4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)第四章

§4.1指數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合教材探究了解無理數(shù)指數(shù)冪.2.結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).(重難點)導(dǎo)語牛頓(Newton,1643－1727)是大家所熟悉的物理學(xué)家，可是你知道他在數(shù)學(xué)史上的貢獻嗎？他在1676年寫給萊布尼茨的信里說：“因為數(shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa，…寫成a2，a3，a4，…，所以可將

…寫成

，

，

，…，將

…寫成a－1，a－2，a－3，…”，這是牛頓首次使用任意實數(shù)指數(shù)，這正是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的指數(shù)冪的拓展過程.一、無理數(shù)指數(shù)冪的運算二、實際問題中的指數(shù)運算三、實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用隨堂演練內(nèi)容索引無理數(shù)指數(shù)冪的運算

一問題1閱讀課本108頁的探究，你發(fā)現(xiàn)了什么？提示可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)拓展到了無理數(shù)時，它是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上有唯一的一個點與它對應(yīng).問題2指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪的？提示正整數(shù)指數(shù)冪和0次指數(shù)冪→自然數(shù)指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪→實數(shù)指數(shù)冪.1.無理數(shù)指數(shù)冪：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的

.2.實數(shù)指數(shù)冪的運算法則(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).(4)拓展：

＝ar－s(a>0，r，s∈R).知識梳理實數(shù)注意點：特別強調(diào)底數(shù)a>0，如果a<0，比如

，無法判斷其值是1還是－1.例1

計算下列各式的值：(1)；原式＝

＝29×32＝4608.(2)(a>0)；原式＝

＝a0＝1.(3).原式＝

＝π.反思感悟關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)相同.(2)若式子中含有根式，一般把底數(shù)中的根式化為指數(shù)式，指數(shù)中的根式可以保留直接運算.跟蹤訓(xùn)練1

計算下列各式的值(式中字母均是正數(shù))：(1)；原式＝

＝26·m3＝64m3.(2).原式＝

＝a0＝1.實際問題中的指數(shù)運算

二例2

從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒___次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.4所以至少應(yīng)倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.反思感悟指數(shù)運算在實際問題中的應(yīng)用在成倍數(shù)遞增(遞減)、固定增長率等問題中，常常用到指數(shù)運算，用來計算增減的次數(shù)、增減前后的數(shù)量等.跟蹤訓(xùn)練2

如果在某種細菌培養(yǎng)過程中，細菌每10分鐘分裂一次(1個分裂成2個)，那么經(jīng)過1小時，一個這種細菌可以分裂成_____個.64經(jīng)過1小時可分裂6次，可分裂成26＝64(個).實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用

三例3(1)如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝______.1由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，則452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，所以2x＋y＝1.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①；設(shè)m＝

，兩邊平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因為m>0，所以m＝3，即

＝3.②x2－x－2.設(shè)n＝

，兩邊平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，延伸探究本例(2)的條件不變，求x3＋x－3的值.由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.反思感悟利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，靈活運用恒等式是關(guān)鍵.(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式.x2＋x－2＝(x±x－1)2

?2，x＋x－1＝

，

.跟蹤訓(xùn)練3√課堂小結(jié)1