2022考研數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).〔1〕函數(shù)的可去連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么〔〕1. 2. 3. 無窮多個(gè).【答案】C【解析】那么當(dāng)取任何整數(shù)時(shí)，均無意義故的連續(xù)點(diǎn)有無窮多個(gè)，但可去連續(xù)點(diǎn)為極限存在的點(diǎn)，故應(yīng)是的解故可去連續(xù)點(diǎn)為3個(gè)，即〔2〕當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，那么〔〕. .. .【答案】【解析】為等價(jià)無窮小，那么故排除。另外存在，蘊(yùn)含了故排除。所以此題選A?！?〕設(shè)函數(shù)的全微分為，那么點(diǎn)〔〕不是的連續(xù)點(diǎn). 不是的極值點(diǎn).是的極大值點(diǎn).是的極小值點(diǎn).【答案】【解析】因可得又在〔0，0〕處，故〔0，0〕為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)〔4〕設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么〔〕. . . .【答案】【解析】的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠郑?，將其寫成一塊故二重積分可以表示為，故答案為C〔5〕假設(shè)不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，那么在區(qū)間內(nèi)〔〕有極值點(diǎn)，無零點(diǎn). 無極值點(diǎn)，有零點(diǎn). 有極值點(diǎn)，有零點(diǎn). 無極值點(diǎn)，無零點(diǎn).【答案】B【解析】由題意可知，是一個(gè)凸函數(shù)，即，且在點(diǎn)處的曲率，而，由此可得，在上，，即單調(diào)減少，沒有極值點(diǎn)。對(duì)于，〔拉格朗日中值定理〕而由零點(diǎn)定理知，在上，有零點(diǎn)。故應(yīng)選〔B〕〔6〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：11-2023-1O那么函數(shù)的圖形為〔〕. 0231-2-10231-2-110231-2-11.0231-110231-110231-2-11【答案】【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：①時(shí)，，且單調(diào)遞減。②時(shí)，單調(diào)遞增。③時(shí)，為常函數(shù)。④時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。⑤由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為。〔7〕設(shè)、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣。假設(shè)，那么分塊矩陣的伴隨矩陣為〔〕. . . .【答案】B【解析】根據(jù)假設(shè)分塊矩陣的行列式即分塊矩陣可逆〔8〕設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，假設(shè)，那么為〔〕. . . .【答案】A【解析】，即：二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.〔9〕曲線在處的切線方程為【答案】【解析】所以所以切線方程為〔10〕,那么【答案】【解析】因?yàn)闃O限存在所以〔11〕【答案】0【解析】令所以即〔12〕設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，那么【答案】【解析】對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)有，得對(duì)再次求導(dǎo)可得，得當(dāng)時(shí)，，，代入得〔13〕函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【答案】【解析】因?yàn)?，令得駐點(diǎn)為。又，得，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故在上遞減，在上遞增。而，，所以在區(qū)間上的最小值為。(14)設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，假設(shè)矩陣相似于，那么【答案】【解析】因?yàn)橄嗨朴?，根?jù)相似矩陣有一樣的特征值，得到得特征值是而是一個(gè)常數(shù)，是矩陣的對(duì)角元素之和，那么三、解答題：15－23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值9分〕求極限【解析】〔16〕〔此題總分值10分〕計(jì)算不定積分【解析】令得〔17〕〔此題總分值10分〕設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與【解析】〔18〕〔此題總分值10分〕設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積?！窘馕觥拷馕⒎址匠痰闷渫ń鉃槿我獬?shù)又因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)時(shí)與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，于是可得從而于是，所求非負(fù)函數(shù)又由可得，在第一象限曲線表示為于是D圍繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，其中〔19〕〔此題總分值10分〕求二重積分，其中【解析】由得，〔20〕〔此題總分值12分〕設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，即，得，又代入得，從而有當(dāng)時(shí)，得的通解為令解為，那么有，得，故，得的通解為由于是內(nèi)的光滑曲線，故在處連續(xù)于是由，故時(shí)，在處連續(xù)又當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，有，得由得，即故的表達(dá)式為或，又過點(diǎn)，所以?！?1〕〔此題總分值11分〕〔Ⅰ〕證明拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，那么存在，使得〔Ⅱ〕證明：假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，那么存在，且?！窘馕觥俊并瘛匙鬏o助函數(shù)，易驗(yàn)證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即〔Ⅱ〕任取，那么函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，對(duì)上式〔*式〕兩邊取時(shí)的極限可得：故存在，且?！?2〕〔此題總分值11分設(shè)，〔Ⅰ〕求滿足的所有向量〔Ⅱ〕對(duì)〔Ⅰ〕中的任一向量，證明：線性無關(guān)?！窘馕觥俊并瘛辰夥匠坦视幸粋€(gè)自由變量，令，由解得，求特解，令，得故，其中為任意常數(shù)解方程故有兩個(gè)自由變量，令，由得求特解故，其中為任意常數(shù)〔Ⅱ〕證明：由于故線性無關(guān).〔23〕〔此題總分值11分〕設(shè)二次型