三角函數(shù)與解三角形（答案在最后）

I題型一利用正、余弦定理解三角形

27r

例1（12分）（2021?北京卷）已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求3的大小；

（2）在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求邊上的

中線的長度.

①c=也匕；②周長為4+2??；③面積為SAABC=邛三

答題模板

第一步利用正弦定理、余弦定理對條件式進(jìn)行邊角互化

第二步由三角方程或條件式求角

第三步利用條件式或正、余弦定理構(gòu)建方程求邊長

第四步檢驗(yàn)易錯(cuò)易混、規(guī)范解題步驟得出結(jié)論

訓(xùn)練1（2021?株洲一模）在QX/5sin8=cos3+1,（2）2/?sinA=atanB,③（a—c）sinA

+csinC=bsin8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.

已知△A3C的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,a=y{2,b=yf3,若,

求角8的值與△ABC的面積.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)

分）

題型二三角形中角或邊的最值、范圍問題

例2(2022?廣州一模)在①cosC+(cos4一小sinA)cosB=0,②cos2B~3cos(A+

Q=l,③bcosC+坐csin8=a這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

問題：在△ABC中，角A,B,。對的邊分別為a,b,c,若a+c=l,,

求角B的大小和b的最小值.

感悟提升涉及求邊的最值或取值范圍，一般思路是

(1)利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍或最值.

(2)利用正、余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式求出范圍或最值.

訓(xùn)練2在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a+b=l且滿足

條件.

⑴求C；

(2)求c的取值范圍.

請從下列兩個(gè)條件：①5=坐(。2+"2—,2)；②A/§tanAtan8—tanA—tan8=仍中

選一個(gè)條件補(bǔ)充到橫線上并解決問題.

題型三三角形面積(周長)的最值或范圍問題

例3(2021?昆明質(zhì)檢)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2(c

一acos

⑴求角A；

(2)若a=2,求△ABC的面積的取值范圍.

感悟提升三角形的面積(周長)的取值范圍或最值的解法

(1)三角函數(shù)法：通過正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角

形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的

單調(diào)性和值域求解.

(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面積(周長)公式建立a+b,ab,c^+b2

之間的等量關(guān)系，然后利用基本不等式求解.

訓(xùn)練3已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.2a+b=2ccosB,c=

小.

⑴求角C；

(2)延長線段AC到點(diǎn)。，使C￡>=C8,求△ABO周長的取值范圍.

鞏固練習(xí)

1.（2020?新高考山東卷）在①ac=5，②csin4=3,③，=小人這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角

形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=，§

兀

，

sinB,C=oz?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.(2020?全國II卷)△43C中，sin2A—sin2fi—sin2C=sinBsinC.

⑴求A;

(2)若8C=3,求△ABC周長的最大值.

3.（2022?泰安一模）已知函數(shù)段）=sinxcos（x-|-^j+cos2x.

⑴求應(yīng)r）在［O,j上的最值；

（2）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,1,a=2小，AABC

的面積為小，求sinB+sinC的值.

4.(2022?武漢質(zhì)檢)在△ABC中，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B

=爭，b=y[6.

2.

⑴若cosAcosC=g，求△ABC的面積；

⑵試問｝+：=1能否成立？若能成立，求此時(shí)△ABC的周長；若不成立，請說明

理由.

5.(2020.濟(jì)寧模擬)現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①2c—，§b=2acosB,②(2A—/c)cos

“cosC.從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題：

在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，.

⑴求A；

(2)若。=小一1,求△ABC面積的最大值.

cos8+1,、、一

6.在~②2戾inA=cztanB；③(a—c)sinA+csin(A+B)=Z?sinB這二

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若.

⑴求角3;

(2)若a+c=4,求△ABC周長的最小值，并求出此時(shí)AABC的面積.

三角函數(shù)與解三角形（解析版）

I題型一利用正、余弦定理解三角開^

27r

例1（12分）（2021?北京卷）已知在△ABC中,c=2bcosB,C=y.

（1）求8的大?。?/p>

（2）在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求邊上的

中線的長度.

