2023屆呼和浩特市高三年級質(zhì)量普查調(diào)研考試

文科數(shù)學

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、

座位號涂寫在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.答第H卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合4=*|2，>4},集合8={1,2,3,4},那么集合AB=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,3,4}D.{3,4}

2.若i（l-z）=l,則下列說法正確的是（）

A.復數(shù)z的模為正B.1=1-/

2

C.復數(shù)z的虛部為TD.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限

3.已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（-5,初），且sina=-工，則

1-cos2a.、

=()

sin2a

5C512-12

A.—B.--C.—D.——

121255

4.己知|〃|=夜，|b|=l,(a+23).(a-b)=l,則a與h的夾角為()

A.71B.—c.—D.

不42T

)，，C=10gg,

5.設a=32，b=2則（)

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

6.數(shù)列{〃〃}中，如果q=47-2〃，則S“取最大值時，〃等于（）

A.23B.24C.25D.26

22

7.已知雙曲線鼻-馬=1（4>0,〃>0）的右焦點為尸，點A是其漸近線上的一點，若|AF|的最小值為3a,

ab

則該雙曲線的離心率為（）

A.V10B.2>/2C.3D.G

8.小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動

場上選取相距20米的C,。兩觀測點，且C,O與教學樓底部3在同一水平面上，在C,。兩觀測點處

測得教學樓頂部A的仰角分別為45。，30。，并測得N38=120。，則教學樓A3的高度是()

A.20米B.200米C.15。米D.25米

9.已知函數(shù)、=[8稱為高斯函數(shù)，其中不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x],如圖，則輸

出的S值為()

窣

I1=0^=0|

/輸中S/

[S]

A.42B.43C.44D.45

10.曲線y=sinx+2cosx在點（肛-2）處的切線方程為（）

A.x—y—71—2=0B.2x~y~2萬—2=0C?2x+y—27r+2=0D.x+y—4+2=0

11.已知函數(shù)〃#=2*2-如-3根，則“加＞2”是“)(x)v0對xw[l,3]恒成立”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7a

12.定義在/?上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(-工,0)成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有/(犬)=-/(%+萬)，

且f(T)=l，/(0)=—2,則/⑴+f(2)+〃3)++/(2021)的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

第n卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22題~第23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x—y+1..0

13.若實數(shù)x,y滿足<x+y+1..0,則z=2x-y的最大值是.

.%,1

14.已知圓0與圓丁+9+10》+10產(chǎn)0相切于原點，且過點4(0,-4),則圓C的標準方程為.

15.函數(shù)/(x)=2sin(tox+e)(<y>0,|夕|<5)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于/(x)的結(jié)論正確的序號

為-.

①/(X)的最小正周期為;T；

②f(x)的圖象關(guān)于直線X=-對稱；

6

③若不，演W(->「)且f(芯)=/(X2),則1/_&+電)=6；

63

@f(x)的圖象向左平移。(e>o)個單位得到g(x)的圖象，若g(x)圖象的一個對稱中心是(2,o),則，的最

小值為工.

16.如圖，已知產(chǎn)是半徑為1圓心角為絲的一段圓弧A3上的一點，若AC=2C3,則P4PC的取值范圍

3

是.

O'B

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)如圖，在梯形ABCZ)中，AB//CD,4BCD=2兀,BD;而,8=應.

4

(1)求sinNCRD的值；

(2)若4的的面積為4,求4)的長.

18.(12分)已知數(shù)列｛a“｝滿足q+2a2+36+…+=(〃-1)，2向+2(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

(2)設8=-----冬-------數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，求證：S?<-.

(4+1)(4向+1)3

19.（12分）用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量

的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的工，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設用x單

2

位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)/（%）.

（1）試規(guī)定”0）的值，并解釋其實際意義；

（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)/（x）應該滿足的條件和具有的性質(zhì)（至少3條）；

（3）設/。）=_二.現(xiàn)有4（。＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試

1+廠

問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xe，-2ox+a.

(1)當。=，時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

221

21.（12分）已知橢圓。:r一+v斗=1（4＞匕＞0）的離心率為上，橢圓的右焦點尸與拋物線＞2=4x的焦點重合.

a2b?2

（1）求橢圓C的方程；

（2）A,3是橢圓的左，右頂點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點/，N,直線AM與直線x=4

交于點P,記P4,PF,8N的斜率分別為《，k2,k、,勺土b是否為定值？并說明理由.

