4.如圖，在RtABC中，C=90。，A=30。，AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

2023年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練——二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PDAC于點(diǎn)D（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），作DPQ=60°,邊PQ交射線DC于

一、綜合題點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

1.在平面直角坐標(biāo)系x。，中，二次函數(shù)7=0￥斗2￥-3a（存0）交x軸于/、8兩點(diǎn)（點(diǎn)彳在點(diǎn)8的左側(cè)），且

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1.

（1）求此拋物線的解析式及彳、8兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為Q,求四邊形4BC0的面積.

（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長(zhǎng)：

2.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c（c￥0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2,m）（m<0）,與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于C、

（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值；

D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），AB〃x軸，且AB：OB=2：3.

（3）設(shè)PDQ與ABC重疊部分圖形的ifli積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

（4）當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC?邊中點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的值.

S.如圖，已知點(diǎn)A（0,4）和點(diǎn)B（3,0）都在拋物線y=mx2+2mx+n上.

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使APOC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

3.如圖所示，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,C分別在x,y軸的正半軸上，已知點(diǎn)B（4,

2）,將矩形OABC翻折，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好落在線段OA（包括端點(diǎn)O,A）上，折痕所在直線分別交

（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,若四邊形ABCD為菱形，

BC、OA于點(diǎn)D、E；若點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作OA的垂線交折痕所在直線于點(diǎn)Q.

求平移后拋物線的表達(dá)式；

（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E,x軸上的點(diǎn)F,使得以點(diǎn)C、E、F為頂點(diǎn)的三角

形與ABE相似，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo).

6.如圖，是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線，其對(duì)稱軸為x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1,0）,另

（1）求證：CQ=QP

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y）,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（3）如圖2,連結(jié)OQ,OB,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)三角形OBQ的面積為S,當(dāng)x取何值時(shí)，S（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:

取得最小值，并求出最小值:

33

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=1x+j的圖象上一點(diǎn)，若四邊形OAPQ為平行四邊

形，這樣的點(diǎn)P、Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

7.匚ABC中，AB=AC=10,BC=12,矩形DEFG中，EF=4,FG>12.

（1）若t=3,求圖形L?的函數(shù)解析式；

（2）過B作直線「y軸，若直線1和y軸及L“L?所圍成的圖形面積為12,求t的值.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,已知A（-l,0）,B（5,0）,C（0,5）

（1）求拋物線與直線BC的表達(dá)式：

（2）如圖1,P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)IBCD的面積最大時(shí)，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（3）如圖2,拋物線頂點(diǎn)為E,EFx軸于點(diǎn)F,N是線段EF上?動(dòng)點(diǎn)，M（m,0）是x軸上?動(dòng)點(diǎn)，若

MNC=90°,直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系工⑦中，拋物線y=2x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8（1,0）,與y軸相

矩形DEFG與ABC重疊部分的面積，就要進(jìn)行分類討論，你認(rèn)為如何進(jìn)行分類，寫出你的分類方法（無需

交于點(diǎn)C（0,3）.

求重疊部分的面積）.

（2）如圖②，點(diǎn)B與F重合，E、B、C在同一直線上，將矩形DEFG向右平移，直到點(diǎn)E與C重合為

止.設(shè)矩形DEFG與」ABC重疊部分的面積為y,平移的距離為x.

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍：

②在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出y與x的大致圖象，并在圖象上標(biāo)注出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo).

13

2

8.如圖，已知拋物線Li：y=-X—x——,Li交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），交y軸于C,其頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

為D,P是L上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P沿y軸正方向作線段PQy軸，使PQ=t,當(dāng)P點(diǎn)在Li上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q隨之運(yùn)動(dòng)（2）找出圖中與ZDAB相等的一個(gè)角，并證明：

形成的圖形記為L(zhǎng)2.（3）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的?點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線AC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)產(chǎn)ax?+bx-75的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、C（2,0）,與y軸交

于點(diǎn)B,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)DM的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y-與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線

y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）M（s,t）為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②連接MA、MB,若AMB不小于60。，求I的取值范圍.

12.如圖，拋物線y=av+3x+c（。工0）與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8,與軸交于點(diǎn)

C（0,8）,頂點(diǎn)為。，連接AC,CD,08,直線BC與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)E.

（1）求拋物線解析式：

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上?動(dòng)點(diǎn)，MNx軸交BC于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某?位置時(shí)，線段MN

的長(zhǎng)度最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段MN的長(zhǎng)度：

（3）如圖2,以B為圓心，2為半徑的LJB與戈軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是LB上一動(dòng)點(diǎn)，

連接PA,以PA為腰作等腰RPAD,使PAD=90。（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD.