①。=也8；②周長為4+2?。虎勖娣e為

［規(guī)范答題］

解（1）由正弦正理而西二而^，仔sinC=1廠，

又c=2〃cosB,所以sinC=2sinBcosB=sin2B,

又A,B,。為△A5C的內(nèi)角，C=y,

jr

故C=2B（舍）或C+2B=n,即B=%,

JT

又所以分

A+B+C=TI,A=Zo................................5

(2)由(1)知，c=^b,故不能選①................7分

選②，設(shè)BC=AC=2x,則AB=2，ic,

故周長為(4+24)x=4+2小，解得x=l.

從而BC=AC=2,AB=2小..............................9分

設(shè)BC中點(diǎn)為。，則在△A3。中，由余弦定理，得

一出+必一心12+1—AD?小

cosB=-2ABBD=4^3=2，

解得4。=巾.故3c邊上的中線長為由................12分

選③，設(shè)BC=AC=2x,則AB=25x,故

S&ABc=^-2x-2x-sin120。=小『=邛^,

巧

解得x=2，從而BC~AC—y［3fAB-3................................9分

設(shè)8C中點(diǎn)為。，則在△A3。中，由余弦定理，得

一4+必一A》

C0SB=2-ABBD

9+圖一心4

=^=2，

解得4。=亨.故BC邊上的中線長為早................12分

答題模板

第一步利用正弦定理、余弦定理對條件式進(jìn)行邊角互化

第二步由三角方程或條件式求角

第三步利用條件式或正、余弦定理構(gòu)建方程求邊長

第四步檢驗(yàn)易錯(cuò)易混、規(guī)范解題步驟得出結(jié)論

訓(xùn)練1(2021?株洲一模)在①A^sinB=cos3+1,②2加inA=atan8,③(a-c)sinA

+csinC=bsin8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,a=巾，b=事,若,

求角8的值與△ABC的面積.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)

分)

解若選①：由小sinB=cosB+l,

可得sin@*H，

因?yàn)?6(0,71),所以8一所以8=母,

、歷

由正弦定理得sinA=竽，

7T

又因?yàn)閍<b,所以A=].

所以sinC=sing57=1sin售+石~

12

.71兀?71.71V6+V2

=sin4cos%十cos^sin5=----------

匕1,13+小

所以S^ABC=^ahsmC=-.

若選②：由2bsinA=otanB

得2/7sinAcos3=asinB,

結(jié)合正弦定理得cos3=；,因?yàn)?￡(0,71),

所以8/，以下解法與選①相同.

若選③：由正弦定理，(a—c)sinA+csinC=bsin8可化簡為層―ac+c2=〃，

〃1

而cos3=----荻---=2,因?yàn)?￡(0,兀)，

所以8=全以下解法與選①相同.

|題型二三角形中角或邊的最值、范圍問題

例2(2022-A州一模)在①cosC+(cosA—小sinA)cosB=0,②cos2B—3cos(A+

0=1,③bcosC+^csin8=a這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

問題：在△ABC中，角A,B,C對的邊分別為a,b,c,若a+c=l,,

求角B的大小和b的最小值.

解選擇條件①：

由cosC+(cosA—4§sinA)cosB=0,

可得一cos(A+B)+cosACOSB—小sinAcosB=0,

即一cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB一小sinAcosB=0,

即sinAsin8—小sinAcos8=0,

因?yàn)閟inAWO,所以sinB一小cosB=0,所以tanB=，5,

TT

因?yàn)锽￡(0,7i),所以8=?

由余弦定理得b2=a2+c2^2accosB=a2+c2—ac=(a+c)2-3ac=1—3ac,

2

因?yàn)閍cWp"，=",當(dāng)且僅當(dāng)a=c=g時(shí)等號(hào)成立，所以〃=1—3ac21W，

所以b叢即人的最小值為今

選擇條件②：cos2B—3cos(A+C)=1,

可得2COS2B—1+3cosB=1,即2COS2B+3COSB—2=0,

解得cos8=；或cosB=-2(舍)，

jr

因?yàn)?￡(0,7i),所以

下同①.

選擇條件③：bcosC+^csinB=a,

,、、仍

由正弦定理可得sinBcosC+s^nCsin3=sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

即手sinCsin3=cosBsinC,

因?yàn)閟inCWO,

所以為"sinB=cosB,即tanB=小,

TV

因?yàn)?6(0,7i),所以B=§.