2卷

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

x=3-—t

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為？。為

"石+烏

I2

參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系X。)，取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，

圓C的方程為夕=2石sin?.

(1)求圓C的參數(shù)方程；

(2)設圓C與直線/交于點A,B,求弦長的長.

23.［選修45：不等式選講］(10分)已知根.0,函數(shù)f(x)=2|x-l|-|2x+,w|的最大值為4.

(1)求實數(shù)，〃的值；

(2)若實數(shù)a,b,c滿足a-2Z?+c=,〃，求/十/寧十^的最小值.

2023屆呼和浩特市高三年級質(zhì)量普查調(diào)研考試

文科數(shù)學

參考答案及評分標準

【選擇題&填空題答案速查】

題號12345678910111213141516

[1-孚1]

答案DBCBBAAADDCA4(x+2)2+(y+2)2=8①③④

選擇題選項分布4個A3個B3個C2個D

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.己知集合A={》|2'>4},集合8={1,2,3,4},那么集合A8=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,3,4}D.{3,4}

【解析】A={x\2x>4}={x\x>2],3={1,2,3,4},/.AB={3,4}.故選：D.

【評注】本題考查描述法、列舉法的定義，以及交集的運算.

2.若i(l-z)=l,則下列說法正確的是()

J2-

A.復數(shù)z的模為超B.z=l-/

2

C.復數(shù)z的虛部為TD.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限

【用析】復數(shù)z滿足i(l—z)=l,整理得：z=nt=(T+?I)=]+i,[或設z=a+bi(a,AeR)進行恒等

i-i

式運算也可】

對于4:復數(shù)z的模為|z|=Jl?+12=叵,故A錯誤：

對于8:復數(shù)z的共機復數(shù)為1=1-i,故5正確；

對于C:復數(shù)z的虛部為-1,故C錯誤；

對于。：復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點(1,1)在第一象限，故。錯誤.故選：B.

【評注】本題考查的知識要點：復數(shù)的運算，復數(shù)的共統(tǒng)運算，復數(shù)的模，復數(shù)表示的幾何意義，主要考

查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

3.已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸(-5,旭)，且sina=-"，則

13

1-cos2a.、

-r-;—=()

sm2a

A.—B.--C.—D.--

121255

i】因為角a的頂點與原點O重合，始邊與n軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(-5,th),且

sina=--=.fn_,所以解得AH=-12,所以cosa=.--------=---,

13正5)2+加護5)2+(-12)213

1?J-U--9

,__.120__119l-cos2a16912人生

sm2<z=2sinacosa=----,cos2a=2cos-2a-lt=-----,則---------=―.-.-=—.古攵選：C.

169169sin2a1205

169

【評注】本題考查了任意甭的三角函數(shù)的定義，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能

力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

4.己知|“|=應，|切=1,（a+26）.（“-6）=1,則。與b的夾角為（）

【解析】由（4+2勿.（4-加=1,a+a>h-2b2=\,結(jié)合|“|=應，\b\=],解得a.5=1,所以

cos<a,b>=-a'^=—,又因為,故a與。的夾角為工，故選：B.

\a\\h\24

【評注】本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基本知識的考查.

5.設67=3',h=（g）§，c=log,g,則（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

【解析】0<a=35<3°=l,6=（g）-§>弓）。=1,c=log21<log2l=0,:.c<a<b,故選：B.

【評注】本題考查數(shù)值大小的比較，注意中間量的應用，基本知識的考查.

6.數(shù)列｛《,｝中，如果4=47-2〃，則S“取最大值時，〃等于（）

A.23B.24C.25D.26

471

【評析】法一（鄰項變號法）：令4=47-2〃>0,求得〃<絲=23上，a=45>0,從而此數(shù)列從第24

22

開始是負值，前23項均為正值，.?.前23項的和最大邑3?故選：A.

法二（函數(shù)法@數(shù)形結(jié)合法）：由%=47-2〃可得數(shù)列｛a?｝為等差數(shù)列，

S?=45+?-2〃X“=_〃2+46〃=-（〃-23）2+232,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得前23項的和最大523.故選A.

【評注】本題主要考查了等差數(shù)列的前〃項的和，解題的關(guān)鍵是判斷出數(shù)列中正數(shù)的項.

