2023屆四川省內(nèi)江市高三下學(xué)期高考模擬熱身訓(xùn)練（一）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為，，再根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，所?故選：B.2．下面關(guān)于復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的結(jié)論正確的是（

）A．對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B．C．的虛部為 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，求模運(yùn)算，和加法運(yùn)算即可求解.【詳解】,,所以對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，A錯(cuò)；，故B錯(cuò)；的虛部為1，故C錯(cuò)；，故D正確.故選：D.3．命題“”，則p為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式求解.【詳解】命題“”為全稱命題，其否定為特稱命題，即p：.故選：C4．已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得，進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由分段函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，周期，所以，所以．故選：A5．“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺的直播間經(jīng)營化妝品和服裝兩大類商品．2021年前三個(gè)季度的收入情況如圖所示，已知直播間每個(gè)季度的總收入都比上一季度的總收入翻一番，則下列說法正確的是（

）A．該直播間第三季度服裝收入低于前兩個(gè)季度的服裝收入之和．B．該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的．C．該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的．D．該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍．【答案】C【分析】利用條形統(tǒng)計(jì)圖求解判斷.【詳解】設(shè)第一季度的總收入為，則第二季度的總收入為，第三季度的總收入為.對于選項(xiàng)A，第一、二季度服裝收入和為，第三季度服裝收入為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，第一季度化妝品收入為，第三季度化妝品收入為，第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，第二季度的化妝品收入為，第三季度的化妝品收入為，第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的，故C正確；對于選項(xiàng)D，第三季度總收入是第一季度總收入的倍，故D錯(cuò)誤.故選：C．6．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】若α∥β，mα，mβ，則m，n可能平行也可能異面，故B錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故C錯(cuò)誤；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A錯(cuò)誤；若m∥n，n⊥α，根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得m⊥α，故D正確.7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式，以及同角三角函數(shù)關(guān)系，整理化簡即可求得正切值.【詳解】因?yàn)椋?，解?故選：C.8．英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)及物體經(jīng)過物體的溫度為得出的值，再求出時(shí)的值即可．【詳解】由題意得，，，代入，，即，所以，所以，由題意得，，代入，即，得，即，解得，即若使物體的溫度為，需要冷卻，故選：C．9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn)，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點(diǎn)代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.10．已知a>0，b>0，且a+b=1，則錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，由結(jié)合二次函數(shù)可判斷A，由可判斷B，由和結(jié)合基本不等式可判斷CD【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確.故選：C.11．已知球是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作圖，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】如圖，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑，由勾股定理得棱錐的高，設(shè)球O的半徑為R，則即，解得，所以，即點(diǎn)O與重合，在中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以，當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，此時(shí)半徑為，截面面積為.故選：A12．若函數(shù)滿足對都有，且為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)已知可推出函數(shù)周期性，單調(diào)性以及函數(shù)值情況，由此可作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題解決.【詳解】由為R上的奇函數(shù),①，又②，由②－①為周期為2的周期函數(shù),而又，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),．又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且．故可作出函數(shù)的大致圖象如圖：

而集合A中的元素個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由以上分析結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可知，1為集合A中的一個(gè)元素，且y=f（x）與在（2，3），（4，5）上各有一個(gè)交點(diǎn)，∴集合中的元素個(gè)數(shù)為3．故選：A．二、填空題13．已知，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求得的值，得到的坐標(biāo)，利用向量模的公式，即可求解．【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)椋傻?，解得，所以，所?故答案為：.14．在二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為__________．【答案】20【分析】寫出展開式通項(xiàng)公式，由指數(shù)為3求出項(xiàng)數(shù)，再得系數(shù).【詳解】因?yàn)?，?，2，…，6.令，得，所以項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故答案為：2015．如圖，已知在扇形中，半徑，圓內(nèi)切于扇形（圓和，弧均相切），作圓與圓相切，再作圓與圓相切，以此類推．設(shè)圓，圓…的面積依次為，那么____________．

