試卷第=page55頁，總=sectionpages99頁試卷第=page44頁，總=sectionpages99頁2023年北師大版八年級下《第1章三角形的證明》單元測試（2）一.選擇題)

1.用反證法證明“△ABC中，若∠A>∠B>∠C，則∠A>60A.∠A=60° B.∠A<60° C.∠A≠60° D.∠A≤60

2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=54°，CD是斜邊AB上的中線，則∠ACDA.18° B.36° C.54° D.72°

3.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP的長不可能是(

)A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

4.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC為邊在△ABC外作△BQC?△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論錯誤的是(

)

A.△BPQ是等邊三角形 B.△PCQ是直角三角形

C.∠APB=150° D.∠APC=135°

5.如圖，取兩根等寬的紙條折疊穿插，拉緊，可得到邊長為4的正六邊形．則原來的紙條寬為(

)

A.2 B.22 C.23 D.4

6.在△ABC中，①若AB=BC=CA，則△ABC為等邊三角形；②若∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60°的三角形是等邊三角形；④一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．上述結(jié)論中正確的有(

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

7.有下列兩個命題：①若兩個角是對頂角，則這兩個角相等；②若一個三角形的兩個內(nèi)角分別為30°和60A.命題①正確，命題②不正確 B.命題①、②都正確

C.命題①不正確，命題②正確 D.命題①、②都不正確

8.如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=(

)

A.3 B.4 C.5 D.6二.填空題)

9.如圖，扇形AOB中，OA=3，∠AOB=60°，點C是AB上的一個定點（不與A，B重合），點D，E分別是OA，OB上的動點，則△CDE周長的最小值為________.

10.如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC=2，BD=8，AB=8，點M為AB的中點，若∠CMD=120°，則CD的最大值是________．

11.對于邊長為4的等邊三角形ABC，建立如圖坐標(biāo)系，則頂點A的坐標(biāo)為________．

12.在△ABC中AB=AC，請你再添加一個條件使得△ABC成為等邊三角形，這個條件可以是________(只要寫出一個即可).三.解答題)

13.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30（1）尺規(guī)作圖：作∠B的平分線BD交AC于點D；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若DC＝2，求AC的長．

14.有一塊四邊形草地ABCD(如圖)，測得AB=AD=10m，CD=26m，BC=24m，∠A=60°.

(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)求四邊形草地ABCD的面積(結(jié)果保留根號).

15.如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使CE=CD，求證：△BDE為等腰三角形．

16.如圖，在△ABC中，DE是AC邊的垂直平分線，且分別交BC、AC于點D、E，連接AD.已知∠B=60°，∠C=30°，求證：△ABD

參考答案與試題解析2023年北師大版八年級下《第1章三角形的證明》單元測試（2）一.選擇題1.【答案】D【考點】反證法【解析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷；需注意的是∠A>60【解答】解：∠A與60°的大小關(guān)系有∠A>60°，∠A=60°，∠A<60°三種情況，因而∠A>60°的反面是∠A≤2.【答案】B【考點】直角三角形斜邊上的中線【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A=36°，由CD是斜邊AB上的中線，得到【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，

∴∠A=36°，

∵CD是斜邊AB上的中線，

∴CD=AD，

∴3.【答案】D【考點】三角形三邊關(guān)系含30度角的直角三角形【解析】利用垂線段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此題可解．【解答】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可知AP的長不可小于3，不可大于AB，

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

∴AB=6，

∴AP的長不能大于6．4.【答案】D【考點】全等三角形的性質(zhì)勾股定理的逆定理等邊三角形的性質(zhì)與判定【解析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABC=60°，根據(jù)全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判斷【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∵△BQC?△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PQ=BP=4，

∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，

∵△BPQ是等邊三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=60°，

∴5.【答案】C【考點】等邊三角形的性質(zhì)【解析】根據(jù)正六邊的性質(zhì)，正六邊形由6個邊長為4的等邊三角形組成，其中等邊三角形的高為原來的紙帶寬度，然后求出等邊三角形的高即可．【解答】解：邊長為4的正六邊形由6個邊長為4的等邊三角形組成，其中等邊三角形的高為原來的紙帶寬度，

所以原來的紙帶寬度=32×4=23.6.【答案】D【考點】等邊三角形的判定【解析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷即可．【解答】解：①根據(jù)等邊三角形的定義可得△ABC為等邊三角形，

結(jié)論①正確；

②根據(jù)判定定理可得△ABC為等邊三角形，

結(jié)論②正確；

③一個三角形中有兩個角都是60°時，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得第三個角也是60°，

那么這個三角形的三個角都相等，

根據(jù)判定定理可得△ABC為等邊三角形，

結(jié)論③正確；

④根據(jù)判定定理可得△ABC為等邊三角形，

結(jié)論④正確．

故選7.【答案】B【考點】命題與定理直角三角形的性質(zhì)對頂角【解析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)和直角三角形的判定來判斷所給選項是否正確即可．【解答】解：根據(jù)對頂角相等可判斷①正確；

利用三角形的內(nèi)角和可得到三角形的第三個角為90°，那么這個三角形是直角三角形，故②正確.

