§7.7向量法求空間角(一)考試要求能用向量法解決異面直線、直線與平面所成角的問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用．知識(shí)梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝________.2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝____________.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．()(3)兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉．()教材改編題1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則直線l與平面α所成的角為()A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10) D.eq\f(\r(2),2)題型一異面直線所成的角例1(1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．跟蹤訓(xùn)練1(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_(kāi)_______．(2)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為_(kāi)_____．題型二直線與平面所成的角例2(12分)(2022·全國(guó)甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長(zhǎng)](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]

思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓(xùn)練2(2023·開(kāi)封模擬)如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側(cè)面積為6eq\r(3)π，點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上，且△OPB是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的等邊三角形．(1)若G是DP的中點(diǎn)，求證：AG⊥BD；(2)若eq\o(DG,\s\up6(→))＝2eq\o(GP,\s\up6(→))，求GB與平面ABCD所成角的正弦值．_________________________________