC,GF//EC,

：.AG=GE.

'：CE//FB,

：.AGBD=AECD,￡BGD=￡E.

又BD^DC,

:.△BDG&XCDE.

故DG=DE,即GE=2DE,

：.AG=2DE.

［方法?規(guī)律?小結］

此類問題往往涉及平行線等分線段定理的推論1的運用，尋找便于證明三角形中線段相

等或平行的條件，再結合三角形全等或相似的知識，達到求解的結果.

〃〃,，題做集^/////

3.如圖，在。4宛9中，對角線〃；物相交于點0,宦平行于4?交相于

E,加=6,求應1的長.

解：因為四邊形4?5是平行四邊形，

所以以=04BC=AD.

因為AB〃DC,OE"AB,

所以DC//0E//AB.

因為4〃=6,

…11

所以BE=EC=~BC=~AD=3.

4.己知：在比'中，4〃是a'邊上的中線，￡是/〃的中點，回的延長線交于點

求證：AF=}:AC.

O

證明：如圖，過〃作的〃跖交/C于點G.

在△比7;'中，。是a1的中點，

DG//BF,

.?.C為〃"的中點，ERCG^GF.

在。中，￡是/〃的中點，

EF//DG,

3

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???/是力G的中點，即

1

：.AF=~AC.

O

平行線等分線段定理推論2的運用

如圖，已知梯形47切中，AD//BC,//a'=90°,材是制的中點.

求證：AM—BM.

解答本題應先通過作輔助線構造推論2的應用條件.

過點M作ME”BC交46于點￡

'：AD//BC,：.AD//EM//BC.

又：財是喜的中點，

.?"是4?的中點.

?.?/胸=90°,

.二她垂直平分AB.

；.4W=BM.

［方法?規(guī)律?小結］

有梯形且存在線段中點時，常過該點作平行線，構造平行線等分線段定理推論2的基本

圖形，進而進行幾何證明或計算.

/〃〃，題俶集^7////

5.若將本例中“M是切的中點"與互換，那么結論是否成立？若成立，請

給予證明.

解：結論成立.證明如下:

過點材作/監(jiān)工4?于點E,

,JAD//BC,/極=90°,

：.ADLAB,BCLAB.

BC

4

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'：MELAB,

：.ME//BC//AD.

'：AM=BM,且，儂L/6,

為4?的中點，

工材為5的中點.

6.如圖所示，E,尸是。465的邊和，比上的點，過46的中點"作腑〃陽分別交凱

CD于點、P,N,MJEP=^,CD=2=2=2=2.

答案：EFDNNCAMMB

課時跟蹤檢測（一）

一、選擇題

1.在梯形ABCD中，M,N分別是腰與腰切的中點，且AD=2,BC=\,則楸.等于（）

A.2.5B.3C.3.5D.不確定

解析：選B由梯形中位線定理知選B.

2.如圖，49是△47。的高，《為4?的中點，EFLBC千F,如果比=!即,那么R7是

<3

跖的（）

A.￡倍B.2倍C.倍D.￡倍

解析：選A'JEFLBC,ADLBC,

：.EF//AD.

又￡為47的中點，由推論1知尸為協(xié)的中點，

即BF=FD.

又DC=\BD,

2

：.DC=-BF.

?j

5

???FC=FD+DC=BF+DC.BE

3.梯形的中位線長為15cm,一條對角線把中位線分成3：2兩段，那么梯形的兩底長

5

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分別為（）

A.12cm18cmB.20cm10cm

C.14cm16cmD.6cm9cm

A___________n

解析：選A如圖，設物P：月—2：3,貝I1仍=6cm,以V-9cm.I八

為梯形46（笫的中位線，在△胡〃中，切為其中位線，M/~\v

：.AD^2MP^\2cm.J/

同理可得比'=2/W=18cm.

4.梯形的一腰長為10cm,該腰和底邊所形成的角為30。，中位線長為12cm,則此

梯形的面積為（）

A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2

解析：選D如圖，過/作/￡J_a；在應■中，.八

AE=ABsin30°=5cm.\

又已知梯形的中位線長為12cm,BE-

."。+%'=2X12=24（cm）.

二梯形的面積S=；("+6。?/?=；X5X24=60(cm2).

