第八章平行線的有關證明

6三角形內(nèi)角和定理

基礎過關全練

知識點1三角形內(nèi)角和定理

1.（2022山東濟南歷城期中）若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：5,則這個三角

形一定是

A.等腰直角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

2.（2022四川成都雙流期中）如圖,ADL3G8E是△ABC的角平分線乃￡,AD相交于

點F,已知N8AD=44。,則ZBFD=

I）（:

A.47°B.55°C.68°D.67°

3.（2022重慶南岸期末）在AABC中乃。是ZABC的平分線，點￡是A3上一點，且DE

//CB.若NA=60°,NC=70°,則ZBDE=

A.20°B.25°C.30°D.35°

4.【跨學科物理】如圖，一束光線照射到平面鏡A3上,然后在平面鏡A3和CO之

間來回反射，已知光線的反射角等于入射角，所以N1=N2,N3=N4,N5=N6,若N

1=50。,/6=65。,貝1]/3的度數(shù)為.

5.（2022江蘇無錫錫山期中）如圖,△ABC中,A。_L8c于點OBE是NABC的平分線,

^ZZ)AC=30°,ZBAC=80°.

(1)求NE3C的度數(shù)；

⑵求NA03的度數(shù).

知識點2三角形的外角

6創(chuàng)】如圖所示,反43。的外角為

知識點3三角形內(nèi)角和定理的推論

7.（2022四川樂山沙灣模擬）如圖，直線a〃h,則N1=)

A.1000B.11O0C.125。D.135。

8.（2022北京朝陽二模）如圖，點C,D在直線AB上,OC_LO。若NACO=120。,則N

ODB的大小為()

A.1200B.1400C.1500D.160。

9.如圖所示，。是4A3c中AC邊上的一點,E是BD上一點，則N1,N2,NA之間的大

小關系為()

A.ZA<Z1<Z2B.Z2<Z1<ZA

C.Z1>Z2>ZAD.無法確定

10.【一題多變】如圖,43〃。。/4=37。,/。=60。,貝!!/尸=.

［變式］如圖,43〃。。/3=147。,/。=110。,則/5￡：。=.

11.【一題多解】如圖，點C是NBA。內(nèi)一點，連接。8、。。/4=80。,/8=30。,/。=40。,

貝IJN8CO的度數(shù)是.

A

C

RD

12.（2022江蘇無錫江陰月考）如圖,/4=40。,/48。=38。,/4。8=80。,且CE平分N

AC8求N3EC的度數(shù).

A

能力提升全練

13.（2022浙江杭州中考,3,共動如圖，已知A3〃CO,點E在線段AD上（不與點A,點D

重合)，連接CE.若NC=2(F,NAEC=50。,則NA=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

14.（2022山東泰安新泰期中,11，碗）在圖①②中,24=42。,/1=/2,/3=/4,則/

。+/。2=()

A.1110B.1740C.1530D.1320

15.（2022江蘇揚州中考,16,倘）將一副直角三角板如圖所示放置，已知NE=60。,/

C=45°,EF//3G則/BND=

16.【易錯題】（2022黑龍江哈爾濱中考,17,標?）在A48C中,A。為邊3c上的高，/

ABC=30°,ZCAD=20。,則/BAC=度.

17.1學科素養(yǎng)?推理能力】（2022北京中考,20,倘）下面是證明三角形內(nèi)角和定理

的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理:

三角形三個內(nèi)角的和等于180°.

已知:如圖,△ABC.

求證:ZA+ZB+ZC=180°,

方法一:方法二:

證明:如圖，過點A作DE//BC.證明:如圖，過點C作CD〃AB.

18.（2022山東濟南槐蔭期末,23,饋?）如圖，在3c中，點E在AC上，點尸在A3上,

點G在BC上,且用〃CD,N1+N2=18O°.

⑴求證：GD〃CA；

⑵若CO平分NACBQG平分NCDB,且NA=40。,求NAC3的度數(shù).

c

19.【易錯題】（2022山東棗莊薛城期末,23,線）

【概念認識】

如圖①，若則BD.BE叫做NABC的“三分線”.其中,BD是“鄰

AB三分線”乃E是“鄰BC三分線”.

【問題解決】

⑴如圖②，在3c中,NA=8（F,NA3c=45。,若NA3c的三分線BD交AC于點D,

求N3。。的度數(shù);

⑵如圖③，在“3c中,3尸、CP分別是NA3C的“鄰3c三分線”和NACB的“鄰BC

三分線”，且N3尸0140。,求NA的度數(shù).

素養(yǎng)探究全練

20.【推理能力】（2021山東棗莊薛城期末）在一個三角形中,如果一個角是另一個

角的3倍，這樣的三角形我們稱為“靈動三角形”.例如，三個內(nèi)角分別為120。、40。、

20。的三角形是“靈動三角形”;三個內(nèi)角分別為80。、75。、25。的三角形也是“靈動

三角形”等等.如圖,NMCW=60。,在射線OM上找一點A,過點A作AB1OM交ON

于點田以4為端點作射線交線段OB于點C（規(guī)定0。＜/。4。＜90。）.

⑴NABO的度數(shù)為MAOB（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；

（2）若N84C=70。,則△AOC（填“是''或"不是”）“靈動三角形”；

（3）當aABC為“靈動三角形”時，求N。4c的度數(shù).

/)

答案全解全析

基礎過關全練

1.C設三個內(nèi)角的度數(shù)分別為2x,3x,5x(*0),

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得2%+3%+5A180。，

解得％=18。,.?.三個內(nèi)角的度數(shù)分別為36。,54。,90。,故三角形是直角三角形.

