《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》形成性考核冊及參考答案

作業(yè)（一）

（一）填空題

.1.x-sinx『以八

1.lim-------=__________________________.答案：0

10X

'X?+1xw0

2.設(shè)/（幻='，在x=0處連續(xù)，則左=_________.答案：1

、k、x=0

3.曲線y=4在（1,1）的切線方程是________________.答案:y=-x+-

-22

4.設(shè)函數(shù)/（x+l）=x2+2》+5,則/'。）=.答案:2x

5.設(shè)/（x）=xsinx,則/"（?=.答案：一］

（二）單項選擇題

Y—1

1.函數(shù)y=,的連續(xù)區(qū)間是（）答案：D

尸+x—2

A.(-oo,l)U(l,4-oo)B.(-oo,-2)D(-2,+oo)

C.(―oo,—2)D(—2,1)U(1,-f-oo)D.(—8,—2)U(—2,+8)或(—oo,l)U(l,H-oo)

2.下列極限計算對的的是（)答案：B

Ixl

A.lim1xU1=lB.lim^=1

I。XXT0+X

sinx

C.limxsin—=1D.lim-----=1

xXBx

3.設(shè)y=lg2x,則dy=（).答案:B

「1」D」dx

A.—dxB.------dr

2xxlnlOx

4.若函數(shù)/（九）在點xo處可導(dǎo)，則（)是錯誤的.答案:B

A.函數(shù)/（x）在點xo處有定義B.limf(x)=A,但Aw/(x0)

C.函數(shù)/Q）在點光。處連續(xù)D.函數(shù)/(x)在點Xo處可微

5.當(dāng)xf0時，下列變量是無窮小量的是（).答案:c

B皿

A.2、C.ln(l+x)D.cosx

X

（三）解答題

1.計算極限

..x~—3x+21x2-5x+61

(l)hm——-------=——(2)lim.-

Ix2-I2—2%2_6%+82

yr^jc-i_1(4)limX,3X+5=1

(3)lim

x->0x2z003x+2x+43

sin3x3x2—4

(5)lim----二一(6)lim---------=4

“fOsin5x5x->2sin(x-2)

.1,

xsin—+P,x<0

x

2.設(shè)函數(shù)/(x)=<a、x=0,

sinx

x>0

x

問：（1）當(dāng)。力為什么值時，/（處在x=0處有極限存在?

（2）當(dāng)為什么值時，/（幻在x=0處連續(xù).

答案：（1）當(dāng)〃=1,。任意時,/（x）在x=0處有極限存在;

(2)當(dāng)a=Z?=1時,/(x)在x=0處連續(xù)。

3.計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分:

(1)y=M+2'+1082工一22,求；/

答案:y'=2x+2”ln2+-----

xln2

ax+b4,

(2)y------,求y

cx+d

ad-cb

答案：＞'=

(CX+1)2

(3)y=1，求V

V3x-5

-3

答案:y'

27(3%-5)3

(4)y=五一xe",求y'

答案：yr=—尸一(x+l)e'

2J%

(5)y=eavsinbx,求dy

答案：dy=eax(asmhx-^bcoshx)dx

i

(6)y=ev+x->Jx，求dy

答案：dy

2X

(7)y=cosVx-e-A,求dy

答案:dy=(2xe*-些在)dr

ZylX

(8)y=sin"x+sin〃x,求yf

答案：yr="(sin'ixcosx+cosnx)

(9)y=ln(x+Jl+X?),求y'

答案:V

1+x

4x

Z2

4.下列各方程中y是x的隱函數(shù)，試求y'或dy

(l)x2+y2-xy+3x=1,求dy

答案：盯二>二3二勿口

2y-x

(2)sin(x+y)+e?=4x,求y'

4-yexy-cos(x+y)

答案:y

xexy+cos(r+y)

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

（1）y=InQ+x?）,求y"

2-2-

答案：/=

(1+%2)2

I—X

⑵y=，求y"及y"(l)

3--1--

答案：/=2+-x2,)，"(1)=1

44

作業(yè)（二）

（一）填空題

1.若jf(x)dx=2"+2x+c,則f(x)=.答案:2XIn2+2

2.J(siirr)'dx=.答案：sinx+c

3.若Jf(x)(lx=F(x)+c，貝(J，xf(l—x2)dr=.答

1o

案:一］F(1—)+c

4.設(shè)函數(shù)色「ln(l+x2)dx=.答案：0

dx

o11

5.若P(x)=rf,——d/，則P'(x)=__________.答案:一i------

Vi+x2

（二）單項選擇題

1.下列函數(shù)中，()是xsin/的原函數(shù).