二、填空題

5.如圖，在兩旁作48〃①且4?=必，4,4為4?的兩個三等分點，G,&為CD

的兩個三等分點，連接4C,4G,BQ,則把力〃分成四條線段的長度（填“相等”

或"不相等”）.

AAiA2B

CCIC2D

解析：如圖，過力作直線4"平行于4C,過〃作直線ZW平行于久￡_為?…p

BG,由ABHCD,4,4為的兩個三等分點，G,G為切的兩個三//X//

等分點，可得四邊形4CG4,四邊形4GC8為平行四邊形，所以/CC,C2D

//AICJ/CIB,所以AM"A\CHA￡、HQBHDN,因為44=44=45=CG=GG=GO,由平行線

等分線段定理知，4C,A2Q,6c把助分成四條線段的長度相等.

答案：相等

6.如圖，在△力回中，￡是16的中點，EF//BD,EG"AC交BD千G,CD^AD,若EG=

2cm,貝；若劭=]0cm,則用=.

A

B

6

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解析：由￡是血的中點，EF//BD,得/為/〃的中點.

由皮〃47,得反cm,

人人1

結口CD^^AD,

可以得到我，。是4C的三等分點，

則AC=3EG=6cm.

由EF"BD,得EF=fg5cm.

答案：6cm5cm

7.如圖，AB=AC,AD1BC于點、〃物是力〃的中點，交力〃于點P,DN〃CP.若AB=6ce,

則AP=；若PM=\cm,則PC=.

解析：ISADLBCAB=AC,為BD=CD,

又ZW〃CK

:?BN=NP,

又AM=MD,PM//DNf知AP=PN,

/.AP=}:AB=2cm.

o

日“11萬

易知DN=-PQ

:.PC=4PM=4cm.

答案：2cm4cm

三、解答題

8.已知△四。中，〃是四的中點，￡是8c的三等分點（應＞弱，AE,CD交于點F.

求證：尸是09的中點.

證明：如圖，

過〃作〃G〃四交6c于G,

在△力斷中，、：AD=BD,DG〃AE,

：.BG=GE.

,"是比的三等分點，

：.BG=GE=EC,

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在中，'：GE=CE,DG//EF,

:.DF=CF,

即F是曲的中點.

9.如圖，在等腰梯形中，AB//CD,42=12cm,/C交梯形中位線EG

于點、F,若EF=4cm,7^=10cm.求此梯形的面積.

解：作高〃伉CN,

則四邊形〃柄。為矩形.

:%是梯形48位的中位線，

：.EG//DC//AB.

.?.尸是/C的中點.

:.DC=2EF=8,AB=2FG=20,

MN=DC=8.

在和RtZ\60y中，

AD=BC,ADAM=ZCBN,AAMD=￡BNC,

.?.4井=隴=320—8)=6.

■??療一4寸=^/122-62=673.

???5悌形=%?〃獷=14義6，5=84，5(cm2).

睡圖提班圈

10.已知：梯形49a9中，AD//BC,四邊形絲龐、是平行四邊形，AD

的延長線交ECTF.

求證：EF—FC.

證明：法一：如圖，連接跖交/廠于點Q

???四邊形］麻是平行四邊形，

：.BO^OE.

又?：AF"BC,

:.EF=FC.

法二：如圖，

延長劭交和于點H.

???四邊形45:必是平行四邊形,

：.AB//ED,AB//DH,

AB=ED.

又,：AF//BC,

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2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4J全冊學案

???四邊形力物是平行四邊形.

：.AB=DH.

：.ED=DIL

：.EF=FC

法三：如圖，延長必交⑦的延長線于點M

,/四邊形力反應是平行四邊形，

：.BD//EA,AE=BD.

丈：AD"BC.

???四邊形⑷儂是平行四邊形.

：.AM=BD.

：.AM=AE.

:?EF=FC.

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二行線分線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理

(D文字語言：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

(2)圖形語言：

ABBCABACBCAC

變式有：萬=9刀干涼

“對應線段”是指一條直線被兩條平行線截得的線段與另一條直線被這兩條平行線

截得的線段成對應線段，如圖中18和%1；而“對應線段成比例”是指同一條直線上的兩條

線段的比等于與它們對應的另一條直線上的兩條線段的比.

2.平行線分線段成比例定理的推論

(1)文字語言：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段

成比例.