22

7.已知雙曲線二-2=1（a>0力>0）的右焦點為F,點A是其漸近線上的一點，若|A用的最小值為3a,

a'h"

則該雙曲線的離心率為（）

A.V10B.2及C.3D.G

【解析】由題可知，雙曲線漸近線為bx+ay=O,則右焦點F（c,O）到漸近線的距離為

''=3a=>b=3a=>—=3,所以e=￡=Jl+q=.故選：A.

>Ja2+b2aa\a2

【評注】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用及焦?jié)u距、離心率的求解，考查計算能力.

8.小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動

場上選取相距20米的C,。兩觀測點，且C,￡）與教學樓底部3在同一水平面上，在C,。兩觀測點處

測得教學樓頂部A的仰角分別為45。，30。，并測得NBCD=120。，則教學樓45的高度是（）

A.20米B.20應米C.156米D.25米

【注析】設=在RtAABC中，ZACB=45°,所以BC=AB=x,

在RtAACD中，ZADB=30°,所以BD=6AB=gx,

在MCD中，ZBCD=120°,8=20,由余弦定理可得：3x2=x2+202-2x20xcos120°,化為：

2X2-25X-625=0,解得X=20或X=-10（不合題意，舍去），所以教學樓的高度是20米.故選：A.

【評注】本題考查了解三角形、余弦定理的應用問題，也考查了推理能力與計算能力，屬中檔題.

9.已知函數(shù)丫=［幻稱為高斯函數(shù)，其中不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作［x］,如圖，則輸

出的S值為（）

|i=0^0I

/輸？s/

血

A.42B.43C.44D.45

【解析】當0viv3時,log3i=0;3U<9時,log3zw.l;9,,i<27時，log3z=2;i=27時，log,/=3,

所以S=6xl+18x2+3=45.古攵選：D.

【評注】本題考查了程序框圖的運行過程與累加求和問題，是基礎題.

10.曲線y=sinx+2cosx在點（T,-2）處的切線方程為（）

A.x-y-zr-2=0B.2x-y-2/r-2=0C.2x+y-2/r+2=0D.x+y-萬+2=0

【解-析】y=sinx+2cosx,r.y'=cosx-2sinx,.,.曲線y=sinx+2cosx在點(萬,-2)處的切線的斜率A=-1,

二曲線y=sinx+2cosx在點(》,一2)處的切線的方程y+2=-(x-萬)，即x+y-/r+2=0.故選：D.

【評注】本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、直線方程的應用等基礎知識，考查運算求解能

力，屬于基礎題.

11.已知函數(shù)/(乃=2*2-皿_3m,則“加>2”是“/(x)vO對xw[l,3]恒成立”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若f(x)vO對xe[l,3]恒成立，則(7⑴=2-4〃?<0,解得炭與，

[/(3)=18-6“<0

加>2不能推出”?>3,充分性不成立，

〃z>3能推出〃z>2,必要性成立，

故“m>2"是'"(幻<0對xe[l,3]恒成立”的必要不充分條件.故選：C.

【評注】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎題.

12.定義在R上的函數(shù)》=/(x)的圖象關(guān)于點(-3,0)成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有f(x)=-/(x+3,

42

且=/(0)=-2,則/?⑴+/(2)+/(3)++/(2021)的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

【解析】根據(jù)題意，〃x)滿足—的+章,則f(x+3)=-f(x+；)=f(x),即函數(shù)/(x)是周期為3的

周期函數(shù)，則/⑵=/(-1)=1,〃3)=/(0)=-2,

又由函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(-工0)成中心對稱，則/(一一)=-/(-1)=-1,

42

進而有/(1)=-/(-|)=-/(!)=1，則有/(1)+7(2)+/⑶=0,

則/(l)+f(2)+/(3)++/(2021)=[/(I)+/(2)+/(3)]x673+/(2020)+/(2021)=/(I)+f(2)=2;故選：

A.

【評注】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的綜合應用，注意分析函數(shù)的周期，屬于基礎題.

第n卷(非選擇題共9。分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22題~第23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y4-1..0

13.若實數(shù)x,y滿足<x+y+l..O,則z=2九一y的最大值是4.

產(chǎn)，1

【；7由約束條件作出可行域如圖,

=

聯(lián)立《\X\，解得4(1,-2),由z=2x-y,得y=2x-z,由圖可知，當直線y=2x-z過A時，

[x+y+1=0

直線在)，軸上的截距最小，z有最大值為2xl-(-2)=4.故答案為：4.

