音樂中的數(shù)學之美第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四目錄音樂與數(shù)學結(jié)合的起源樂理中的數(shù)學規(guī)律

樂曲結(jié)構(gòu)與黃金分割和聲的傅立葉分析

樂器中的數(shù)學奧妙

第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四音樂與數(shù)學結(jié)合的起源

最早將音樂與數(shù)學聯(lián)系起來的研究要追溯至公元前六世紀的畢達哥拉斯學派，他們用比例把二者有機結(jié)合起來。

樂聲的協(xié)調(diào)與所聯(lián)系的整數(shù)之間有著密切的關(guān)系，撥動一根弦發(fā)出的聲音取決于繃緊的弦的長度

協(xié)和音由長度與原弦長的比為整數(shù)比的弦給出被撥動弦的每一種和諧的結(jié)合，都能表示為整數(shù)比，由增大成整數(shù)比的弦的長度，能夠產(chǎn)生全部的音階。

第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四音樂與數(shù)學結(jié)合的起源CBAGFEDC2

.第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四音樂與數(shù)學結(jié)合的起源

五度相生律也是畢達哥拉斯的首創(chuàng)，故又名畢達哥拉斯律

基礎(chǔ)音：發(fā)音體整體振動產(chǎn)生的最低的音是基礎(chǔ)音，是由一根弦或空氣柱整體振動時產(chǎn)生的泛音：以基礎(chǔ)音為標準，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同時振動，是泛音。泛音的組合決定了特定的音色，并能使人明確地感到基音的響度。樂器和自然界里所有的音都有泛音。

第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四音樂與數(shù)學結(jié)合的起源

根據(jù)第一、二泛音間頻率比為2：3的關(guān)系進行音的繁衍，以此為純五度，進行一系列的五度相生，從而得到調(diào)中諸音。

純律取泛音列中第一、二泛音之間的純五度以及第三、四泛音間的大三度這兩種音程為繁衍新音的要素，由頻率比為4:5:6的幾個大三和弦確定諸音高。第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

純律的實際應用及樂譜記載在六世紀由我國梁代丘明傳譜的《碣石調(diào)幽蘭》。直至十六世紀我國在數(shù)學運算上有所突破，在算盤上用開兩次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，這實際就是一百多年后由德國人沃克梅斯特提出的十二平均律，其頻率由等比數(shù)列通項公式確定，公比為1.05946，是2開12次方的算數(shù)根。音樂與數(shù)學結(jié)合的起源第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂理中的數(shù)學規(guī)律

音程轉(zhuǎn)位

音程：兩個音之間在音高上的關(guān)系

單音程：八度以內(nèi)的音程

音程轉(zhuǎn)位：將音程的冠音和根音相互顛倒位置

第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂理中的數(shù)學規(guī)律

音程轉(zhuǎn)位

對單音程而言，原音程及其轉(zhuǎn)位音程的度數(shù)之和為9。在音符方面，小于全音符的諸音符由除法確定，如二分音符為全音符的，四分音符為全音符的。

拍子是拍的分組，如拍子是以全音符的為1拍，每小節(jié)有3拍，即，而拍子可認為以全音符的為一拍，每小節(jié)有6拍，即。

？？第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂曲結(jié)構(gòu)與黃金分割對稱在數(shù)學上就是1:1，由上下句構(gòu)成的樂段，由起承轉(zhuǎn)合四部分構(gòu)成的作品，由四個樂章構(gòu)成的交響曲，都體現(xiàn)了造型的對稱美

作曲黃金分割把線段L分成兩段，使其中較長段x為全段與較短段（L-x）的比例中項，即滿足等式L:x=x:（L-x）.x=0.618034…倍L

第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂曲結(jié)構(gòu)與黃金分割

巴托克的頂峰之作《弦樂、打擊樂與鋼片琴的音樂》

第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂譜結(jié)構(gòu)第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四這部作品第三樂章89小節(jié)B34小節(jié)A21小節(jié)A34小節(jié)一21小節(jié)二13小節(jié)二8小節(jié)一13小節(jié)二21小節(jié)一13小節(jié)高潮55小節(jié)34：5513：2121：348：13黃金分割第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

8、13、21、34、55、89等小節(jié)數(shù)數(shù)字本身，則均含于黃金分割的另一種形式——斐波那契數(shù)列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且從第三項起每項均為前兩項之和）。這個數(shù)列前兩項之比1:1反映對稱關(guān)系，而自第三項起，每相鄰兩項之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黃金分割的比例關(guān)系，且愈往后精確度愈高。由此可認為，上述樂曲的結(jié)構(gòu)明顯受斐波那契數(shù)列的制約。第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四和聲的傅立葉分析

一個音叉所發(fā)出的聲音，其圖像就是一個正弦函數(shù)，如。任何樂聲的圖像都是周期性的圖像，它有固定的音高和頻率。而傅立葉定理指出，任何一個周期函數(shù)都可以表示為三角級數(shù)的形式，如任何一個周期函數(shù)都可表示為

其中頻率最低的一項為基本音，其余的為泛音。由公式知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波。

第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四和聲的傅立葉分析

根據(jù)傅立葉定理，每個樂音都可以分解成一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。假設(shè)do的頻率是，那么它可以分解成頻率為，，，，……的諧波的疊加，即；同理，高音do的頻率是，同樣可以分解為頻率為，，，，……的諧波的疊加，即。這兩列諧波的頻率有一半是相同的，所以do和高音do是最和諧的。第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四傅立葉還發(fā)現(xiàn)每種聲音都有三種品質(zhì)：與曲線的頻率有關(guān)與曲線的振幅有關(guān)與周期函數(shù)的形狀有關(guān)音調(diào)音量音色第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂器中的數(shù)學奧妙

能與某音發(fā)生共鳴的空氣柱長度為該音波波長的、、1、2等倍。低音樂器發(fā)音低，聲波長，所以要求共鳴箱有較大體積；高音樂器則反之，發(fā)音高，聲波短，所以共鳴箱需較小體積。

由于一件樂器可以發(fā)出多個樂音，所以又要求其形狀復雜，以利于在各個不同方位上形成不同長度的共鳴空氣柱，適合于不同高度音響的需要。如中央C音頻率為261.63Hz，波長1.3米，波長的是0.325米，為保證該音共鳴，則共鳴箱的內(nèi)空至少有一個方位為0.325米（或其2、4、8等倍數(shù)）。音越低，波長越大，跨越障礙的本領(lǐng)也越強，再加上頻率低，能量損耗小的特點，決定了低音的傳遠性。

第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四樂器中的數(shù)學奧妙

樂器之王——鋼琴的鍵盤，其琴鍵的音程恰好與斐波那契數(shù)列有關(guān)。在鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程，其中共包括13個鍵，分別是8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成2組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù)。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

音樂是心靈的算術(shù)練習。

——萊布尼茨音樂是由數(shù)規(guī)定的運動。

——奧古斯丁第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

音樂中出現(xiàn)數(shù)學與數(shù)學中存在音樂并非偶然，而是音樂與數(shù)學融合一體的完美體現(xiàn)。音樂可以抒發(fā)人們的情感，是對人們自己內(nèi)心世界的反應