4.3.1對(duì)數(shù)的概念第四章

§4.3對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解對(duì)數(shù)的概念，會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.(重點(diǎn))2.會(huì)利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值.3.掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式.(難點(diǎn))導(dǎo)語(yǔ)有一個(gè)投資項(xiàng)目，滿足年利率為20%的復(fù)利，假設(shè)你是這個(gè)項(xiàng)目的負(fù)責(zé)人，想勸說(shuō)投資者多投資，如果你跟他們說(shuō)復(fù)利、指數(shù)增長(zhǎng)，他們聽(tīng)不懂.投資者問(wèn)：“你就告訴我，我的錢(qián)啥時(shí)候能翻倍，變成5倍，10倍？”你能給他們滿意的答復(fù)嗎？一、對(duì)數(shù)的概念與指對(duì)互化二、利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值三、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式隨堂演練內(nèi)容索引對(duì)數(shù)的概念與指對(duì)互化

一問(wèn)題1我們知道若2x＝4，則x＝2；若3x＝81，則x＝4；若

＝128，則x＝－7等等這些方程，我們可以輕松求出x的值，但對(duì)于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等這樣的指數(shù)方程，你能求出方程的解嗎？提示用指數(shù)方程不能解決上述方程，為了解決這個(gè)問(wèn)題，早在18世紀(jì)的歐拉為我們提供了解決問(wèn)題的方案，那就是發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，用對(duì)數(shù)來(lái)表示指數(shù)方程的解.知識(shí)梳理對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中a叫做對(duì)數(shù)的

，N叫做

.x＝logaN底數(shù)真數(shù)注意點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來(lái)，則底數(shù)a、指數(shù)或?qū)?shù)x、冪或真數(shù)N的范圍不變，只是位置和名稱(chēng)發(fā)生了變換.(2)logaN的讀法：以a為底N的對(duì)數(shù).問(wèn)題2現(xiàn)在你能解指數(shù)方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了嗎？提示x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.兩類(lèi)特殊對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；(2)以無(wú)理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.知識(shí)梳理例1(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意義，則x的取值范圍為A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)C.(4，＋∞) D.(3,4)√解得3<x<4或x>4.(2)將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：①log216＝4；24＝16.②③ln100＝4.606；e4.606＝100.④43＝64；log464＝3.⑥10－3＝0.001.lg0.001＝－3.反思感悟(1)關(guān)于對(duì)數(shù)式的范圍反思感悟(2)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路①指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式.②對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式.跟蹤訓(xùn)練1(1)若對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)√要使對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞).√利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值

二例2(1)求下列各式的值.①log981＝____；2設(shè)log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.②log0.41＝____；設(shè)log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.0③lne2＝____.設(shè)lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.2(2)求下列各式中x的值.得x＝

＝

＝3－2＝

.②logx16＝－4.反思感悟?qū)?shù)式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題.②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練2

求下列各式的值：(1)log28；設(shè)log28＝x，則2x＝8＝23.∴x＝3，∴l(xiāng)og28＝3.∴x＝－1，∴

＝－1.(3)lne；lne＝1.(4)lg1.lg1＝0.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式

三問(wèn)題3你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成對(duì)數(shù)式或指數(shù)式嗎？提示log21＝0；log22＝1；

＝x.對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)0和負(fù)數(shù)

.(4)對(duì)數(shù)恒等式：

＝

；logaax＝

(a>0，且a≠1，N>0).知識(shí)梳理01沒(méi)有對(duì)數(shù)Nx例3

求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；∵log2(log5x)＝0，∴l(xiāng)og5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lgx)＝1；∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)x＝

.x＝

＝7÷延伸探究把本例(1)中的“l(fā)og2(log5x)＝0”改為“l(fā)og2(log5x)＝1”，求x的值.因?yàn)閘og2(log5x)＝1，所以log5x＝2，則x＝52＝25.反思感悟利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的方法(1)求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算.(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解.跟蹤訓(xùn)練3

求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.由log2[log3(log2x)]＝