(2)圖形語言：如圖11〃心〃，3,

ADAEADAEDBCE

川有：lir^d礪=記lir^c

3.平行線分線段成比例定理的作用

平行線分線段成比例定理及推論是研究相似三角形的理論基礎，它可以判定線段成比

例.另外，當不能直接證明要證的比例成立時，常用該定理借助“中間比”轉化成另兩條線

段的比，來得出正確結論.合理添加平行線，運用定理及推論列比例式，再經(jīng)過線段間的轉

換可以求線段的比值或證明線段間倍數(shù)關系.

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從復雜的圖形中找出基本圖形

已知：如圖在梯形46（力中，AD//BC,尸為對角線然上一點，F(xiàn)E//BC交.AB干點、E,

以的延長線交比1于點H,如■的延長線交⑦的延長線于點G.

求證：BC=GII.

可找出兩個基本圖形：AABC和ADHG,既是這兩個圖形的截線.

'：FE//BC,

.竺_變笆一些

',科而~Gir~DII

.竺—竺

'：AD//EF//BH,''~AiT~DH

.EF_EF

"'BfT'GH：.BC=GH.

［方法?規(guī)律?小結］

在利用平行線證明或計算時，常常根據(jù)已知條件將復雜的圖形進行分解，從中找出基本

圖形，“借圖解題”.

〃〃//網(wǎng)像集訓〃〃〃

1.已知：如圖所示，1J/Iz//lz,%=4求證：77'=-^—.

BCnDFm+n

證明：?:卜"卜"h,

.ABDEm

EFnC\EF+DEn+/n

，石尸一，則~而「=------，

DEmDEm

DFm+n

即~DE~HT'

.DEm

,,DFni-\~n

2.如圖，已知力勿V7/〃G,AB：SC：CD=\：2：3,CF=\2cm,求火

AE,%的長.y-\￡

.〃AEAB/\

解：?:AEHCF,，力=左/\

DG

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AB-

/.AE=-?CF.

DC

TAB：BC=\：2,CF=12cm,

1,、

/.AE=QX12=6(cm).

,:CF〃DG,

,BC_CF

,,麗=而

_BC2

.而=*

.BC_2

,?瓦

八BD八30八/、

/.DG=—?CF=-X12=30(cm).

DCZ

I尋找目標式的公共比

已知：如圖，AD//BE//CF,EG//FIL

由題目中的兩組平行線，利用平行線分線段成比例定理，尋求與豪奇均相等的公共

比例式.

ABDE

?:AD"BE"CF,

ACDr

「EGDE

又,/EG//FH,—=—

FilDF

■紇生

??萬一而

［方法?規(guī)律?小結］

在此題中，隼是黑與新公共比，公共比大多是兩個或兩個以上的比例式都具有的?個

公共比，通常是兩個圖形中公共邊的比.當要證的結論不是比例式（通常是等積式）時，常轉

化為比例式來突破題設的條件，其中公共比是常用的轉化方法.

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〃〃//8俶集鈍"〃

3.已知：如圖，四邊形44切是正方形，延長火到點g連接力rA

交切于點凡FG〃AD交DE于點、G.

求證：FC=FG.

證明：在正方形/閱9中，AB"CD,

FC_EF

FC_FG

拓=拓

*：AB=AD.

：.FC=FG.

4.如圖，在。4%?中，少是"延長線上一點，原交然于點G,Dy_____7c

交BC于點、E

求證：（DDd=GE?GR

證明：2：CD"AE,

.DG_CG

,,亨茄

又???力〃〃用

,GF_CG

??獷拓

DGGF修

.?.亨加即Hn加=〃?成

/、ABDF

②?：BF"AD,

AEDE

「CFDF

又?1CD//BE,——宗

CBDE

?包—竺

??赤=拓

通過添加平行線構造基本圖形尋找公共比

如圖，在△/%中，于點〃E為BC中點、,延長力4班'相交于

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2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

由已知條件，結合圖形特點，可添加平行線，構造出能夠運用平行線分線段成比例定

理或其推論的基本圖形，再結合直角三角形的性質(zhì)，找出公共比，得證.

作EH〃AB交〃1于點H,

絲生

.AC=AHX

AHBE''BCBED/

AFDFAFAH

同理’lir~Dk:'~DT'DE\\

：△況《為直角三角形，且￡為8c邊中點，:.BE=CE=DE.

