設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為QALK,其中Q是產(chǎn)出量L是勞動投入量K是資本投入量,某公司每年的工資總額比上一年增加20％的基礎(chǔ)上再追加2百萬.若以Wt表示第t工資總額(單位：百萬元)，則Wt 設(shè)矩陣A 設(shè)隨量X,Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5.則根據(jù)切不等式PX-Y6 設(shè)總體XN(0,0.22XX,X X2X2X2X22X2X2 設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù),又

f'(x)1,則 xx=a是f(x)的極小值點(diǎn)xa是f(x)的極大值點(diǎn)(af(a))是曲線yf(x)的拐點(diǎn)x=a不是f(x)的極值點(diǎn)(af(a))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)1(x21),0x設(shè)函數(shù)g(x)xf(u)du,其中f(x) ,則g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi) 1 1(x1),1x(A)(B)遞減(C)不連續(xù)(D)連 a a14 a

設(shè)A 24,B 21,P1 a a 34 31 a44 a41 P ,其中A可逆,則B1等于 1 1 (A) (B)P (C)PP1 1 設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量.若秩 秩(A)，則線性方程組 0 (B)AX=α必有惟一解(C) (D) 0y 0y 將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X和Y分別表示正面向上和向上的次數(shù),則X和Y的相關(guān) 1(A)- (B) 2

(D)(本題滿分5分=exyxy2和exxzsintdtdu (本題滿分6分

xc )lim[f(x)f(x1)],求c的值(本題滿分6分

1(x2y2

xx DD

六、(本題滿分7分(1)問p和q為何值時，S達(dá)到最大 七、(本題滿分6分1設(shè)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(1k3xe1xf(x)dx,(k0證明：存在ξ∈(0,1f'()2(11f八、(本題滿分7分fn(xf(x)

exn1ex(n為正整數(shù))且f(1) efn(x之和

九、(本題滿分9分

設(shè)矩陣A 1, 1.已知線性方程組AX=β有解但不唯一,試求 a 正交矩陣Q,使QTAQ為對角矩陣十、(本題滿分8分 中元素aij的代 式 =1,2,…,n)f(x1x2,xn)i1j

AijxxAi nA記A(x1,x2,xn),把f(x1,x2,xn) Ai1jgXXTAXfX的規(guī)范形是否相同？說明理由十一、(本題滿分8分生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保障不超載的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).十二、(本題滿分8分 量X和Y對聯(lián)和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均勻分布，試 量U={X?Y}的概率密度p(u).2001年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解Eyxy fx fx1 【詳解】由QALK，當(dāng)Q1ALK1KALK dAL

LK

1 AL AL1.2Wt1【詳解】Wt表示第t年的工資總額，則Wt1表示第t分的定義可得Wt滿足的差分方程是：Wt(120)Wt121.2Wt12 1A k 0 k 0

k 1

k 0 k k 11k111 11 11k111 11k0011k1111k110k0111k100kk111k1110k0000k0000kk=1或k3.當(dāng)k=11111011

(k3)(k1)3 A111

111 1

不等式為：PXE(X) EXYEXEYDXYDX2cov(X,Y【詳解】把XY看成是一個新的隨量，則需要求出其期望和方差. E(XY)EXEY220

(0.5)1 D(XY)DX2cov(X,Y)DY12(1)4 PX

6PXYE(XY)6D(XY)3 【所用概念】1.F分布的定義：F 其中X~2(n Y~2(n n i1

□N(0,22)i1,2,,15，Xi0

□N(0,1)X 1 102(10),11 1522 2 2 2X 1 10與 11 15相互獨(dú)立2 2 2 2X 2 1 10Y2 2

X2X F(10, 2 2X2X2 11 15 2 25故Y服從第一個自由度為10，第二個自由度為5F分布方法1：由limf'(x)1,

x

f

flimf'(x)lim xa limxa10 xax xaxa極限等于函數(shù)在這一點(diǎn)的值，所以f(a)0，于是有f"(a)limf'(x)f'(a)limf'(x) x xaxf(a)0f(a)10f(xx0f(x00f(x00f(x00f(xx0處取得極大值.xa是f(x)的極大值點(diǎn)，因此，正確選項為(B).方法2：由limf'(x1及極限保號性定理：如果limfxAA0(A0xax 那么存在常數(shù)0，使得當(dāng)0 xx0時，有fx0(或fx0)，知存xaf'(x0.xax充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)x0處連續(xù)，且在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若f(af(x的極大值.當(dāng)0x1時，f(x)1(x21) x x g(x)fudu (u21)du u3 u x3 0當(dāng)1x2

10f(x (x1)3

g(x)xf(u)du1f(u)duxf(u)du11(u21)dux1(u 0 11u311u11u2x1ux21x 3 1x31 0x g(x) 1x limg(x)lim1x31x2，limg(x)lim21x122 x1 2 x1 g(1)211122 131 1 同樣，可以驗(yàn)證(A)、(B)0x1g(x6x2x2x2

