從勾股定理說數(shù)學(xué)思想方法1第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)思想方法第5講從勾股定理說起2第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六提綱：從勾股定理說起1教什么、學(xué)什么?2怎樣在教學(xué)中導(dǎo)入數(shù)學(xué)探究3從面積測量到勾股定理的發(fā)現(xiàn)4秦九韶公式5希爾伯特多邊形剖分定理6勾股定理的推廣7蝴蝶定理的傻瓜證法3第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六1.教什么?學(xué)什么?《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》基本理念3:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)限于接受、記憶、模仿、練習(xí)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)養(yǎng)成獨立思考、積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣4第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六新課標(biāo)的教學(xué)要求《高中課標(biāo)》設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建模”、“數(shù)學(xué)閱讀”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造有利條件，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能5第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六未來的教師怎么辦？通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程6第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六這是“金牌之路”嗎？傳統(tǒng)應(yīng)試教育:學(xué)生的練習(xí)3題1.(x)=(m-1)x2+[1-lg(m)]x+1是偶函數(shù),求(10)、(-3.1)、(2)的大小順序2.(x)=ax2+bx+c(a<0)對任意x都有(2-x)=(2+x),求不等式[lg?(x2+x+1/2)]<[lg?(2x2-x+5/8)]7第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)試教育:學(xué)生練習(xí)題3.函數(shù)y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為(a).(1)求(a)的表達式.(2)若(a)=1/2,求a,并對此a求y的最大值.解y=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)

=2(cosx-a/2)2-(a2/2-2a+1)注題摘自《金牌之路—高中競賽輔導(dǎo)》8第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六2從勾股定理看：

怎樣在教學(xué)中導(dǎo)入探究平凡的定理直觀的問題觀察與想象發(fā)現(xiàn)與證明9第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六陳省身：幾何學(xué)的最重要定理幾何學(xué)家陳省身說：中學(xué)幾何中最重要的就是“三角形內(nèi)角和定理”與“勾股定理”，其它如“等腰三角形定理”就沒有那么重要了。三角形內(nèi)角和定理是歐幾里得幾何的一個基本定理，在非歐幾何中它是不對的，這也是歐氏幾何與其它幾何不同的地方；勾股定理也重要，這個定理講的是長度，長度和角度都很重要。幾何是從GEO翻譯過來的，就是講量度?！躁愂∩硐壬L談錄，數(shù)學(xué)通報第44卷200510第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六三個不同教學(xué)層次知道勾股定理證明勾股定理發(fā)現(xiàn)勾股定理11第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六知道勾股定理：簡單知道勾股定理定理a2+b2=c212第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六證明勾股定理：不困難最經(jīng)典的證明1：112213第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六勾股定理證明2圖形最簡潔的證明：c2=2ab+(b-a)2=a2+b214第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六勾股定理證明3圖形最怪異的證明：15第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六發(fā)現(xiàn)勾股定理教學(xué)不容忽視的問題：勾股定理再發(fā)現(xiàn)16第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六被誤解的發(fā)現(xiàn)數(shù)方格發(fā)現(xiàn)勾股定理：17第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六被誤解的發(fā)現(xiàn)簡單的驗證并不是真正的發(fā)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)：親歷的體現(xiàn)；親歷的思考18第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六3從面積測量到勾股定理的發(fā)現(xiàn)土地測量導(dǎo)致最初的幾何學(xué)19第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六一個自然的問題土地測量是否可能導(dǎo)致勾股定理的發(fā)現(xiàn)？20第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六九章算術(shù)：面積出入相補數(shù)學(xué)家怎樣看“面積拼補”？21第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)家的問題；我對“發(fā)現(xiàn)”的觀點怎樣把兩個正方形剖分拼補成為一個正方形？游戲一般的問題：真正的數(shù)學(xué)由此產(chǎn)生22第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六趙爽弦圖:對再發(fā)現(xiàn)的啟示青方、朱方、弦方23第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六趙爽弦圖：提示勾股定理的發(fā)現(xiàn)劉徽：出入相補（Hilbert:面積剖分）112224第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力伽羅華（E.Galois1811-1832）說：最有價值的科學(xué)書籍是作者在書中明白指出了他所不明白的東西的那些書.遺憾的是,這還很少被人們所認(rèn)識;作者由于掩蓋難點,大多害了他的讀者.25第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六