.竺—儂.竺—竺

?"~Bir~DE''l(r~DF

［方法?規(guī)律?小結］

證明比例式成立，往往會將比例式中各線段放到一組平行線中進行研究.有時圖形中沒

有平行線，要添加輔助線，構造相關圖形，創(chuàng)造可以形成比例式的條件，達到證明的目的.

〃〃〃應俶集^\//////

5.如圖，梯形力比》中，AD//BC,點、E、分分別在力區(qū)CD上,

4E2

豆EF〃BC,若言=彳，AD=8cm,BC=18cm,求旗的長.

bo6

解：作47〃%分別交％EF于G,H,

:?AD=HF=GC=8cm.

BG=18—8=10(cm).

?0=2

?EIT5'

.絲=2

?,益=守

?里_竺_2

??獷獷蔗

22

EH=~XBG=~X10=4(cm).

55

/.￡7^=^+^=4+8=12(cm).

6.如圖所示，已知△力以？中，AE：EB=1：3,BD\DC=2AD：與1,

EFAF

龍相交于點F,求無+卻tl值.

解：過點〃作〃G〃小交旗于點G,

—DG=—CD=—CG\Jmi1—E1

BEBCEC3'BE3'

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AEDG

即m赤=而

所以/￡=%

從而有AF=DF,EF=FG=CG,

EFAFEFAF

故行十萬=礪+茄

=U

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課時跟蹤檢測（二）

一、選擇題

1.如圖所示，DE//AB,DF//BQ下列結論中不正確的是（）

ADAFB絲絲

A—=—

DCDECBAB

CDCEAFDF

C—~~—D—=—

ADDFBFBC

解析：選D-：DF//EB,DE//FB,

，四邊形即為平行四邊形.

:.DE=BF,DF=EB.

.AD__AF_AF

''~D(r~Fir~DiiA正確.

CE_DE_BF

~CB=~AB=7kB正確.

CDCECE

~AD=~EiT~DF,C正確.

2.已知線段a,m,n且ax=mn,求作x,圖中作法正確的是（）

解析：選C因為ax=“，所以故選C.

3.如圖，在中，B,〃分別在“，力月上，下列推理不正確的是

)

0

CE

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“ABBDADBD

A.BD/ZCE^-B.BD//CE^-

“ABAD“ABBD

C.BD//CE^~D.BD〃CE=F五

解析：選D由平行線分線段成比例定理的推論不難得出選項A、B、C都是正確的，D

項是錯誤的.

4.如圖，將一塊邊長為12的正方形紙/物的頂點4折疊至小邊上的點區(qū)使然=

解析：選C如圖，恒MN"AD交DC于N、

??礪=庇

)15

又?；AM=ME,：.D^NE=-DE=~

519

：.NC=NE+￡€=-+7=—

PD//MN//QC

5

.PMDN25

??癡=而=叵=T?

T

二、填空題

5.如圖所示，己知DE//BC,BF',EF=3:2,貝ijAC：AE=

解析：'：DE//BC,

.AEDEEF

??就=獷而

*：BF：EF=3:2,

：.AC\AE=3：2.

答案：3：2

D

16

BC

2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

6.如圖，在△/6C中，點〃是4C的中點，點6是加的中點，451的延長線交及7于點凡

解析：過點。作〃獷〃"'交6c于點機

?.?點￡是劭的中點，

...在△應財中，BF=FM.

???點〃是4c的中點，

.?.在△0尸中，CM=MF.

.BFBF1

?'~F(rFM-￥M(T2'

答案：|

7.如圖，四邊形4%》中，N4=/Q90°,AD：AB：BC=?>：4：6,E,尸分別是4?,

CD上的點，AE\AB=DF；DC=\：3.若四邊形ABCD的周長為1,則四邊形AEFD的周長為

解析：因為在四邊形46(力中,

AD：AB,.BC=3：4：6,

所以可設42=34,A44k,Bg6k,

作DG上BC交BC于點、6,交介于點H,

則〃G=4kGC=3k,

所以DC=Nl6k'+9爐=5k,

因為四邊形力6徵的周長為1.

