2021年天津北京師范大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則,,的大小順序是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.（5分）如果函數(shù)y=x2+（1﹣a）x+2在區(qū)間（﹣∞，4]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． a≥9 B． a≤﹣3 C． a≥5 D． a≤﹣7參考答案：考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 求出函數(shù)y=x2+（1﹣a）x+2的對(duì)稱(chēng)軸x=，令≥4，即可解出a的取值范圍．解答： 函數(shù)y=x2+（1﹣a）x+2的對(duì)稱(chēng)軸x=又函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，4]上是減函數(shù)，可得≥4，，得a≥9．故選A．點(diǎn)評(píng)： 考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊為減函數(shù)，右邊為增函數(shù)，本題主要是訓(xùn)練二次函數(shù)的性質(zhì)．3.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀是（

）A.銳角三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.等腰三角

參考答案：D4.若a=20.5，b=0.32.1，c=log5，d=log5，則(

)A．b＞a＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．a(chǎn)＞b＞d＞c D．a(chǎn)＞b＞c＞d參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷取值范圍進(jìn)行求解即可．【解答】解：a=20.5∈（1，2），b=0.32.1∈（0，1），c=log5=＜0，d=log5=＜0，∵，∴＜＜0，即c＜d＜0，則a＞b＞d＞c，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a，b，c，d的符號(hào)和范圍是解決本題的關(guān)鍵．5.已知，當(dāng)時(shí)，總有＞1，則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（

）A.6

B.8

C.

D.參考答案：B由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則知與x′軸平行的線(xiàn)段其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線(xiàn)在y′軸上，可求得其長(zhǎng)度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為，則原圖形的周長(zhǎng)是8cm，故選故選B.

7.（5分）函數(shù)y=3sin2x的圖象可以看成是將函數(shù)的圖象（） A． 向左平移個(gè)單位 B． 向右平移個(gè)單位 C． 向左平移個(gè)單位 D． 向右平移個(gè)單位參考答案：A考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．分析： 觀察從原來(lái)的函數(shù)到得到的函數(shù)解析式上在x上加的值，據(jù)圖象平移的規(guī)律：左加右減得到選項(xiàng)．解答： ∵由到y(tǒng)=3sin2x是因?yàn)閤加了∴函數(shù)y=3sin2x的圖象可以看成是將函數(shù)向左平移個(gè)單位故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查圖象平移的規(guī)律：左加右減，加減的單位是自變量x上加減的數(shù)的絕對(duì)值．8.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（

）A． 30°

B．45° C．60°

D．120°參考答案：C9.已知，則函數(shù)的最大值為（

）A．6

B．13

C．22

D．33參考答案：B10.直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為(

)Ａ．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是

.參考答案：略12.已知，則的取值范圍是_______；參考答案：[2,8]【分析】本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后等式兩邊同時(shí)平方并化簡(jiǎn)，得出，最后根據(jù)即可得出的取值范圍?！驹斀狻吭O(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，向量的數(shù)量積公式，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題。13.如圖：點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐的體積不變；②∥面；③；④面⊥面.其中正確的命題的序號(hào)是________．參考答案：略14.已知為的邊的中點(diǎn)，在所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則下列命題正確的有

．①；②是的重心；③和的面積滿(mǎn)足；④是的內(nèi)部.參考答案：①③15.已知函數(shù)，若，則的值為

.參考答案：2或16.若函數(shù)在[0,1)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍____________.參考答案：

(1,3]

17.已知，i是虛數(shù)單位．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則__________．參考答案：【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，求出，再把展開(kāi)即得.【詳解】與互為共軛復(fù)數(shù)，,.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的乘法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知向量=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2）．（1）求，的夾角的余弦值；（2）若向量﹣λ與2+垂直，求λ的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與夾角公式，即可求出兩向量夾角的余弦值；（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求出λ的值．【解答】解：（1）向量=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），∴?=﹣2×（﹣1）+4×（﹣2）=﹣6，||==2，||==；∴，夾角的余弦值為cosθ===﹣；（2）∵﹣λ=（﹣2，4）﹣（﹣λ，﹣2λ）=（λ﹣2，2λ+4），2+=（﹣4，8）+（﹣1，﹣2）=（﹣5，6）；又向量﹣λ與2+垂直，∴（﹣2λ）?（2+）=﹣5（λ﹣2）+6（2λ+4）=0，解得λ=﹣．19.已知函數(shù)，其中是常數(shù).（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若，自變量滿(mǎn)足，且的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)僅有整數(shù)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，求解不等式，即：，

,不等式的解為.…………4分

（2）由及，得,………5分

，

若，即時(shí)，則在處取最小值

，因此，.…………7分

若，即，則在處取最小值，

因此，（舍去）.…………………9分

綜上可知.……………10分

（3）設(shè)方程有整數(shù)根，，且，

，，……………11分

，，……………………12分

，且為整數(shù)，

，………………13分

為36的約數(shù)，

可以取，，，，，，………14分

實(shí)數(shù)對(duì)可能取值為，，，，

，，，，，，………15分

的對(duì)應(yīng)值為49，32，27，25，24，-25，-8，-3，-1，0.

于是有10個(gè)值能使方程根僅有整數(shù)根.……16分20.已知（1）設(shè)，求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值；參考答案：21.已知數(shù)列{an}和{bn},,,(且),,.(I)求;(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明;(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意恒成立,求t的取值范圍.參考答案：(I)(Ⅱ)猜想：證明：由提意所以，即對(duì)所有且都成立，易知,所以是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列所以,即:(Ⅲ)由,所以，即恒成立,所以且因?yàn)樵谶f減,遞增,所以在遞減,遞增.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，而當(dāng)時(shí)，.所以,所以，注意到,所以當(dāng)時(shí),,而，所以,即，所以綜上

22.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線(xiàn)BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）設(shè)D、E分別是線(xiàn)段BC、CC1的中點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線(xiàn)DE∥平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考答案：【分析】（Ⅰ）先證明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線(xiàn)BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直線(xiàn)BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）