下同①.

感悟提升涉及求邊的最值或取值范圍，一般思路是

(1)利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍或最值.

(2)利用正、余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式求出范圍或最值.

訓(xùn)練2在△A3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a+b=l且滿足

條件.

⑴求C；

⑵求c的取值范圍.

請從下列兩個(gè)條件：①5=乎(層+扶一c2)；Atan3—tanA—tan8=小中

選一個(gè)條件補(bǔ)充到橫線上并解決問題.

解(1)補(bǔ)充①5=當(dāng)(層+"一/).

由余弦定理可知2Q/?COSC=a2+Z?2—c2,

則S=W?2o/7cosC=^-abcosC,

又S=^absinC,故可得tanC=事,

IT

所以C=y

補(bǔ)充@V^tanAtanB—tanA—tan8=小.

由小tanAtanB-tanA-tanB=事,

可得tan(A+B)=—y[3,故tanC=小，

所以c=?TT

(2)由余弦定理可知c2=a1+b2-2abcosC,

又cosC=y,a+b=1,/.c2=a2+b2-2abcosC=cr+b1—ab=(a-\-by—3ab=1

-3ab.

又a+b^2y[ab,。>0,b>0,

.?[w1—3cib<1,.*.^^c2<1,

.?.；WcVl,工。的取值范圍為

題型三三角形面積(周長)的最值或范圍問題

例3(2021?昆明質(zhì)檢)448。的內(nèi)角八，B,。所對的邊分別為。，b,c,已知2(c

—tzcosB)=y[3b.

⑴求角A；

(2)若q=2,求△ABC的面積的取值范圍.

解(1)由2(c—Qcos3)=小〃及正弦定理得2(sinC—sinAcosB)=^/3sin3,所以

2sin(/4+B)—2sinAcosB=#sinB,即2cosAsinB=y/^sinB,

因?yàn)閟in5W0,所以cosA=2^

TT

又OVAV兀，所以

(2)因?yàn)椤?2,所以由正弦定理得

Z?=4sinB,c=4sinC,

所以Sz\ABC=，csinA=TZ?C=4sinBsinC,

因?yàn)镃=n-(A+B)=^—B,所以sinC=sin借一8).

所以SAABC=4sinBsin管一8)

=4sinB^cos3+坐sinB)

=2sinBcosB+2小sir^B

=sin28—小cos2B+小

=2sin(28一野+4

5冗7TJr47r

因?yàn)?VB<-^-,所以一1V28—1<丁.

所以一坐Vsin(2B—§W1,

所以0VSAABCW2+小，

即△A3C的面積的取值范圍是(0,2+小].

感悟提升三角形的面積(周長)的取值范圍或最值的解法

(1)三角函數(shù)法：通過正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角

形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的

單調(diào)性和值域求解.

(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面積(周長)公式建立a+h,ab,cfi+b2

之間的等量關(guān)系，然后利用基本不等式求解.

訓(xùn)練3已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c.2a+b=2ccosB,c=

小.

⑴求角C;

(2)延長線段AC到點(diǎn)。，使CD=CB,求△A3。周長的取值范圍.

解(l):26[+b=2ccosB,

???根據(jù)余弦定理得

/+于一/

2m

整理得a2+b2—c2=—ab,

/+〃一/1

C=---------

c2oash2,

VCG(O,71),C=—.

（2）由題意得△3C。為等邊三角形,

.?.△480的周長為2。+力+小.

sinA-sinBsinC近

2

.*.tz=2sinA,〃=2sinB,

2a+b=4sinA+2sinB

=4sinA+2sin《一AsiV+6)

：.2a+bG他,2?

...△ABO周長的取值范圍是（2小，3小）.

鞏固練習(xí)

1.（2020?新高考山東卷）在①雙=小，②csinA=3,③。=小。這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角

形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=45

兀

sinB,Cq,---------------?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解由I和余弦定理得02藍(lán)丁=零

選條件①.

由sinA=，§sin8及正弦定理得

TU3」+廿一C2

才無2小。2=2'

由此可得b=c.

由①ac=小，解得a=#,b=c=l.

因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=l.

選條件②.