①將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求FD長(zhǎng)度的取值范圍.

14.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（-1,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,作直線BC.動(dòng)點(diǎn)P在無軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PMLx

軸，交拋物線于點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)N,設(shè)前P的橫坐標(biāo)為機(jī).

（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式：

（2）求四邊形ABDC的面積：

（3）P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接心，PC,當(dāng)SP8C=^SABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（4）在拋物線的對(duì)稱軸/上是否存在點(diǎn)M，使得..BEM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少時(shí)，APC的面積有最大值.

(3)點(diǎn)Q在平面內(nèi)，試探究是否存在以A,C,D,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+5的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-l,0),B(5,0)兩點(diǎn)。

(1)直接寫出拋物線的解析式和直線BC的解析式:

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段0B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段MN長(zhǎng)度的最大值：

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若bCMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)，求m的值;

(4)當(dāng)以C、0、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出m的值.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線云+c與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，其中A(L0),與

y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

(2)若M是第?象限內(nèi)線段BC上任意一點(diǎn)(不與B,C重合)MHx軸于點(diǎn)H,與二次函數(shù)的圖象交于

點(diǎn)P，連接PC,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為I,當(dāng)APCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

(1)求拋物線解析式；

(3)如圖，若M是直線BC上任意一點(diǎn)，N是x軸上任意?點(diǎn)，且MN=4,以N為旋轉(zhuǎn)中心，將MN逆

(2)如圖1,過點(diǎn)B作x軸垂線，在該垂線上取點(diǎn)P,使得PBC與ABC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)：

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使M落在Q點(diǎn)，連接MQ,BQ,則線段BQ的最值

(3)如圖2,在線段OB上取一點(diǎn)M,連接CM,請(qǐng)求出CM+’BW最小值.

2為。(直接寫出答案)

16.如圖，已知拋物線＞，=-/+桁+6與一直線相交于慶(?1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為

18.如圖，拋物線c,：y=x2-2x與拋物線G：y=ax、bx開口大小相同、方向相反，它們相交

D.

于。，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A,OA=2OB.

(1)求拋物線C2的解析式;

(2)在拋物線G的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最??？若存布，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，

若不存在，說明理由；

(3)M是直線0C上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，MC,M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),

..MOC面積最大？并求出最大面積.

答案解析部分①當(dāng)PC=PO時(shí)，點(diǎn)P(-|，-|)：

2

1.【答案】(1)解：根據(jù)題意知，拋物線的對(duì)稱軸為x=--=-1,則a=l.②當(dāng)PO=CO時(shí)，點(diǎn)P<0,-3)；

2a

0=-3k+n(k=-\

故該拋物線解析式是：y=x2+2x-3.,',,解得：\c，二直線BC

-3=0+〃[n=-3

因?yàn)閥=x?+2x-3=(x+3)(x-1),{

的函數(shù)解析式為y=-x-3.

所以A(-3,0),B(1,0)

22

設(shè)點(diǎn)P(x,-x-3),由PC=CO,得：[-(x+3)『+[-(-x-3)]=3,解得：xi=-3&，x2=-3

—^■y/2(不合題意，舍去)，'P(-3+>/2?——y/2).

222

綜上所述：存在點(diǎn)P(-]，一])或P(0,-3)或P(-3+\f2,-x/2),使POC為等腰三角形.

2222

3.【答案】(1)證明：(1)由折疊得：CD=PD,

CDE=PDE,

CDQ=PDQ,

又DQ=DQ,

:.CDQJPDQ,

由拋物線y=x?+2x-3知，C(0,-3).，CQ=PQ.

Vy=x2+2x-3=(x+1)2-4,(2)解：(2)如圖1,

AD(-1,-4),E(-1,0).

AAE=2,OC=3,OE=1,OB=1,ED=4,

***SF|ill^ABCD=SBOC+SH：<t5OEDC+SDAE=-x1x3+—(3+4)x1+—入2*4=9.

222

即四邊形ABCD的面積是9.

2.【答案】(1)解：???ABUx軸,A(-2,m),AAB=2.

又〈AB：OB=2：3,，OB=3,???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-3),Am=-3；

(2)解：???二次函數(shù)與y軸的交于點(diǎn)B,???c=-3.圖1

又;圖象過點(diǎn)A(-2,-3),A-3=4?2b?3,???b=2,??,二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3：???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)

(3)解：當(dāng)y=0時(shí)，有x?+2x-3=0,解得xi=-3,X2=l,由題意得：C(-3,0).CQ=PQ=y,

若POC為等腰三角形，則有：VB(4,2).