1

A.—cosxB.2cos尢'C.-2cosx2

2

1,

D.--cosx~

2

答案：D

2.下列等式成立的是（).

A.sinrdx=d(cosr)。B.Inxdx=d(-)?

X

C.2rdx=—d(2v)D.-3=,dx=dyfx

In2Jx

答案:c

3.下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（）.

A.jcos(2x+l)dx,B.jxjl-VdxC.fxsin2xdxD.[—:■dx

JJ1+x2

答案：C

4.下列定積分計算對的的是（).

16

A.j2xAx=2B.J]dr=15

c.「（/+/）去=0D.sinMr=0

J-n

答案：D

5.下列無窮積分中收斂的是（).

r+ooir+81ir+oop+oo

A.—dxB.I——dxcle'drD.J】sinxdr

J】xJ1x2

答案:B

（三）解答題

1.計算下列不定積分

（1）[—dx

Je"

答案:-\+c

In-

e

、r(i+x)2」

(2)I---r=—dx

JVx

A29—

答案：2H--尤2H--X2+C

35

r2_4

(3)[r-----dr

J1+2

答案：一x~-2x+c

2

(441、匕

Jl-2x

答案:—，M|l-2x|+c

(5)Jxj2+x'dx

12

答案:一(2+/)2

3

(6)J喈dx

答案：—2cosVx+c

(7)xsin—dx

J2

答案:12xcos—F4sin—Fc

22

(8)jln(x+l)dx

答案：(x+1)ln(x+1)—x+c

2.計算下列定積分

⑴「口一根

答案上

2

答案:e-C

re31

(3)—,dr

J|xjl+Inx

答案：2

(4)[xcos2Ad?￥

-1

答案:—

2

(5)jxlnjcdx

答案:;d+1)

r4

（6）（（1+xe"x）dr

Jo

答案：5+5廠

作業(yè)三

（一）填空題

'104-5-

1.設(shè)矩陣A=3-232，則4的元素/3=?答案：3

216-1

2.設(shè)A,B均為3階矩陣，且阿=忸|=一3,則卜24叫=.答案：—72

3.設(shè)A3均為〃階矩陣，則等式（A-B）2=A2-2A3+B2成立的充足必要條件

是.答案：AB=BA

4.設(shè)A,8均為〃階矩陣，（/—B）可逆，則矩陣A+BX=X的解X=

答案

'100I100

5.設(shè)矩陣A=020，則A^=.答案：0-0

2

00-31

L」00--

L3」

（二）單項選擇題

1.以下結(jié)論或等式對的的是（）.

A.若A,8均為零矩陣，則有A=B

B.若A3=AC,且ArO,則3=C

C.對角矩陣是對稱矩陣

D.若則AB/O答案C

2.設(shè)A為3x4矩陣,3為5x2矩陣，且乘積矩陣ACB'故意義，則。'為（）矩陣.

A.2x4?B.4x2。

C.3x5D.5x3答案A

3.設(shè)A,8均為〃階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）.

A.(A+8)T=AiB.(AB)-1=A-''B-'

c.\A^=\B^O.AB^BA答案C

4.下列矩陣可逆的是（).

-10-1

B.101

123

1111

C.D.答案A

0022

222

5.矩陣A333的秩是（).