2.D'：ADLBC,ZADB=90°,：.ZABD=180°-ZADB-ZBAD=180°-90°-44°=46°,

平分NABD,：.ZEBC=-ZABD=23°,：.ZBFD=\S0°-ZADB-Z

EBC=180o-90o-23o=67°.

3.BVZA=60°,ZC=70°,

，ZABC=1800-ZA-NC=180°-60°-70°=50

BD平分/ABC,：.ZDBC=^ZABC=25°.

DE//BC,：.ZBDE=ZDBC=25°.

4.答案57.5°

解析如圖,?.,N2=N1=50。,N5=N6=65。，

Z7=180°-Z2-Z5=65。，Z3+Z4=180o-65°=115°,：Z3=Z4,AZ

3=1x115°=57.5°.

2

5.解析(1)：AD，3C...NAOC=90°,

ZDAC=30°,：.ZC=90°-Z￡)AC=60°/

ZBAC=S0°,

：.ZABC=180O-/BAC-ZC=40°,

?「BE是NA8C的平分線，

.5*32°。.

(2)VZBAC=8O°,ZDAC=3O0,

/BAD=/BAC-/DAC=5U°,

由(1)可知N￡8C=20。，

,：BEABC的平分線,，ZABO=ZEBC=20°,

在"03中,ZAOB=1800-ZBAO-ZABO=110°.

6.答案ZACD.ZCAF

解析根據(jù)三角形外角的定義可知,NACO和NCA尸為"BC的外角.

7.A根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得/1=55。+45。=100。.故選人.

8.C,?OC.LOD,：.ZCOr>=90o,VZACO是△COO的外角,「.ZACO=ZCOD+Z

CDO,：.ZCDO=ZACO-ZC0r>=120°-90°=30°,VZCDO+Z008=180。,，Z

ODB=180°-ZCDO=180°-30°=150°.

9.AZ2=Z1+ZDCE,Z1=ZA+/ABD,：.ZA<Z1<Z2.故選A.

10.答案23。

解析AB//CD,ZC=60ZBEF=ZC=60°,VZBEF=NA+N居NA=37°,AZ

F=ZBEF-ZA=60°-37°=23°.

［變式］答案37°

解析如圖，延長EB,交CD于點M,

C~話~匕

AB//CD,：.ZCME=ZABE=147°,

ZBED=ZCME-ZD=147°-110°=37°.

11.答案150°

解析解法一:如圖，延長3c交A￡)于E

/BED是的一個外角,乙4=80。,/3=30。,

：.ZBED=ZA+ZB=ilO°,

,：/BCD是ACDE的一個外角,NZ)=40。，

...ZBCD=ZBED+ZP=150°.

解法二:連接AC并延長到點瓦

/BCE是3c的外角,，ZBCE=ZB+ZBAC,

ZDCE是△ACZ）的外角,，ZDCE=ZD+ZDAC,

ZBCD=ZBCE+ZDCE,：.ZBCD=ZB+ZBAC+ZD+ZDAC=ZB+ZBAD+Z

D,

'：ZBAD=80°,ZB=30°,Z0=40°,

六ZBCD=30°+80°+40°=150°.

12.解析VZA=40°,ZABD=38°,

ZBDC=ZA+ZABD^Q°+38°=78°,

,:CE平分ZACB,：.ZACE=|ZACB=40o,

/BEC=/EDC+/DCE=78°+40°=ll8°.

能力提升全練

13.C/AEC為ACED的外角，且NC=20O,NA￡C=50。,，Z￡>=50°-20°=30°VAB

//CD,：.NA=ND=30°.故選C.

14.D題圖①中,?.?N4+NABC+NAC3=180。，

，ZABC+ZACB=180°-42°=138°.

VZl=Z2=^ZABC,Z3=Z4=iZACB,

Z2+Z4=69°.VZ2+Z4+ZO1=180°/

.*.ZOi=180°-69o=lll°.

題圖②中ZACD=ZA+ZABC=42°+ZABC,

且/1=/2三/48。,/3=/44/4。。

Z4=|(42°+ZABC)=21°+^ZABC.

11

N4=N2+NO2,；.ZO2=Z4-Z2=21°+^N/BC-：NABC=2\0,：.ZOi+Z

02=111°+21。=132。.故選D.

15.答案105

解析N￡=60°,NC=45°,ZF=30°,ZB=45°VEF//BC,：./NDB=/F=3U。,：.

ZBND=180°-ZB-ZNDB=l80°-45。-30。=105。,故答案為105.

16.答案80或40

解析當△ABC為銳角三角形時,如圖，

ZBAD=1800-ZB-ZADB=180°-30°-90°=60°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+20°=80°；

當"3C為鈍角三角形時,如圖，

A

ZBAD=180°-ZB-ZADB=180°-30°-90°=60°,

ZBAC=ZBAD-ZCAD=60°-20°=40°.

綜上所述,NB4C=80?；?0°.

故答案為80或40.

17.證明方法T：DE〃BC,

二.ZB=ZBAD,ZC=ZCAE,

ZBAD+ZBAC+ZCAE=180°

，ZB+ZBAC+ZC=180°.

方法二:：。〃AB,

ZA=ZACD,ZB+ZBCD=180°,

NB+ZACB+ZA=ZB+ZACB+ZACD=ZB+ZBCD=180°.

18.解析⑴證明:

：.Z\+ZACD=\80°,

'：Zl+Z2=180°,/.Z2=ZACD,：.GD//AC.

⑵：CO平分NACB,QG平分/CDB,

11

ZACD=-ZACB,Z2=ZGDB=-ZCDB.

，22

'：ZCDB=ZA+ZACD,Z2=ZACD,

：.2ZACD=ZA+ZACD,

：.ZACD=ZA=40°,

：.ZACB=80°.

19.解析⑴如圖，當BD是“鄰AB三分線”時,/43。=乙鉆