2022年江蘇省南京市師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足 A． B． C． D．參考答案：B根據(jù)正弦定理知，不妨設(shè)，則，所以，選B.2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若，則△ABC的形狀為（

）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.不確定參考答案：A略3.設(shè)向量，，且，則等于Ａ．

B．

Ｃ．

D．參考答案：D4.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上且滿足等于(

)。A

B－

C

D

－

參考答案：D略5.如果直線交于相異兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)。的以值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．（-2，2）參考答案：C6.直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k=1”是“△OAB的面積為”的（） A．充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C．充分必要條件 D． 既不充分又不必要條件參考答案：考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 直線與圓；簡易邏輯．分析： 根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．解答： 解：若直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則圓心到直線距離d=，|AB|=2，若k=1，則|AB|=，d=，則△OAB的面積為×=成立，即充分性成立．若△OAB的面積為，則S==×2×==，解得k=±1，則k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件．故選：A．點(diǎn)評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：答案：C解析：本小題主要考查等可能事件概率求解問題。依題要使取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則取出的2張卡片上的數(shù)字必須一奇一偶，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率8.設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），則不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集為（） A．（2014，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2020，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算． 【分析】利用函數(shù)的可導(dǎo)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性以及不等式，轉(zhuǎn)化求解不等式的解集即可． 【解答】解：定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0， 所以函數(shù)g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)， 因?yàn)椋▁﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1， 所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3）， 所以x﹣2017＞3，解得x＞2020． 則不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集為：（2020，+∞）． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不等式的解集，不等式恒成立問題存在性問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 9.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在區(qū)間（4，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x+4）為偶函數(shù)，則(

)A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5） C．f（3）＞f（5） D．f（3）＞f（6）參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】轉(zhuǎn)化思想．【分析】先利用函數(shù)的奇偶性求出f（2）=f（6），f（3）=f（5），再利用單調(diào)性判斷函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓骸遹=f（x+4）為偶函數(shù)，∴f（﹣x+4）=f（x+4）令x=2，得f（2）=f（﹣2+4）=f（2+4）=f（6），同理，f（3）=f（5），又知f（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，∵5＜6，∴f（5）＞f（6）；∴f（2）＜f（3）；f（2）=f（6）＜f（5）f（3）=f（5）＞f（6）．故選D【點(diǎn)評】此題主要考查偶函數(shù)的圖象性質(zhì)：關(guān)于y軸對稱及函數(shù)的圖象中平移變換．10.命題的否定是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：特稱命題的否定是全稱命題，并否定結(jié)論，所以應(yīng)選A.考點(diǎn)：特稱命題與全稱命題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

參考答案：，要使復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則有且，解得.12.已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，則A∩B=

．參考答案：{3}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】直接利用集合的交集的求法，求出交集即可．【解答】解：因?yàn)榧螦={1，2，3}，集合B={3，4}，所以A∩B={3}故答案為：{3}．【點(diǎn)評】本題考查交集的求法，考查計(jì)算能力，送分題．13.對于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有

②

③若，，都有成立；

則稱函數(shù)為理想函數(shù)．下面有三個命題：若函數(shù)為理想函數(shù)，則；函數(shù)是理想函數(shù)；若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且，則；其中正確的命題是_______．（請?zhí)顚懨}的序號）參考答案：①②③略14.如圖，已知圓，四邊形為圓的內(nèi)接正方形，分別為邊，的中點(diǎn)，當(dāng)正方形繞圓心轉(zhuǎn)動時，的最大值是________.參考答案：略15.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則

▲

.參考答案：-1略16.下列命題中正確的是．（將正確結(jié)論的序號全填上）①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一個三棱錐四個面可以都為直角三角形．參考答案：③【考點(diǎn)】構(gòu)成空間幾何體的基本元素．【分析】①舉例說明有兩個側(cè)面是矩形的棱柱不一定是直棱柱；②舉例說明各側(cè)面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱；③畫圖說明三棱錐的四個面都是直角三角形．【解答】解：對于①，有兩個側(cè)面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，如斜放的一摞書，∴①錯誤；對于②，各側(cè)面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，如底面是菱形時，且各側(cè)面都是正方形，也是正棱柱，∴②錯誤；對于③，如圖所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P﹣ABC的四個面都是直角三角形，∴③正確．綜上，正確的命題是③．故答案為：③．17.給定雙曲線，若直線過的中心，且與交于兩點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，若直線的斜率均存在且分別記為，則

.參考答案：試題分析：設(shè)直線的方程為，，，則由得，,所以有，

，故應(yīng)填.考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2016?沈陽一模）某中學(xué)根據(jù)2002﹣2014年期間學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核遠(yuǎn)拔進(jìn)入這三個社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為m，，n，已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，且m＞n．（1）求m與n的值；（2）該校根據(jù)三個社團(tuán)活動安排情況，對進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修字分1分，對進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進(jìn)入“國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課字分分?jǐn)?shù)的分布列及期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為m，，n，已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，且m＞n，建立方程組，即可求m與n的值；（2）確定學(xué)分X的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列與數(shù)學(xué)期望【解答】解：（1）由題意，，m＞n∴m=，n=；（2）學(xué)分X的取值分別為0，1，2，3，4，5，6，則P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．X的分布列X0123456P期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．【點(diǎn)評】本題考查概率的求解，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．19.已知函數(shù)f1（x）=x2，f2（x）=alnx（其中a＞0）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=f1（x）?f2（x）的極值；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f1（x）﹣f2（x）+（a﹣1）x在區(qū)間（，e）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當(dāng)x＞0時，1nx+﹣＞0．（說明：e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）求出導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)為0的根與區(qū)間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值；（Ⅱ）寫出g（x）表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得g（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有兩個零點(diǎn)時的限制條件，解出不等式組即可；（III）問題等價(jià)于x2lnx＞﹣，構(gòu)造函數(shù)h（x）=﹣，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值，從而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可證得結(jié)論．【解答】解析（Ⅰ）f（x）=f1（x）?f2（x）=x2alnx，∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．∴函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）的極小值為f（）=﹣，無極大值．（Ⅱ）函數(shù)g（x）=，則g′（x）=x﹣+（a﹣1）==，令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=﹣a（舍去），當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．函數(shù)g（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，只需，即，∴，解得＜x＜，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．（Ⅲ）問題等價(jià)于x2lnx＞﹣，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值為﹣，設(shè)h（x）=﹣，h′（x）=﹣得，函數(shù)h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）減，∴h（x）max=h（2）=﹣，因﹣﹣（﹣）==＞0，∴f（x）min＞h（x）max，∴x2lnx＞﹣，∴l(xiāng)nx﹣（﹣）＞0，∴l(xiāng)nx+﹣＞0．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的最及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．20.在數(shù)列{an}中，，，設(shè).（1）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（1）證明：∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.從而，則.（2）解：

21.（2016?晉城二模）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=，公比為q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）設(shè)bn=，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列，可得2（S3+a3）=S1+a1+S2+a2，化簡整理可得：9a3=a1，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（II）bn=，cn==﹣，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】解：（I）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列，∴2（S3+a3）=S1