河南省焦作市大定中學2021年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i（i=1，2，…6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有（）A．22種 B．24種 C．25種 D．36種參考答案：C【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數(shù)之和是12，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4種組合，前四種組合又可以排列出A33種結(jié)果，由此利用分類計數(shù)原理能得到結(jié)果．【解答】解：由題意知正方形ABCD（邊長為3個單位）的周長是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數(shù)之和是12，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6種組合，前三種組合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6種結(jié)果，3，3，6；5，5，2；有6種結(jié)果，4，4，4；有1種結(jié)果．根據(jù)分類計數(shù)原理知共有24+1=25種結(jié)果，故選C．【點評】排列與組合問題要區(qū)分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．2.如圖直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞點O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，它的圖象大致是

參考答案：D3.正項等比數(shù)列滿足：，若存在，使得，則的最小值為()A.

B.

C.

D.參考答案：C【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和.D3

解析：：∵正項等比數(shù)列滿足：∴即：，解得（舍），或∵存在，使得∴∴m+n=6，

∴

∴的最小值為．【思路點撥】正項等比數(shù)列滿足：，知q=2，由存在，使得，知m+n=6，由此問題得以解決．4.已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，，則A∩B=（）A． B．（0，1） C． D．參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】先分別出集合A，B，由此利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，={x|0＜x＜}，∴A∩B={x|0＜x＜}=（0，）．故選：A．5.已知為虛數(shù)單位，，如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則的值為（

）A.－4

B.2

C.－2

D.4參考答案：D是實數(shù)，則，故選D.6.《算法通宗》是我國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學名書，書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅燈向下倍加增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？”其意思為“一座塔共七層，從塔頂至塔底，每層燈的數(shù)目都是上一層的2倍，已知這座塔共有381盞燈，請問塔頂有幾盞燈？”A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：A【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】設(shè)出塔頂燈的盞數(shù)，由題意可知燈的盞數(shù)自上而下構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項和等于381列式計算即可．【解答】解：由題意設(shè)塔頂有a盞燈，由題意由上往下數(shù)第n層就有2n﹣1?a盞燈，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盞燈，即．解得：a=3．故選：A．7.函數(shù)的圖象如圖，則的解析式和的值分別為（

）A．

，

B．

，C．

，D．

，

參考答案：答案：D8.設(shè)函數(shù)有三個零點則下列結(jié)論正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C因為，，，，所以函數(shù)的三個零點分別在之間，又因為所以，選C.9.將5本不同的書全發(fā)給4名同學，每名同學至少有一本書的概率是

A.

B.

C.

D.參考答案：答案：選A解析：將5本不同的書全發(fā)給4名同學共有45種發(fā)法，其中每名同學至少有一本書的發(fā)法有，故每名同學至少有一本書的概率是P=，選A10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為

．參考答案：512.已知實數(shù)滿足條件則的最大值為．參考答案：答案：

13.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：解析：由題意該函數(shù)的定義域，由。因為存在垂直于軸的切線，故此時斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點。解法1（圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點。當不符合題意，當時，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點，當如圖2，此時正好有一個交點，故有應(yīng)填或是。解法2（分離變量法）上述也可等價于方程在內(nèi)有解，顯然可得

14.在

參考答案：915.在極坐標系中，點的坐標為，曲線的方程為，則（為極點）所在直線被曲線所截弦的長度為

．參考答案：16.在平面直角坐標系中，曲線在處的切線方程是

．參考答案：17.已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，則A∪B=．參考答案：R【考點】并集及其運算．【分析】根據(jù)A與B，求出兩集合的并集即可．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，∴A∪B=R．故答案為：R【點評】此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的公比；（2）證明：對任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差數(shù)列．參考答案：（1）解：設(shè){an}的公比為q（q≠0，q≠1），∵a5，a3，a4成等差數(shù)列，

∴2a3=a5+a4，

∴2a1q2＝a1q4+a1q3，（a1≠0，q≠0）∴q2+q-2=0，解得q=1或q=?2，

又q≠1，∴q=-2

（2）證明：對任意k∈N+，Sk+2+Sk+1?2Sk=（Sk+2?Sk）+（Sk+1?Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（?2）=0，∴對任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差數(shù)列．略19.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且滿足.（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，，CD為角C的平分線，求CD的長.參考答案：（1）直角三角形；（2）.【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡已知條件，求得，由此判斷也即三角形為直角三角形.（2）根據(jù)勾股定理求得和,由此求得，根據(jù)正弦定理列方程，解方程求得的長.【詳解】（1）由，得，∴，∴，∴.故為直角三角形．（2）由（1）知，又，，∴，，.由正弦定理得，∴.【點睛】本小題主要考查兩角和與差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.20.環(huán)保部門對甲、乙兩家化工廠的生產(chǎn)車間排污情況進行檢查，從甲廠家的5個生產(chǎn)車間和乙廠家的3個生產(chǎn)車間做排污是否合符國家限定標準的檢驗.檢驗員從以上8個車間中每次選取一個車間不重復(fù)地進行檢驗.（1）求前3次檢驗的車間中至少有一個是乙廠家的車間的概率；（2）記檢驗到第一個甲廠家的車間時所檢驗的車間個數(shù)共為，求的分布列和數(shù)學期望參考答案：（1）(2)由題意知可取值1，2，3，4.,,隨機變量的分布列為1234P的數(shù)學期望21.

在平面直角坐標系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為

（為參數(shù),為直線的傾斜角）．（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線有唯一的公共點,求角的大小．參考答案：（1）當時,直線的普通方程為；當時,直線的普通方程為.………………2分

由,得,所以曲線的直角坐標方程是

…………….5分（2）把,代入,整理得.由,得,所以或,故直線傾斜角為或.