《?等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第七版）上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)?等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第?章函數(shù)與極限?.函數(shù)的概念1.兩個(gè)?窮?的?較設(shè)0)(lim,0)(lim==xgxf且lxgxf=)()(lim（1）l=0，稱f(x)是?g(x)?階的?窮?，記以f(x)=0[)(xg]，稱g(x)是?f(x)低階的?窮?。（2）l≠0，稱f(x)與g(x)是同階?窮?。（3）l=1，稱f(x)與g(x)是等價(jià)?窮?，記以f(x)~g(x)2.常見(jiàn)的等價(jià)?窮?當(dāng)x→0時(shí)sinx~x，tanx~x，xarcsin~x，xarccos~x，1?cosx~2/2^x，xe?1~x，)1ln(x+~x，1)1(-+αx~xα?．求極限的?法1．兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列極限?定存在準(zhǔn)則2.（夾逼定理）設(shè)g(x)≤f(x)≤h(x)若AxhAxg==)(lim,)(lim，則Axf=)(lim2．兩個(gè)重要公式公式11sinlim0=→xxx公式2exxx=+→/10)1(lim3．??窮?重要性質(zhì)和等價(jià)?窮?代換4．?泰勒公式當(dāng)x0→時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)?窮?更深層次)()!12()1(...!5!3sin)(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe)(!2)1(...!4!21cos2242nnnxonxxxx+-+++-=)()1(...32)1ln(132nnnxonxxxxx+-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx+---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan1212153+++++-+-+-=nnnxonxxxxx5．洛必達(dá)法則定理1設(shè)函數(shù))(xf、)(xF滿?下列條件：（1）0)(lim0=→xfxx，0)(lim0=→xFxx；（2）)(xf與)(xF在0x的某?去?鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(≠'xF；（3）)()(lim0xFxfxx''→存在（或?yàn)?窮?），則這個(gè)定理說(shuō)明：當(dāng))()(lim0xFxfxx''→存在時(shí)，)()(lim0xFxfxx→也存在且等于)()(lim0xFxfxx''→；當(dāng))()(lim0xFxfxx''→為?窮?時(shí)，)()(lim0xFxfxx→也是?窮?．這種在?定條件下通過(guò)分?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值的?法稱為洛必達(dá)（HL'ospital）法則.∞∞型未定式定理2設(shè)函數(shù))(xf、)(xF滿?下列條件：（1）∞=→)(lim0xfxx，∞=→)(lim0xFxx；（2）)(xf與)(xF在0x的某?去?鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(≠'xF；（3）)()(lim0xFxfxx''→存在（或?yàn)?窮?），則注：上述關(guān)于0xx→時(shí)未定式∞∞型的洛必達(dá)法則，對(duì)于∞→x時(shí)未定式∞∞型同樣適?．使?洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下?點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則只能適?于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式須先化簡(jiǎn)變形成“00”或“∞∞”型才能運(yùn)?該法則；)

()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx''=→→)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx''=→→（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)?洛必達(dá)法則；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要．因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在．6．利?導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式)()()(lim0'000xfxxfxxfx=?-?+→?(如果存在）7.利?定積分定義求極限基本格式?∑==∞→11)()(1limdxxfnkfnnkn（如果存在）三．函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（1）第?類間斷點(diǎn)設(shè)0x是函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)。如果f(x)在間斷點(diǎn)0x處的左、右極限都存在，則稱0x是f(x)的第?類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。第?類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第?類間斷點(diǎn)第?類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第?類間斷點(diǎn)。常見(jiàn)的第?類間斷點(diǎn)有?窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，有以下?個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要?到。定理1．（有界定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)必在[a,b]上有界。定理2．（最?值和最?值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上?定存在最?值M和最?值m。定理3．（介值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其最?值和最?值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c，在[a,b]上?少存在?個(gè)ξ，使得f(ξ)=c推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在(a,b)內(nèi)?少存在?個(gè)點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理第?章導(dǎo)數(shù)與微分?．基本概念1．可微和可導(dǎo)等價(jià)，都可以推出連續(xù)，但是連續(xù)不能推出可微和可導(dǎo)。?．求導(dǎo)公式三．