【評注】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎題.

14.已知圓C與圓V+y2+i0x+10y=0相切于原點，且過點AQT),則圓C的標準方程為

(x+2)2+(y+2)2=8_.

【解析】圓C的標準方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2,其圓心為C(a,h),半徑為r(r>0),

x2+y2+10x+10y=0,即：(x+5)2+(y+5)2=50,故其圓心M(-5,-5),半徑為5&.

根據(jù)兩圓相切于原點，可得O,C共線，故圓心C(a,6)在直線y=x上，

又圓C過點A(0,-4),故圓心C還在直線y=-2上，故加(一2,-2),半徑為r=OC=2>/5,

故要求的圓的方程為：(x+2)2+(y+2)2=8,故答案為：(x+2)?+(y+2)2=8.

【評注】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，兩圓相切

的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.函數(shù),f(x)=2sin(5+e)3>0,|創(chuàng)<§的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于/⑶的結(jié)論正確的序號為

①③④.

①/(X)的最小正周期為；T；

②/(X)的圖象關(guān)于直線》=巳對稱；

6

③若西,馬€(-[,《)且f(%)=/?),則/(,+.)=君；

63

④/(%)的圖象向左平移。(6>0)個單位得到g(x)的圖象，若g(x)圖象的一個對稱中心是(巴,0),則。的最

小值為王.

17由函數(shù)/(xxzsims+eXG,。，|初<馬的部分圖象可得：

22362

即7=打，即二=%，即<y=2,又/(工)=0,即2sin(2^+*)=O,即2+。=&萬，kwZ,

0)333

又1夕1<］，則8=5，即/(x)=2sin(2x+$,

對于①，f(x)的最小正周期為券=乃，即①正確；

對于②，由2》+工=&乃+工，k&Z,則了=以+2,k&Z,令"+三=c,k&z,則左無整數(shù)解，即

322122126

②錯誤；

對于③，由圖可知：%%=巴,即與+芻=生，即/(用+X2)=2sin(2x^+工)=J5,即③正確，

212663

對于④，/(力的圖象向左平移。((9>0)個單位得到g(x)=2sin(2x+26>+《)的圖象，由g(x)圖象的一個對稱

中心是(生,0),則2、至+2。+乙=左左，keZ,gP6>=—keZ,則。的最小值為工，即④正確；

663236

故答案為：①③

【評注】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎題.

O-JT

16.如圖，已知尸是半徑為1圓心角為二的一段圓弧上的一點，若4C=2C3,則尸4PC的取值范圍

3

【屋：】建立如圖所示的平面直角坐標系,

則0(0,0),8(1,0),A(--,—),C(i,—),設尸(cosasin6),既舊—,

22263

則PA-PC=(---cos0,-一sin。)?(!一cos0,--sin0)

2226

/n?G2>/3.

-(cos0+—)(cos?！?+(sin0-----)(sin0n-------)=1--------sin0n,

22263

又(Wy,則sin(9e[0,l],即PC的取值范圍是“一竿,1],故答案為：口-乎,1].

【評注】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬基礎題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)如圖，在梯形ASCD中，AB//CD,ZBCD=-TT,BD=M,8=0.

4

(1)求sinNCBQ的值；

(2)若的面積為4,求4)的長.

D____C

A8

【解析】(1)在ABCD中，由正弦定理知，———=———,所以BDsinNCBD=CDsinZBCD,

sinZBCDsinZCBD

因為N8C￡>=加，BD=M,CD=&,所以sin/CZ?D=巫.

410

(2)因為sin/C3O=巫，所以cos/CBD=,所以sinZA5D=sin(二一NCBD)=正，

101045

"7ISi

所以cosNAB￡>==-,因為，^0=5回-8￡)小出/46。=4,所以A3=40,

所以4)2+所以4。=布.

【評注】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足%+2%+3/+...+%=(?-1)-2n+1+2(〃GN*).

(I)求數(shù)列｛q｝的通項公式;

(2)設2=-----%-------數(shù)列｛"｝的前”項和為S,,,求證：S?<-.