ABCM,AB=2,

設(shè)QP交BC于H,則QH=y-2,CH=x,

云aDf在RtCQH中，x2+(y-2)』y2,

2

\S(P3).*.y=^-x+l(0<x4)0

(3)解：如圖2,A2x75t=2石

(3)解：當(dāng)OVtWl時(shí)，S=SPDQ；DQxDP=；*6a

=txt=t2,當(dāng)ivt<2時(shí)，如圖2,

2

圖2

CQ=AQ-AC=2AD-AC=2Gt-2退=26(t-1),

(3)設(shè)直線0B的解析式為：y=kx,

在RlCEQ中，CQE=30°,

把B(4,2)代入得：4k=2,

X旦=2(t-1),

解之：k=—,/.CE=CQ-tanCQE=2百(t-1)

23

直線OB的解析式為：尸;x,

2

/?S=SPDQ-SEcy-Xy/2txt-；x2G(t-1)x2(t-1)=-t+46t-2石，

設(shè)直線0B與直線PQ相交于點(diǎn)G,設(shè)G(x,y).

則Q(x,—x2+l),-2(O<YI)

4

一竽t-—26(0</<2)

3

???當(dāng)x=l時(shí)，S有最小值為；.，匚PGF=90。，PG=1PQ=

2(4)解：當(dāng)PQ的垂直平分線過AB的中點(diǎn)F時(shí)，如圖3,

4.【答案】(D解:在Rt匚ABC中，A=30。，AB=4,

AAC=2G,11

-AP=t,AF=-AB=2,VA=AQP=30°,：FPG=60%PFG=30°,.-.PF=2PG=2t,

22

VPDDAC,

.\AP+PF=2t+2t=2,

；ADP=UCDP=90°,

?'?t=—；

在READP中,AP=2t,2

當(dāng)PQ的垂直平分線過AC的中點(diǎn)M時(shí)，如圖4,

?=wt,

ADP=t,AD=APcosA=2tx

2

DQMN=90°,AN=；AC=6，QM=gPQ=；AP=t,

/.CD=AC-AD=26-Gt(0<t<2)

(2)解：在RlPDQ中，VDPC=60°,.?.IJPQD=30°=UA,APA=PQ,VPD：AC,，AD=DQ,

???點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合，在RENMQ中，NQ=,

cos3003

.\AD+DQ=AC,

YAN+NQ=AQ,(3)解：如圖，EF是平移后的的拋物線的對(duì)稱軸,

A>/3+—r=2x/3t,

3

”A,

4

當(dāng)PQ的垂直平分線過BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖5,

.*.BF=-BC=1,PE=-PQ=t,□H=30°,；ABC=60°,/.BFH=30°=H,

224，64

根據(jù)(2)可知平移后的拋物線為>=-石(x-4)~+不

，對(duì)稱軸為直線x=4

，BH=BF=1,

VB(3,0),BC=5

在RtPEH中，PH=2PE=2t,

AC(8,0)A(0,4)

，AH=AP+PH=AB+BH,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

A2t+2t=5,

??.t=-,BP：當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為g秒或35件k+b=O

7秒或7秒

[b=4

5.【答案】(1)解：將點(diǎn)A、B分別代入函數(shù)解析式得

L=-i

J〃=4解之：2

[9m++〃=0b=4

w=4.'.y=-—x+4

2

解之：4

m=-----??,當(dāng)x=4時(shí)。y=」x4+4=2

152

4

故答案為：m=--,n=4???E(4,2),B(3,0),C(8,0)A(0,4)

(2)解：y=---x2-—x+4=--—(x+1)-+—

151515v715

???點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(3,0)

???AB=yJo^+OB2=&+32=5

???四邊形ABCD為菱形，

，AB=BC=5

42,8

??將拋物線y=--x-1工+4向右平移5個(gè)單位AE=^(4-2)2+42=2亞

，(竺，竺

y=X+l_5f+=(f+CE=^(8-4)3+22=2A/5

15v)1515v)15

故答案為：,=_石(工_4)-+3BE=^(4-3)2+22=V5

2

VAB=BC(2)解：①當(dāng)/x*時(shí)，y=-x2；

，BAC=BCA1632

當(dāng)4Vxs6時(shí)，y=-X--；

若以點(diǎn)C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似33

當(dāng)6Vxs10時(shí)，y=-2(x-8)2+—；

①當(dāng)一CEF=ABE時(shí)

33

162,4

=

CECFHtl2x/5CF當(dāng)10Vx$12時(shí)，y-x+-；

——=——li|J------=--=

ABAE52y/5

2

當(dāng)12Vxs16時(shí)，y=-(16-x)2.

解之：CF=4