常見(jiàn)求導(dǎo)1.復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則2.由參數(shù)?程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)x=φ(t)，y=)(t?確定函數(shù)y=y(x)，其中)('),('tt?φ存在，且)('tφ≠0，則)(')('ttdxdyφ?=3.反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x)的反函數(shù)x=g(y)，兩者皆可導(dǎo)，且f′(x)≠0則)0)('())(('1)('1)('≠==xfygfxfyg4.隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y=y(x)是由?程F(x,y)=0所確定，求y′的?法如下：把F(x,y)=0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出y′的表達(dá)式（允許出現(xiàn)y變量）5.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則（指數(shù)類型如xxysin=）先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再?隱函數(shù)求導(dǎo)?法得出導(dǎo)數(shù)y′。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要?于：①冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)②多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)?求導(dǎo)數(shù)（注意定義域。關(guān)于冪指函數(shù)y=[f(x)]g(x)常?的?種?法,y=)(ln)(xfxge這樣就可以直接?復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)?。6.求n階導(dǎo)數(shù)（n≥2，正整數(shù)）先求出y′,y′′,……,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出y(n)，最后?歸納法證明。有?些常?的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1）xnxeyey==)(,（2）nxnxaayay)(ln,)(==（3）xysin=,)2sin()(πnxyn+=（4）xycos=,)2cos()(πnxyn+=(5)xyln=,nnnxny----=)!1()1(1)(第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)??.羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿?（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)=f(b)則存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0?．拉格朗?中值定理設(shè)函數(shù)f(x)滿?（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在ξ∈(a,b)，使得)(')()(ξfabafbf=--推論1．若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)≡0，則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2．若f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且f′(x)≡g′(x)，則在(a,b)內(nèi)f(x)=g(x)+c，其中c為?個(gè)常數(shù)。三.柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿?：（1）在閉區(qū)間[a,b]上皆連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g′(x)≠0則存在ξ∈(a,b)使得)(')(')()()()(ξξgfagbgafbf=--)(ba<<ξ（注：柯西中值定理為拉格朗?中值定理的推?，特殊情形g(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗?中值定理。）四.泰勒公式（①估值②求極限（麥克勞林））定理1．（?亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式）設(shè)f(x)在0x處有n階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為?亞諾余項(xiàng)定理2（拉格朗?余項(xiàng)的n階泰勒公式）設(shè)f(x)在包含0x的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在[a,b]上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)x∈[a,b]，有公式，,稱為拉格朗?余項(xiàng)上?展開(kāi)式稱為以0(x)為中?的n階泰勒公式。當(dāng)0x=0時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式。常?公式(前8個(gè))五．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)??．基本知識(shí)設(shè)函數(shù)f(x)在0x處可導(dǎo)，且0x為f(x)的?個(gè)極值點(diǎn)，則0)('0=xf。我們稱x滿?0)('0=xf的0x稱為)(xf的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)?定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)?步去判斷。極值點(diǎn)判斷?法1.第?充分條件)(xf在x的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(0='xf，則①若當(dāng)xx<時(shí),0)(>'xf，當(dāng)0xx>時(shí)，0)(<'xf，則0x為極?值點(diǎn)；②若當(dāng)0xx<時(shí)，0)(<'xf，當(dāng)0xx>時(shí)，0)(>'xf，則0x為極?值點(diǎn)；③若在0x的兩側(cè))(xf'不變號(hào)，則0x不是極值點(diǎn).2.第?充分條件)(xf在0x處?階可導(dǎo)，且0)(0='xf，0)(0≠''xf，則①若0)(0<''xf，則0x為極?值點(diǎn)；②若0)(0>''xf，則0x為極?值點(diǎn).3.泰勒公式判別法（?的?較少，可以??百度）?.凹凸性與拐點(diǎn)1．凹凸的定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)12x,x，恒有則稱f(x)在I上是凸（凹）的。在?何上，曲線y=f(x)上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下（上）?，則y=f(x)是凸（凹）的。如果曲線y=f(x)有切線的話，每?點(diǎn)