1

所以34+4A+6什54=1,所以

因為笈尸分別是48刃上的點,

AE：AB=DF：DC=\；3,

ll,,4k5k

所以/l￡=W，DF=—,

取BE,⑦的中點.肌N,令EF=x,MN=y,

17

2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

2x=3A+y,

則由梯形中位線得,

2尸x+6h

[x=4k,

解得《即EF=4k.

[y=5kf

所以四邊形力"9的周長是

,4k、,5k15

3A+—+4k+—=104=10X—=~

ooioy

5

案

答9-

三、解答題

8.如圖，6在然上，D在BE上,且四：BC=2:1,ED：%?=2：1,求E、

八口：DF.\

解：過點〃作DGHAC交所于點G,X\\

DGED22ABc

則石產(chǎn)N=個所以加『跖

DCCDO6

又「BC=~1AC,%\\

2

所以DG=-AC,

ABC

…DFDG2bL2

所以萬=高靖所以征=嚴

7

從而AD=-AF,故AD:DF=1:2.

y

9.如圖，在四邊形力及力中，AC,初交于點0,過。作4?的平行線,

與/〃，8c分別交于其F,與龍的延長線交于4

求證：Kd=KE?KF.

證明：延長%BA,設它們交于點〃

因為K0//HB,

“、、K0DKKEDK

所以獷應加=而

而N仞距HU仞HB

所以獷麗即拓=拓

因為小〃血,

同理可啥需

所以與=需，即KG=KE?KF.

18

2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

能頒提珈題I

10.如圖所示，在梯形4?切中，AD//BC,廝經(jīng)過梯形對角線的交點

0,旦EF"AD.

(1)求證：EgOF；

⑵求分鈾值;

112

⑶求證：耐京「加

解：(1)證明：9：EF//AD,AD//BQ

：.EF//AD//BQ

EOAEOF_DF

?.m/闈??下=方~B(r~DC

?:EF/IAD/IBC、

AEDF

AlTDC

EOOF

BCBC

：.EO=OF.

(2)*：EO//AD.

EOBE

ADBA

....EOAE

由⑴知質(zhì)=而

?EOEOBEAEBE+AE

,,樂十瓦'=瓦+詬=AB

POFO

(3)證明：由⑵知五+斤=L

auDL

2EO.2EO八

,又EF=2EO,

nUDC

?竺+絲=2

^ALTBC~

8。一EF

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2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

三.相似三角形的判定1

1.相似三角形

(1)定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形,相似三角形對應

邊的比值叫做相似比或(相似系數(shù)).

(2)預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的

三角形與原三角形相似.

2.相似三角形的判定定理

(1)判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩

個角對應相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩角對應相等,兩三角形相似.

(2)判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊

對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等,

兩三角形相似.

引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這

條直線平行于三角形的第三邊.

(3)判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三

條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似.

在這些判定方法中，應用最多的是判定定理1,即兩角對應相等，兩三角形相似.因

為它的條件最容易尋求.在實際證明當中，要特別注意兩個三角形的公共角.判定定理2

則常見于連續(xù)兩次證明相似時，在證明時第二次使用此定理的情況較多.

3.直角三角形相似的判定定理

(1)定理：①如果兩個直角三角形有一個銳比對應相等，那么它們相似；

②如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例,那么它們相似.

(2)定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角

邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似.

對于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，還有其他特殊的方法，如直角三角形

被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.

在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的利用.

相似三角形的判定

如圖，已知在比■中，AB=AC,ZJ=36°,初是角平分線，證明:

△ABCsXBCD.

D

20

B

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已知ZJ=36°,所以%=/C=72°,而8〃是角平分線，因此，可以

考慮使用判定定理L

VZJ=36°,AB=AC,

...ZWNC=72".

又,：BD平-分NABC,

：./CBg36°.

:.NA=/CBD.

又,：：.!\ABC^/\BCD.

［方法?規(guī)律?小結］

判定兩三角形相似，可按下面順序進行：

(1)有平行截線，用預備定理；

(2)有一對等角時，①找另一對等角，②找夾這個角的兩邊對應成比例；

(3)有兩對應邊成比例時，①找夾角相等，②找第三邊對應成比例，③找一對直角.

/〃/,題俶集^/////

1.如圖，D,￡分別是4?,/C上的兩點，C9與班'相交于點。，下列條件B丫/?