【答案】【分析】根據(jù)銳角三角比的圓的幾何特性即可求解.【詳解】

設(shè)圓與弧相切于點(diǎn)，圓，圓與分別切于點(diǎn)，則，．設(shè)圓，圓，圓，…，因?yàn)?，所以．在中，則，即，解得．在中，，則，即，解得．同理可得，，所以.故答案為：.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），則下列命題中正確的有_________．①若為的中線，則；②為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；③存在直線，使得；④對于任意直線，都有．【答案】①②④【分析】直線，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)中線得到坐標(biāo)，計(jì)算，A正確，計(jì)算，B正確，確定為等腰直角三角形，計(jì)算得到為同一點(diǎn)，C錯(cuò)誤，，D正確，得到答案.【詳解】，，設(shè)直線，不妨取都在第一象限，如圖所示：，得，且，即，故，則．過點(diǎn)作于，于，對①：若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，正確；對②：，正確；對③：若，即，即為等腰直角三角形，此時(shí)，則，所以，所以，所以，所以，此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，錯(cuò)誤；對④：，而，結(jié)合，得，即恒成立，正確．故答案為：①②④三、解答題17．在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列方程求解即可.（2）對進(jìn)行分組求和，一部分利用裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，一部分利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，再對計(jì)算得到的進(jìn)行不等式的放縮，即可證明不等式成立.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，得，所以.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，解得.因此.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?18．2020年4月，各行各業(yè)開始復(fù)工復(fù)產(chǎn)，生活逐步恢復(fù)常態(tài)，某物流公司承擔(dān)從成都到重慶的蔬菜運(yùn)輸業(yè)務(wù).已知該公司統(tǒng)計(jì)了往年同期天內(nèi)每天配送的蔬菜量，單位：件).注：蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝)，并分組統(tǒng)計(jì)得到表格如表：蔬菜量天數(shù)若將頻率視為概率，試解答如下問題：（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定隨機(jī)抽出天的數(shù)據(jù)來分析配送的蔬菜量的情況，求這天配送的蔬菜量中至多有天小于件的概率；（2）該物流公司擬一次性租賃-批貨車專門運(yùn)營從成都到重慶的蔬菜運(yùn)輸，已知一輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛貨車每趟最多可裝載件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損元.該物流公司負(fù)責(zé)人甲提出的方案是租賃輛貨車，負(fù)責(zé)人乙提出的方案是租賃輛貨車，為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大，應(yīng)該選用哪種方案？【答案】（1）；（2）租賃輛貨車?yán)麧欁畲螅痉治觥浚?）記事件A為“在200天隨機(jī)抽取1天，其蔬菜量小于120件”，則P（A），由此能求出隨機(jī)抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．（2）分別計(jì)算租賃輛貨車和租賃輛貨車兩種方案的利潤均值，再作比較即可．【詳解】（1）記事件為“在天隨機(jī)抽取天，其蔬菜量小于件”，則，∴隨機(jī)抽取的3天中配送的蔬菜量中至少有天的蔬菜量小于件的概率為：（2）由題意得每天配送蔬菜量在的概率分別為，設(shè)物流公司每天的營業(yè)利潤為若租賃輛車，則的可能取值為，，，，的分布列為：元，若租賃輛車，則的可能取值為，，的分布列為：.所以租賃輛貨車?yán)麧欁畲螅?9．如圖，在四邊形ABCP中，△ABC為邊長為的正三角形，CP＝CA，將△ACP沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．(1)求線段的長；(2)設(shè)M在線段上，且滿足，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）取BC中點(diǎn)O，連接，，根據(jù)題意得到，結(jié)合題意，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得到，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)而得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）取BC中點(diǎn)O，連接，，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，則，又，，平面，∴平面，∴．所以，即為等邊三角形，所以，又平面平面，，所以平面，所以，又，所以．（2）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得．綜上，二面角的余弦值為．20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線與直線垂直且與直線交于．(1)當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求內(nèi)切圓半徑；(2)分別記的斜率為，證明：成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可得的周長，結(jié)合面積可求得內(nèi)切圓半徑；（2）設(shè)直線，可求得，由與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用兩點(diǎn)連線斜率公式和韋達(dá)定理化簡可整理得到，又，可知，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由橢圓方程得：，，，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的周長為，又，，的內(nèi)切圓半徑（2）設(shè)，（不妨令在軸上方），直線，則，由得：，；由消去得：，則，，，，將韋達(dá)定理代入整理得：，又，，的斜率成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問題，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，結(jié)合韋達(dá)定理整理化簡可得結(jié)果.21．已知函數(shù)，是非零常數(shù)．(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題知在上恒成立，再分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意令，進(jìn)而分，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得，其中，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，直線與的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)并結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，故，與在上恒成立矛盾，所以，的取值范圍為（2）解：令得，所以，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)椋?，由的唯一性可得，又，所以，，其中，所以，?dāng)時(shí)即時(shí)，直線與的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)在的符號，分，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而的函數(shù)值得范圍，其中，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與極值點(diǎn)的概念即可求解.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若曲線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；(2)若曲線與相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線AB的極坐標(biāo)方程.【答案