理論分布與抽樣分布第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§1正態(tài)分布記為X~N(,2),其中

>0，是任意實(shí)數(shù).是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一yxOμ第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)是關(guān)于是對稱的.p(x)x0μ在點(diǎn)p(x)取得最大值.(2)若固定,改變,(3)若固定,改變,σ小σ大p(x)左右移動(dòng),

形狀保持不變.越大曲線越平坦;越小曲線越陡峭.第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一p(x)x0xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為(x),分布函數(shù)記為(x).第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一(x)的計(jì)算(1)x0時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表.(2)x<0時(shí),用若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)

=(a)[1(a)]=2(a)1

第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

例設(shè)X~N(0,1),求

P(X>1.96),P(|X|<1.96)=1(1.96)=1(1(1.96))=0.975(查表得)=2(1.96)1=0.95=(1.96)解:

P(X>1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而(a)=0.0495<1/2,所以a<0,(a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=1.65例第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理

設(shè)X~N(,

2),則Y~N(0,1).推論:

若X~N(,

2),則第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

若X~N(,2),則

P(X<a)=

P(X>a)=

第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X~N(10,4),

求P(10<X<13),P(|X10|<2).解:

P(10<X<13)=(1.5)(0)=0.93320.5P(|X10|<2)=

P(8<X<12)=2(1)1=0.6826=0.4332例第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X~N(,2),P(X5)=0.045,

P(X3)=0.618,求及.例=1.76=4解:

第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},則k=().3課堂練習(xí)(1)第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X~N(,42),Y~N(,52),記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},則()①對任意的，都有p1=p2

②對任意的，都有p1<p2

③只個(gè)別的，才有p1=p2

④對任意的，都有p1>p2①課堂練習(xí)(2)第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X~N(,2),則隨的增大，概率P{|X

|<}()①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定③課堂練習(xí)(3)第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布的3原則設(shè)X~N(,2),則

P(|X|<)=0.6828.

P(|X|<2)=0.9545.

P(|X|<3)=0.9973.第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)0當(dāng)xx(1)

Fn(x)=k/n當(dāng)x(k)x

x(k+1),k=1,2,…,n-11當(dāng)xx(n)

設(shè)

x1,x2,…,xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為x(1),x(2),…,x(n)，則稱

x(1),x(2),…,x(n)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù)

第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0和Fn()=1由此可見，F(xiàn)n(x)是一個(gè)分布函數(shù)，并稱Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§3統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布當(dāng)人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。統(tǒng)計(jì)量設(shè)x1,x2,…,xn

為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一按照這一定義，若x1,x2,…,xn為樣本則都是統(tǒng)計(jì)量。而當(dāng),2

未知時(shí)，x1-,x1/等均不是統(tǒng)計(jì)量。盡管統(tǒng)計(jì)量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一課堂練習(xí)(1)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體N(,2)的一個(gè)樣本,其中已知，2未知,以下哪些是統(tǒng)計(jì)量第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量：

第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3.樣本k

階矩原點(diǎn)矩中心矩第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一一、2—分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：

2—分布、t—分布、F—分布第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一2.2—分布的密度函數(shù)曲線第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一該密度函數(shù)的圖象是一取非負(fù)值的偏態(tài)分布

第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3.

分位點(diǎn)

設(shè)X

~2(n)，若對于：0<<1，存在滿足則稱為分布的下側(cè)分位點(diǎn)。第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一4.2分布的性質(zhì)：

a)分布可加性若X～2(n1)，Y～2(n2)，

X與Y

獨(dú)立，則

X

+

Y～2(n1+n2).

b)期望與方差

若X～2(n)，則E(X)=n，Var(X)=2n第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例4.1.3

設(shè)是取自總體N(0,4)的簡單隨機(jī)樣本.

當(dāng)a=

,b=

時(shí),則

解：由題意得a=0.05b=0.01第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一1.構(gòu)造若X

～N(0,1),Y～2(n),X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n

的t—分布。二、t—分布第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一2.t(n)的概率密度為:第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一t分布的密度函數(shù)的圖象是一關(guān)于縱軸對稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3.

t(n)的性質(zhì):

(1)

p(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱。

(2)

p(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù).

4.分位點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對0<<1,存在t(n)>0，滿足

P{Tt(n)}=則稱t(n)為

t(n)的下側(cè)分位點(diǎn).第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一注:第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例4.1.4

設(shè)隨機(jī)變量X

和Y

相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來自總體X和Y的s.r.s,則證明：故，且

與獨(dú)立,所以第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一三、F—分布

1.構(gòu)造若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X與Y獨(dú)立，則稱為自由度為n1,n2的F—分布,其概率密度為第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一該密度函數(shù)的圖象也是一取非負(fù)值的偏態(tài)分布

第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一2.F—分布的分位點(diǎn)

對于0<<1，若存在F(n1,n2)>0滿足

P{FF(n1,n2)}=，則稱F(n1,n2)為F(n1,n2)的下側(cè)分位點(diǎn)第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3.F—分布性質(zhì):第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一一般總體的結(jié)論設(shè)X為總體,則且E(X)=,Var(X)=2,為樣本,第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)總體的結(jié)論設(shè)總體則為樣本,(1)(2)獨(dú)立.(3)(4)第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一課堂練習(xí)(2)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體N(,2)的一個(gè)樣本,則服從什么分布？2(n)第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一課堂練習(xí)(3)設(shè)X1,X2,X3,X4是來自總體N(0,4)的一個(gè)樣本,求a,b,使得2(2