中不能使△｛跖和△/切相似的是()歹4

A.N6=NCB.ZADC=AAEBc

C.BE=CD,AB^ACD.AD：AC^AE'.AB

解析：選C在選項A、B的條件下，兩三角形有兩組對應角相等，所以兩三角形相似,

在D項的條件下，兩三角形有兩邊對應成比例且夾角相等.故選項A、B、D都能推出兩三角

形相似.在C項的條件下推不出兩三角形相似.

2.如圖，在四邊形ABCD中,^=—?而=后EH,相交于點

0.

求證：△儂s△腋

證明：如圖，連接被

..AE_AF

?礪=萬

：.EF//BD.

「?.BGDll

乂■否=而

：.GH//BD,

C.EF//GH.

：.ZEFO=ZI/GOfZO//G=ZOEF.

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2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4?1全冊學案

:ZEFSMOIIG

3.如圖，正方形力用力中，點￡是勿的中點，點少在比上，且⑦：

-分、十AEAD

BC=1求證：五尸》

:4,ErEC

證明：設正方形力靦的邊長為4a,

則AD=BC=4a,DE=EC=2a.

因為CF\BC=1：4,所以CF=a,

4a°竺=在=2

所以溶瓦=2

CFa

ADDE

所rri以X芽==

ECCF

又因為N"=NC=90°,

所以/\ADES/\ECF.

AEAD

所以t斤

7E7F3EC

相似三角形的應用

如圖，〃為的邊46上一點，過。點作龐〃6C,DF//AC,AF交DE于G,BE交

〃于H,連接GH.

求證：GH//AB.c

根據(jù)此圖形的特點可先證比例式鋁枷立，再證△￡G〃"E/x)\

EDB,由相似三角形的定義得/iS盼=/后切即可.A^—^B

'：DE//BC,

?空』匹即空竺

FCAFFE1DGFB

又DF//AC,：.力=江

11DVD

.竺_膽.生

??獷麗??麗=礪

又4GEH=/DEB,：./\EGH^/XEDB.

：.AEHG=AEBD.

：.GH//AB.

［方法?規(guī)律?小結］

不僅可以由平行線得到比例式，也可以根據(jù)比例式的成立確定兩直線的平行關系.有時

用它來證明角與角之間的數(shù)量關系、線段之間的數(shù)量關系.

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2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

〃〃//8俶集鈍"〃

4.如圖，四邊形/時是平行四邊形，點尸在胡的延長線上，連接⑦

交力。于點￡

（1）求證：XCDEsXFAE；

⑵當￡是/〃的中點，且比'=2切時，求證：ZA=ABCF.

證明：（I”.?四邊形/版是平行四邊形,

：.AB//CD.

又：點尸在劭的延長線上，

：.4DCF=4F,Z.D=ZFAE.

:.△CDEsXFAE.

⑵是四的中點,

:.AE=DE.

,《DDE

由XCDEsXFAE,得江而

：.CD=FA.

：.AB=CD=AF.

:.BF=2CD.

又'：BC=2CD,：.BC=BF.

:2F=/BCF.

5.如圖，在口△/■中，/物仁90°,ADLBC于D,點￡1是

4C的中點，切的延長線交的延長線于點E

七、TABDF

求證：褶公

證明：???￡是RtZUZT斜邊/C上的中點，:?AE=EC=ED.

：.AEDC=ZC=ZBDF.

又?Z〃J_比1且/的C=90°,：.Z.BAD=Z.C,

:?/BAD=/BDF.

又.乙F=LF,：ZBFS(\ADF、

.DBDF

?,麗=方

_...ABDB

又在Rt△力物與Rt△物中，—,

.ABDF

,?獷方

課時跟蹤檢測（三）

23

2017-2018學年人教A版高中數(shù)學選修4-1全冊學案

一、選擇題

1.如圖所示，點￡是。力腿的邊比1延長線上的一點，與切相交于點尸，則圖中相

似三角形共有（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

解析：選B有3對，因為NABC=NADP,AAEB=ZEAD,所以△仍

因為NABC=NDCE,/￡為公共角,

所以△氏傷s△。五

因為乙AFA4EFC,/DAF=NAEC,

所以△氏漢

2.三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，則這個三角形是（）

A.直角三角形