444

A.OB.lC.2D.3答案B

三、解答題

1.計算

-2101-2

(1)

531035

021100

(2)

0-30000

3

0

⑶[T254=[0]

-1

2

123-12

2.計算-12214

1-3223

123T-1242451「7197245

解-122143610=7120610

-32233-270-4-73-27

5152

=1110

-3-2-14

23

3.設(shè)矩陣A=11，求|A小

0-1

解由于|4耳=可同

23-1232

22

網(wǎng)=111=112=(-1產(chǎn)(-1)12=2

0-110-10一

123123

|B|=112=0-1-1=0

011011

所以0=|可向=2x0=0

124

4.設(shè)矩陣4=221,擬定4的值，使r(A)最小。

110

答案:

9

當(dāng)4='時，r(A)=2達成最小值。

4

-2-5321

5-8543

5.求矩陣A=的秩。

1-7420

4-1123

答案：r(A)=2o

6.求下列矩陣的逆矩陣:

1-32

(1)A=-301

11-1

'113一

答案AT=237

349

-13-6-3

(2)4=-4-2-1

-130

答案A?=2-7-1

2

7.設(shè)矩陣A，求解矩陣方程X4=B.

3

答案：X

四、證明題

1.試證:若用，魚都與A可互換，則與+與，男生也與A可互換。

提醒:證明(用+82)4=44+B2),B}B2A=ABtB2

2.試證:對于任意方陣A,A+AT,A4T,ATA是對稱矩陣。

提醒:證明(A+A，)T=A+A\(A4T)T=A41(ATA)T=

3.設(shè)A,8均為〃階對稱矩陣，則對稱的充足必要條件是:AB=BA.

提醒：充足性:證明(AB)'=AB

必要性：證明AB=B4

4.設(shè)A為〃階對稱矩陣，8為〃階可逆矩陣，且8一1=8、證明是對稱矩陣。

提醒:證明(田"3尸=8一|48

作業(yè)(四)

(-)填空題

1.函數(shù)/(x)=x+4在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的.答案:(-1,0)u(0,1)

2.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點是，極值點是,它是極值點.答案:

X=l,x=1,小

_p_

3.設(shè)某商品的需求函數(shù)為式p）=10e”,則需求彈性J=.答案：一2〃

111

4.行列式。=—111.答案:4

-1-11

1116

5.設(shè)線性方程組AX=Z?,且入f0-132，則r時，方程組有唯

00t+\0

一解.答案:工一1

（二）單項選擇題

1.下列函數(shù)在指定區(qū)間（-00,+0。）上單調(diào)增長的是（）.

A.sinxB.eC.%2D.3-x

答案:B

2.已知需求函數(shù)式p）=100x25、當(dāng)〃=io時，需求彈性為（）.

A.4x2^In2B.41n2C.-41n2D.-4x2^In2

答案：C

3.下列積分計算對的的是().

(?iex—e~xr?ex+e-Jt

A.f----------dx=0B.[----------ch=0

J-i2Li2

C.jxsinAdr=0D.j*(x2+x3)dx=0

答案:A

4.設(shè)線性方程組4n*,X=b有無窮多解的充足必要條件是().

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

答案：D

x1+x2-a1

5.設(shè)線性方程組<x2+x3=a2，則方程組有解的充足必要條件是().

X]+2X2+*3=%

A.。1+。2+%=0B.CZ1-。2+。3=0

C.q+42-/=0D.—Gy+%+&=0

答案：c

三、解答題

1.求解下列可分離變量的微分方程:

⑴y'=e'+>

答案:—e->=e'+c

dyxeA

(2)

dr3y2

答案：/=xev-eA+c

2.求解下列一階線性微分方程：

⑴--=U+1)3

x+1

答案:y=(x+l)2(；_?+x+c)

(2)yr--=2xsin2x

X

答案:y=x(-cos2x+c)

3.求解下列微分方程的初值問題:

⑴y=e2*-y,y(0)=0

答案:e'=Le'+，

22

(2)盯'+y-e'=0,y⑴=0

答案：y=—(eA—e)

x

4.求解下列線性方程組的一般解:

x]+2X3-x4=0

(1)v—X]+々-3尤3+2%4=0

2xt-x2+5X3-3X4=0

入+龍（其中王,々是自由未知量）

答案：,“—234

x2=x3

102-1'-102-f-102-1

A-11-3201-1101-11

2-15-30-11-10000

所以，方程的一般解為

~一—2七+犬4（其中占,乙是自由未知量）

x2=x3—x4

2%j-x2+x3+x4=1

(2)《%)+2X2—X3+4X4=2

x}+7X2-4X3+1lx4=5