專項

平行四邊形與其他知識的綜合應(yīng)用1.

[2021浙江湖州吳興區(qū)期末]如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD交BC于點E,過點E作AE的垂線交CD于點F.若CF=1,AD=5,則AB的長為(

)

A.2 B.3 C.4 D.5類型1

平行四邊形與特殊三角形的綜合應(yīng)用答案1.C

解法一

延長FE交AB的延長線于點M.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠BEA.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE.∵AE⊥EF,

∴∠AEF=∠AEM=90°,∴∠AEB+∠BEM=90°,∠BAE+∠M=90°,∴∠BEM=∠M.∵AB∥CD,∴∠M=∠EFC.又∵∠BEM=∠FEC,∴∠FEC=∠EFC,∴CE=CF=1,∴BE=BC-CE=4,∴AB=4.解法二

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∠BAD=∠C,AD=BC=5,∴∠DAE=∠AEB,又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠AEB=∠BAE,∴BE=AB.設(shè)∠BAE=x,則∠C=∠BAD=2x,∠B=180°-2x.∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∴∠FEC=90°-x,∴∠EFC=180°-(∠C+∠CEF)=180°-(2x+90°-x)=90°-x,∴∠FEC=∠EFC,∴CF=CE=1,∴BE=4,∴AB=4.2.[2021陜西西安期末]如圖,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于點E,AD⊥AF于點A,在EF上取一點B,連接AB,BC,CD,且AB=FC,AD=BC.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.類型1

平行四邊形與特殊三角形的綜合應(yīng)用答案2.證明:∵FE⊥AC,∴∠FEA=∠FEC=90°,又∵∠FAC=45°,∴∠AFE=∠FAE=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF.在Rt△AEB和Rt△FEC中,AB=FC,AE=FE,∴Rt△AEB≌Rt△FEC,∴BE=CE,∴∠CBE=∠BCE=45°.∵AD⊥AF,∴∠FAD=90°,∴∠CAD=90°-45°=45°,∴∠BCE=∠CAD,∴BC∥AD,又∵BC=AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.類型2

平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用

類型2

平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用答案

類型2

平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用

答案當(dāng)四邊形ACBD'為平行四邊形時,AD'∥CB且AD'=CB.∵A點的坐標(biāo)為(3,4),B點的坐標(biāo)為(6,2),C點的坐標(biāo)為(6,0),∴點D'的橫坐標(biāo)為3,yD'-yA=yB-yC,即yD'-4=2-0,故yD'=6,∴D'點的坐標(biāo)為(3,6).當(dāng)四邊形ACD″B為平行四邊形時,AC∥BD″且AC=BD″.∵A點的坐標(biāo)為(3,4),B點的坐標(biāo)為(6,2),C點的坐標(biāo)為(6,0),∴xD″-xB=xC-xA,即xD″-6=6-3,故xD″=9,yD″-yB=yC-yA,即yD″-2