故選B8.【答案】C【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)含30度角的直角三角形【解析】過P作PD⊥OB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據(jù)MN求出MD的長，由OD?MD即可求出OM的長．【解答】解：過P作PD⊥OB，垂足為D，

∵∠AOB=60°，

∴∠OPD=30°,

∴OD=12OP=6.

∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，

∴MD=ND=12MN=1二.填空題9.【答案】3【考點】勾股定理軸對稱——最短路線問題含30度角的直角三角形【解析】

【解答】解：以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形AOC，

作扇形AOC關(guān)于OA的軸對稱圖形AOC1，連接C1O，

作扇形BOC關(guān)于OB的軸對稱圖形BOC2，連接C2E，

則

C1D=CD，C2E=CE，

則△CDE周長

=CD+DE+CE=C1D+DE+C2E，

則C1D+DE+C2E的最小值為線段C1C2的長，

∵∠AOB=60°，

∴∠C1OC2=10.【答案】14【考點】等邊三角形的性質(zhì)與判定軸對稱的性質(zhì)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短【解析】如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′．

∵∠CMD=120°，

∴∠AMC+∠DMB=60°，

∴∠CMA′+∠DMB′=60°，

∴∠A′MB′=60°，

∵M(jìn)A′=MB11.【答案】(2,?2【考點】勾股定理等邊三角形的性質(zhì)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【解析】過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：過A作AH⊥BC于H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BH=12BC=2，

∴AH=42?22=2312.【答案】AB=BC或AC=BC【考點】等邊三角形的判定【解析】根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等、三個內(nèi)角都相等的性質(zhì)來填空．【解答】解：本題答案不唯一，例如：BC=AB、∠BAC=60°等．

下面以BC=AB為結(jié)論進(jìn)行推理．

∴AB=AC，AB=BC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC為等邊三角形.

故答案為：AB=BC或AC=BC三.解答題13.【答案】（1）如圖射線BD即為所求；

（2）∵∠C=90°,∠A=30°,

∴ABC=60°,

∵BD平分∠ABC，

∴∠A=∠ABD=∠DBC=30°，【考點】作角的平分線含30度角的直角三角形角平分線的性質(zhì)【解析】（1）利用尺規(guī)作出∠ABC的平分線交AC于點D；（2）只要證明BD=AD，求出BD即可解決問題．【解答】（1）如圖射線BD即為所求；

（2）∵∠C=90°,∠A=30°,

∴ABC=60°,

∵BD平分∠ABC，

∴∠A=∠ABD=∠DBC=30°，14.【答案】解：(1)如圖，連接BD.

∵AB=AD=10m，∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形.

∴BD=10m，∠ABD=60°.

在△DBC中，BD=10m，BC=24m，CD=26m，

∵BD2+BC2=102+242=676，C(2)過點A作AE⊥BD，垂足為E.

∵△ABD是等邊三角形，AE⊥BD，

∴BE=12BD=5m.

根據(jù)勾股定理，得

AE=AB2?BE2=102【考點】等邊三角形的性質(zhì)與判定勾股定理的逆定理三角形的面積等邊三角形的性質(zhì)勾股定理【解析】(1)首先確定△ABD是等邊三角形，求出BD=10m，∠ABD=60°，然后確定△DBC是直角三角形，并求出∠DBC=90(2)過點A作AE⊥BD，垂足為E，分別求△ABD和△DBC的面積，然后求和即可.【解答】解：(1)如圖，連接BD.

∵AB=AD=10m，∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形.

∴BD=10m，∠ABD=60°.

在△DBC中，BD=10m，BC=24m，CD=26m，

∵BD2+BC2=102+242=676，C(2)過點A作AE⊥BD，垂足為E.

∵△ABD是等邊三角形，AE⊥BD，

∴BE=12BD=5m.

根據(jù)勾股定理，得

AE=AB2?BE2=10215.【答案】證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，

∴∠ACB=60°，∠CBD=30°.

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE.

∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°，

∴∠E=30°，

∴∠E=∠CBD，【考點】等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=60°，∠CBD=30°，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠E=∠CDE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求解得到【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，

∴∠ACB=60°，∠CBD=30°.

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE.

∵