由sinA=/sinB及正弦定理得

2

Tu3」+廿一c

于無2小。2=2，

7E27r

由此可得〃=c,B=C=7,A=W.

由②csinA=3,所以c=〃=2小，a=6.

因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2小.

選條件③.

由sinA=，5sinB及正弦定理得a=yl3b.

于是23f當(dāng)由此可得”=0

由③c=y/ib,與b=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.

2.（2020?全國II卷）△ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周長的最大值.

解（1）由正弦定理和已知條件得

BC2-AC2-AB2=AC-AB.?

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA.?

由①②得cosA=—1.

27r

因?yàn)?<A<TI,所以4=于

（2）由正弦定理及⑴得籥=黑=第=2S，

從而AC=2，§sinB,

AB—2^/3sin（7i—A—B）=3cos8一小sinB.

故BC+AC+AB=3+y[3sinB+3cosB

=3+2V3sin^+1

又0＜慶余所以當(dāng)“聿時(shí)，△ABC周長取得最大值3+2小.

3.(2022?泰安一模)已知函數(shù)段)=sinxcos(x+*)+cos2x.

(1)求心)在［o,不7T上的最值;

(2)在△W中，角A,B,C所對的邊分別為a,4c,.圖=1,a=2小,

△ABC

的面積為小，求sinB+sinC的值.

22S.

1.2xcosx—^sinx+cosx

解(lVU)=sinH2cosx-2sinX+cosx==4sin

1—COS2xl+cos2x近.cI3..1V5,L,,1

LX--------十----2----SIN2X'4C0S2x+1=-^-sin(2x十

??八兀.兀^I兀5兀

.0,a，??產(chǎn)2x+產(chǎn)不,

2sin^2x+^j1,

???當(dāng)X￡[。，Z_|時(shí)，-,

2^3+1

?T)max—4

⑵瑪)=察G+目+H，

則sin(A+*坐

VAE(0,兀)，.?.A+等仔，號(hào))，.M=.

I-/2

?S/\ABC=/bcsinA=4bc="\[3,?.be—A.

r.b2+c2~a2

=r=

又G2y3,??cosA2b(、

/72+c2—12(Z?+c)2—201

88~T

???(〃+C)2=24,：.b+c=2y[69

a

又。AA=「7=4,/.sin5+sinC=Js+c)=羋.

smAsinBsinC4、,2

4.(2022?武漢質(zhì)檢)在aABC中，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,且B

=專，b=\[6.

2,

⑴若cosAcosC=§,求△ABC的面積；

(2)試問〉+：=l能否成立？若能成立，求此時(shí)AABC的周長；若不成立，請說明

理由.

解⑴由“冬，得4+。=5，

則cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,

SP^=cosAcosC-sinAsinC.

21

又cosAcosC=Q，**?sinAsinC=^,

?=-^=迅=2、仿

,sinAsinC迫“'

2

.\Q=2啦sinA,c=2啦sinC,

.*.5AABc=^csin3=；?2啦sinA-

2吸sinCsinB=4sinAsinBsinC

=4X：X坐邛

o2J

⑵假設(shè)：+：=l成立，???〃+c=ac

由余弦定理得6=a2+c2—2accos^=a2+c1+ac=(a+cy—ac,

代入可得3c)2—ac—6=0,ac=3或〃c=—2(舍)，

此時(shí)a+c=ac=3,不滿足a+c^2y[ac,

??二+!=1不成立.

5.(2020.濟(jì)寧模擬)現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①2c—=2acos3,②(2〃一小c)cos

67COSC從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題：

在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,

⑴求A;

(2)若。=小—1,求5c面積的最大值.

解選擇條件①：2c—y[3b=2acosB,

(1)???由余弦定理可得

廠a2+c2—/72

2c—y]3b=2acosB=2a?--------,

整理可得c2+b2—a2=yl3bc,

店+c2—也機(jī).坐

可得cosA=—Ibc—=2bc=2

71

?A￡(0,兀)，??4=不

(2)*：a=y[3—l,

/.由余弦定理a2=b2+c1—2bccosA,

可得(5—1)2=〃+/—2/?C.乎，

/.4—2^/3=b2+c2—y[3bc^Ibc—y/3bc,可得