(4+1)(4向+1)3

,,+|

【解析】(1)解：a,+2a2+3a,+...+nan=(?-1)-2+2(neN*),

二.當幾.2時，有q+2a2+3%+…+5—=(〃-2)?2"+2,

兩式相減得：加”=(〃-1)-2向一(〃一2)-2"=〃-2”,即%=2”,n..2,

n

又當〃=1時，有％=2也適合上式，an=2;

(2)證明：由(1)可得：b=------------=-------——：---=—------:——

(%+1)3川+1)(2"+1)(2向+1)2"+12"+1

?s「=___1_____1____p1_____1______++___1_______1___—1____1_____1v一

""2'+122+122+123+12"+12n+,+132"”+13'

【評注】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法在數(shù)列求和及不等式證明中的應用，屬于中檔題.

19.(12分)用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量

的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的」，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設用x單

2

位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)/(%).

(1)試規(guī)定/(0)的值，并解釋其實際意義；

(2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)/(x)應該滿足的條件和具有的性質(zhì)(至少3條)；

(3)設f(x)=_：.現(xiàn)有&。>0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試

1+X

問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說明理由.

【部析】(1)/(0)=1,表示沒有用水洗時，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量將保持原樣.

(2)函數(shù)/(x)應該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：/(0)=1,/⑴=g,在10,中，。)上f(x)單調(diào)遞減，且

0</(x)?l.

(3)設僅清洗一次，殘留在農(nóng)藥量為工=廿？，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為f2=[—，一]2=(,：4尸，

1+(])

則力_力=于是當。>2虛時，清洗兩次后殘留在農(nóng)藥量較少；當a=2a時，兩種清

12

(儲+1)(/+與2

洗方法具有相同的效果；當0<a<2應時，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少.

【評注】本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、不等式的解示及比較法比較大小等，屬于基礎題.考查

根據(jù)實際問題建立教學模型，以及運用函數(shù)的知識解決實際問題的能力.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xe'-2ox+q.

(i)當〃=■!■時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當a=g時，f(x)=xex-x+^,f\x)=ex(x+\)-1,單調(diào)遞增，令尸(x)=0,得x=0,

故當X￡(-OO,0)時，fr(x)<0,/(X)在(TO,0)上單調(diào)遞減，

當X￡(O,+X)時，r(x)>0,/(X)在(-00,0)上單調(diào)遞增.

xx

(2)/(x)=xe—2ax+a,f\x)=e(x+1)-2tz,單調(diào)遞增，設當x=/時，(x04-1)—2^=0,

a=；e"(七+l),則當時，f\x)<0,/(x)在(一8,%)上單調(diào)遞減，當x〉/時，//(x)>0,/(x)在

(工0，+°°)上單調(diào)遞增，/(x)有兩個零點，又當時，/(x)f-oo,當x—>+oo時，/(x)f+oo,

/(X)min=/(%0)=%*-2以0+〃=3*(-2￥+/+1)<0,即一2片+癡+1<°，解得/〈一;或%>1,而

1、￡1--

。=5泊(％+1)單調(diào)遞增，所以2或〃>].

、1-1

綜上，a的取值范圍為(-co,—c2)_(1,+8).

4

【評注】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，隱零點的虛設與代換，考查導數(shù)的應用，屬于難題.

2

21.(12分)已知橢圓。:，=+\v=113>6>0)的離心率為人，橢圓的右焦點下與拋物線V=4x的焦點重合.

CTb2

(1)求橢圓C的方程；

(2)A,3是橢圓的左，右頂點，過點尸且斜率不為0的直線交橢圓C于點M,N,直線40與直線x=4

交于點P,記P4,PF,8N的斜率分別為％,k2,k、,&土與是否為定值？并說明理由.

2&

【解析】(1)拋物線y?=4x的焦點為尸(1,0),由題意可知c=l,e=-=-,可得a=2,所以

a2

22

b~=cr—c1=4—1=3,所以橢ElC的方程為：-4--^—=1；

43

............￡匚1

(2)證明：由題意設加(不,多)，則？/(%,為)，設直線MN的方程為x=沖+1,其中/nwO,聯(lián)立，43,

x=my+1

整理得(31+4)9+6/肛-9=0,A=36ra2+36(3w2+4)>0,由韋達定理可得x+y?=―里一，

3"+4

乂%=———，所以加乂%=』(乂+%)，易知A(-2,0),8(2,0),k、=%，所以直線AM的方程為

3m