出入相補:劉徽公式2股股弦和=股弦和2-勾2

股弦和股弦勾方1126第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六4秦九韶公式秦九韶公式：勾股術(shù)的精彩應(yīng)用

h股弦cba27第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六秦九韶公式=海倫公式28第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六秦九韶公式證明（1）只要證明股=h股弦cba29第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六秦九韶公式證明（2）勾2=弦2-股2=(b2-h2)-(c2-h2)=b2-c2.由劉徽公式

股==h股弦cba30第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六矩形剖分定理:1122ABCDＥＦ31第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六5Hilbert多邊形剖分定理定理兩個多邊形面積相等則必剖分相等.證[多邊形]=[若干三角形]=[若干矩形]=[若干正方形]=[一個正方形]（剖分相等）121232第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六問題1.幾何角度:如何以面積方式推廣勾股定理？問題2.代數(shù)角度:(a)三角形兩邊之和大于第三邊（ab+c）.(b)直角三角形a2+b2=c2.怎樣統(tǒng)一上面兩個命題?6勾股定理推廣33第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六

勾股定理推廣：幾何方式思路:1+2=3.定義ABC的補ADE.123ABCDE34第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六補三角形外積圓直徑已知ABC補ADEABCDE35第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六定理*三角形兩短邊(交點A)上正方形面積

的和等于補三角形過A的外接圓直徑與最

長邊所組成的平行四邊形的面積.

注直角三角形的補三角形就是它本身.36第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六勾股定理推廣二：代數(shù)方式一個自然的問題：勾股定理：三邊長的等量關(guān)系不等定理：兩邊之和大于第三邊二定理能否統(tǒng)一？37第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六勾股定理推廣二：代數(shù)方式思路：設(shè)三角形三邊a、b、c，最長邊為a，則a<b+c.直觀想法:1<+,則存在實數(shù)t>1使1=()t+()t.因而at=bt+ct.38第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六勾股定理推廣二：代數(shù)方式(續(xù))定理三角形三邊分別為a、b、c，最長邊為a，則(1)a<b+c(2)存在實數(shù)t>1使at=bt+ct

(3)ABC是銳角、直角、鈍角三角形當(dāng)且僅當(dāng)t2、t=2、t2（分別）.39第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六7蝴蝶定理的傻瓜證法蝴蝶定理圓內(nèi)三條弦AB、CD、EF交于O，若O平分AB，則O也平分GH（如圖）.ABCDFEO1234HG40第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六蝴蝶定理蝴蝶定理:一個近代初等幾何定理大約1815年發(fā)現(xiàn),1944年Month.AMS給了這個美麗字1987美國Math.Magazine給了15個證明張景中的面積法:真正的傻瓜證法41第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六蝴蝶定理證明:張景中面積法張景中引理:共角三角形面積比等于共角夾邊乘積之比42第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六蝴蝶中的共角三角形觀察蝴蝶中的共角三角形1、2、3、4ABCDFEO1234HG43第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六蝴蝶定理證明證由正弦定理(s=absinab)共角三角形面積比等于夾邊乘積之比.如圖四個三角形面積比之積=1=1整理得GO=HO.44第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六發(fā)現(xiàn)與探究是數(shù)學(xué)課程的主要目標(biāo)20年來數(shù)學(xué)課程處于狂熱的應(yīng)試教育狀態(tài),愈演愈烈數(shù)學(xué)科學(xué)是人類理性的高度體現(xiàn)45第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)中的理性數(shù)學(xué)家C.G.雅可比說：科學(xué)的唯一目的是為了人類心智的榮耀,一個關(guān)于數(shù)的問題與一個關(guān)于宇宙的問題有同樣的意義我們的期望：數(shù)學(xué)中充滿問題和奧妙需要人們付出的是冷靜與思考46第四十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六復(fù)習(xí)思考題1.觀察以下圖形證明勾股定理.47第四十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期六復(fù)習(xí)思考題2.把邊長是整數(shù)的直角三角形三邊長稱為勾股數(shù),(3,4,5)是勾股數(shù).有趣的是:勾股數(shù)(a,b,c)中至少有一個是3的倍數(shù);至