6【答案】. AE B，其中 0，

EE1EP1PP1P 2 1B1APP1P1P1A12 1【答案】

0 n1階矩陣

秩(A)nn

0 0 0y 【詳解】擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是向上，所以XYn，從而YnX， DYD(nX)DXDXEX2EX)2DYD(nX)E(nX)2E(nX)2E(n22nXX2)(nEXn22nEXEX2n22nEX(EX)2EX2(EX)2DXcov(Xc0c為常數(shù))cov(aXbYabcovX,Y)cov(X1X2,Y)cov(X1,Y)covX2,Y)) cov(X,Y)cov(X,nX)cov(X,n)cov(X,X)0DX

f(x)g(t)dt]g[f(x)]f( □duff□

f

y

z在exyxy2xexy(yxdy)(yxdy) 在exxzsintdt兩邊分別對x sin(x ex(x.e (1.x

即 1 sin(xduffdy

fy

y 四【詳解】因?yàn)閘im(11xx

xy

sin(xz)

cxlim(xc2c xx

x2clim(xc2c)2c

xc)) x x

x

xc)2c2

(amnam)nlim

xc)2c (利用對數(shù)性質(zhì)elnfx)f(xlim

xc)2c (利用對數(shù)性質(zhì)lnf(x)gx)g(xlnf(x)2cx xclim ln(1 )2cexxc ))2cx

xc limln(1 )2cexxcx limf(x)g(x)limf(x)limg(x) 2cx

xc lnlim(1 )2cex x e2cln

(利用lim(1) )(lne1

xef(x在內(nèi)可導(dǎo)，故在閉區(qū)間[x1,x上連續(xù)，在開區(qū)間(x1,x內(nèi)可導(dǎo)，那么又由日中值定理，有f(x)f(x1)f()[x(x1)]f(),x1lim[f(x)f(x1)]limf'()e x lim[f( f(x1)],從而 e，故xx 1y1,yx1(x2y2

1(x2y2

dyydxy(1y)dy2111111D1(x2y2

1(x2y2

2 11(x2y2 2DD

dxdy

dx

ydyy

d(x2)

1(x2y2

1(1y2 ydye d[(x2y2)]

1 1(1y2

1 1(1y2

1 2

2

e12111(1y2

1(122 y2

1

d[(1y2 e

2 1(x2y2D

]dxdy3ypx2qxxpxq0xx0xq p Spx2qxdxpx3qx2 pp

(注：

xndx1xn1C 0

6 nxy5ypx2qx相切，故它們有唯一公共點(diǎn).xyypx2(q1)24p(5)(q1)220p p1(qq3qS(q) 6

1(q1)2

3(q1)4 S(q)

(200q3)[3(q1)4][3(q1)4](200q3)[3(q1)4]2

200q2(33(q當(dāng)1q3S(q0q3S(q0.故根據(jù)極值判定的第一充分條q3S(q)取唯一極大值，即最大值. S 方法2：ypx2qxxy5相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(xy ypx2qxxy5 拋物線與直線在切點(diǎn)處的切線斜率是相等的，即一階導(dǎo)數(shù)值相等.ypx2qx把切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)代入，得yxx

2

q1

q2xy5y5xypx2qx y5x5(q1px2qxp(q12q(q 2 2 2

p1(qS(q)3(q1)4 S(q)

(200q3)[3(q1)4][3(q1)4](200q3)[3(q1)4]2

200q2(33(qq3.當(dāng)1q3時，S(q0;q3時，S(q0;時， S (x)f(x)x1fx.f(x)x1f(x)x看成一個微分方程，用分離變量法求解.df(x)x1dxf(x) df x f(x) dx(1x利用1dxlnxC及xndx xn1C， nlnf(x)xlnxC1lnf(x)

xf(x)x

，x xexf(x)C，命F(x)xexf(x).1f(1)kkxe1xf(x)dx,(k0bb 1f(1)kkxe1xf(x)dxe1f0. f()(11)f 八f(xf(x)xn1exf(x為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)1,q(x)xn1e f(x)ep(x)dx(q(x)ep(x)dxdxdx

x nf(x)en

n1 e

dxC

nC n, n, fn(1)nfn(1)enC，得C0fn(x nnfn(x)nn

ex 1 1S(x)

則a

limn1

nn1 n

n

n.xn xn S(x) xn1 1xx2xnn1n n1n 1 10故根據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系f(x)dxf(xC，得xS(x)dxS(xxS(x00 nS(0)n

1

02S(x)S(0)xS(x)dx0 1dxln(1x) 01n1

ln(1x),xx1時，

.nxn n1

x),

[

(x)exln(1x),x九【詳解】(1)AX有解但不唯一，即有無窮多解rArAn3 1

A a 1a 01a1a2 a 1 （a(2)由(1)A A 1由22EA2

1 2 1

1 3 0于是得方程組(0EA)x0x1x22x33x3x 3E 3E

2

3-2行

0于是得方程組(3EA)x0

0x15x2x39x 2

3EA 2 1行(4)倍,2倍 6分別加到2,3

0 于是得方程組(3EA)x0x1x2x33x6x 0,2征向量相互正交，之需將1,2,0,21

1

33121212

1,21,3,2

221212

2,3

66(1)(1)2226令Q,,

6 26 612 12

6 QTAQQ1AQ 0 f(x,x,x)

Aijx

1

Ax

1

xA

ii1j1|A

Ai1j

iji

A

ij1

x(AxAxAxA

i1 i2 inx1

x1A1A

x(A,A,,A)x2

1

x(A,A,,A)x2

in xn

in xn

Ax1A1x(A,A

,A)x(A,A ,A)

xx(A,A , x

) A Ax xn x1 AAAx2

Tx2 (x,x,,x)21 2n

(x,x,,x)A