第11講

條件概率與正態(tài)分布課標(biāo)要求考情分析通過實(shí)際問題，借助直觀(如實(shí)際問題的直方圖)，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義1.利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.2.利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個1.正態(tài)分布(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，關(guān)于直線________對稱.

(4)曲線與x軸之間的面積為______. (5)當(dāng)σ一定時，曲線隨μ的變化沿x軸平移. (6)當(dāng)μ一定時，曲線形狀由σ確定：σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；σ越______，曲線越“高瘦”，表示總體分布越集中.x＝μ1小3.3σ原則(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.4.條件概率及其性質(zhì)(1)條件概率的定義：設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝P(AB)

P(A)為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.(2)條件概率的求法：求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝n(AB)

.

n(A)(3)條件概率的性質(zhì)：①條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即____≤P(B|A)≤____；01②若B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).題組一走出誤區(qū)圖9-11-1A.σ1＝σ2

B.μ1>μ3

C.μ1＝μ2D.σ2<σ3

解析：根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，所以μ1＜μ2＝μ3，BC錯誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越瘦高，所以σ1＝σ2＜σ3，AD正確.故選AD.答案：AD題組二走進(jìn)教材)2.正態(tài)曲線下，橫軸上從均值到＋∞的面積為(A.0.95B.0.5C.0.975D.不能確定(與標(biāo)準(zhǔn)差的大小有關(guān))答案：B3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，則P(2≤ξ＜4)等于()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析：(1)由P(ξ<2)＝P(ξ>6)知，μ＝4，∴P(2≤ξ<4)＝0.5－P(ξ<2)＝0.5－0.15＝0.35.故選B.答案：B題組三真題展現(xiàn)

4.(2015年山東)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率約為()

[附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈95.45%]A.4.56%C.27.18%B.13.59%D.31.74%解析：用ξ表示零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得P(3<ξ<6)故選B.答案：B)態(tài)分布密度曲線如圖9-11-2.下列結(jié)論中正確的是(

圖9-11-2

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D.對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)答案：C

考點(diǎn)1條件概率自主練習(xí)

1.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()答案：B

2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率.

解：設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，故這粒種子成長為幼苗的概率為0.72.

3.一個盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為()答案：C

4.(2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)某教師準(zhǔn)備對一天的五節(jié)課進(jìn)行課程安排，要求語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)每科分別要排一節(jié)課，則數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)的情況下，化學(xué)排第四節(jié)的概率是()

解析：設(shè)事件A：數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)；設(shè)事件B：化學(xué)排第四節(jié).答案：C【題后反思】條件概率的求法考點(diǎn)2正態(tài)分布的相關(guān)計(jì)算師生互動[例1](1)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，則P(0<X<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

圖9-11-3答案：C(2)(2020年山東濰坊期末)已知隨機(jī)變量ξ

服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<4)＝0.9，則P(－2<ξ<1)＝(

)A.0.2C.0.4B.0.3D.0.6解析：(1)由P(ξ<4)＝0.9，得P(ξ≥4)＝0.1.

圖9-11-4又正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱(如圖9-11-4)，則P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.1，答案：C

(3)(2019年云南昆明質(zhì)檢)某市一次高三年級數(shù)學(xué)統(tǒng)測，經(jīng)抽樣分析，成績X近似服從正態(tài)分布N(84，σ2)，且P(78<X≤84)＝0.3，該市某校有400人參加此次統(tǒng)測，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為()A.60B.80C.100D.120

解析：由題意知P(X≥90)＝P(X≤78)＝0.5－P(78<X≤84)＝0.5－0.3＝0.2. ∵0.2×400＝80，∴選B.

答案：B

(4)(2020年山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟聯(lián)考)在

2019年高中學(xué)生信息技術(shù)測試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某校高二學(xué)生的測試成績X～N(86，σ2)，若已知P(80<X≤86)＝0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為()A.0.86B.0.64C.0.36D.0.14解析：由題意P(86<x≤92)＝P(80<x≤86)＝0.36，∴P(X>92)＝0.5－0.36＝0.14.故選D.答案：D【題后反思】關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.【考法全練】1.(2018年湖南長郡中學(xué)二模)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布)N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，則P(X>8－m)＝( A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.與σ的值有關(guān)解析：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，∴正態(tài)曲線的對稱軸是x＝4，∵P(X>m)＝0.3，且m與8－m關(guān)于x＝4對稱，由正態(tài)曲線的對稱性，得P(X>m)＝P(X<8－m)＝0.3，故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.答案：C

2.已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4).現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有()A.3413件C.6826件B.4772件D.8186件

[附：若X服從N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9545]解析：∵N(100,4)，∴μ＝100，σ＝2，＝0.8186. ∴抽取的產(chǎn)品質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有8186件.答案：D考點(diǎn)3正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)多維探究)的密度函數(shù)圖象如圖9-11-5，則有(

圖9-11-5A.μ1<μ2，σ1<σ2

B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2

D.μ1>μ2，σ1>σ2

解析：∵正態(tài)曲線的圖象關(guān)于直線x＝μ對稱，由圖知μ1<μ2.

又σ2越大，即方差越大，說明樣本數(shù)據(jù)越發(fā)散，圖象越“矮胖”；反之，σ2

越小，即方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越集中，圖象越“瘦高”.答案：A

(2)(多選題)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)所示，則下列說法中正確的是()

圖9-11-6A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近

解析：由圖象可知，甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kg，乙類水果的平均質(zhì)量μ2＝0.8kg，σ1<σ2，則A，B，C都正確；D不正確.故選ABC.答案：ABC(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值【題后反思】正態(tài)曲線的性質(zhì).(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱.

(4)曲線與x軸之間的面積為1. (5)當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖9-11-7(1).(1)(2)

圖9-11-7 (6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中.如圖9-11-7(2).

【考法全練】圖9-11-8A.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝64B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中C.甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgD.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

解析：由于甲的密度曲線比較“瘦高”，∴甲類水果質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中，故B正確；由圖象可知，甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kg，乙類水果的平均質(zhì)量μ2＝0.8kg，故C，D正確；由圖象得，，∴乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝8，故A不正確.故選A.答案：A⊙與正態(tài)分布結(jié)合的綜合問題

[例3](2017年全國Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； ②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

解：(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率約為0.9973，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率約為0.0027，故X～B(16,0.0027).因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0027＝0.0432.

(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0027，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0423，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)