課時精練(五十八)古典概型[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]1．哥德巴赫猜想作為數(shù)論領(lǐng)域存在時間最久的未解難題之一，自1742年提出至今，已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)三個世紀(jì)之久．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)的和”，，拆分22的所有質(zhì)數(shù)記為集合A，從A中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其差大于8的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)B由題意可知，22＝3＋19＝5＋17＝11＋11，∴集合A＝{3，5，11，17，19}，從A中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10，其差大于8所包含的基本事件有：(3，17)，(3，19)，(5，17)，(5，19)，共4個，∴所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選B.2．(2022·陜西渭南模擬)，現(xiàn)在采用隨機(jī)模擬試驗的方法估計該運動員在三次射擊中都命中的概率，先利用計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用0，1表示沒有命中，用2，3，4，5，6，7，8，9表示命中，再以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三次射擊的情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：619181526551391433036608275852512103247375923244423404354311據(jù)此估計該運動員在三次射擊中都命中的概率為()A． B．C． D．C20組隨機(jī)數(shù)中，該運動員在三次射擊中都命中的為526，433，275，852，247，375，923，244，423，354，共10組符合要求，故估計該運動員在三次射擊中都命中的概率為eq\f(10,20)C.3．(2022·江蘇如皋市第一中學(xué)期末)在二行四列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子(相對面上分別標(biāo)有1點和6點，2點和5點，3點和4點).開始時，骰子如圖1那樣擺放，朝上的點數(shù)是3，最后翻動到如圖2所示位置．現(xiàn)要求翻動次數(shù)最少，則最后骰子朝上的點數(shù)為1的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)B則從開始圖1位置到最后圖2位置共有4種走法，其結(jié)果分別為：右右右下，點數(shù)2，右右下右，點數(shù)1，右下右右，點數(shù)5，下右右右，點數(shù)1，故最后骰子朝上的點數(shù)為1的概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).故選B.4.(2022·江西模擬)某大學(xué)選拔新生補充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個社團(tuán)成功與否相互獨立，2019年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為m，eq\f(1,3)，n，已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為eq\f(1,24)，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為eq\f(3,4)，且m＞n.則m＋n＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(5,12)C由題知三個社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為eq\f(1,24)，即m×eq\f(1,3)×n＝eq\f(1,24)?m×n＝eq\f(1,8)，又因為至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為eq\f(3,4)，即一個社團(tuán)都沒能進(jìn)入的概率為1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，即(1－m)×eq\f(2,3)×(1－n)＝eq\f(1,4)?1－m－n＋m×n＝eq\f(3,8)，整理得m＋n＝eq\f(3,4).故選C.5.(2022·福建福州模擬)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件A＝“取出的兩球同色”，事件B＝“取出的2球中至少有一個黃球”，事件C＝“取出的2球至少有一個白球”，事件D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的是()A．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)B．P(C)＋P(D)＝1C．P(C∪E)＝1D．P(B)＝P(C)C依題意，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(4,15)，P(B)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(4,5)，P(A)＋P(B)＝eq\f(16,15)>1，而P(A＋B)≤1，A錯誤；P(C)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(D)＝1－P(A)＝eq\f(11,15)，P(C)＋P(D)>1，B錯誤；事件C是含有1個白球與含有兩個白球的兩個互斥事件和，事件E是含有1個白球與沒有白球的兩個互斥事件和，事件C∪E是必然事件，因此P(C∪E)＝1，C正確；因P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，則P(B)≠P(C)，即D錯誤．故選C.6．(2022·江蘇鹽城模擬)(多選題)記P(A)，P(B)分別為事件A，B發(fā)生的概率，則下列結(jié)論中可能成立的有()A．P(AB)＝P(A)P(B)B．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)C．P(A＋B)<P(A)＋P(B)D．P(A＋B)>P(A)＋P(B)ABC當(dāng)事件A，B相互獨立時，P(AB)＝P(A)P(B)，A可能；當(dāng)事件A，B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，B可能；當(dāng)事件A，B不互斥時，P(A＋B)<P(A)＋P(B)，C可能；而不可能出現(xiàn)P(A＋B)>P(A)＋P(B)，D不可能．故選ABC.7.(2022·江蘇南通市海安高級中學(xué))(多選題)以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是()A．連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有3個基本事件，出現(xiàn)一正一反的概率為eq\f(1,3)B．每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如12＝5＋7，在不超過15的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,15)C．將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記下兩次向上的點數(shù)，則點數(shù)之和為6的概率為eq\f(5,36)D．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率為eq\f(1,2)BCD連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有4個基本事件，包含兩正，兩反，先反再正，先正再反，出現(xiàn)一正一反的概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故A錯誤；不超過15的素數(shù)包含2，3，5，7，11，13，共6個數(shù)字，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)字，和等于14的包含(3，11)，則概率為P＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,15)，故B正確；將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共36種情況，點數(shù)之和為6包含(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5種，所以點數(shù)之和為6的概率為P＝eq\f(5,36)，故C正確；由題意可知取出的產(chǎn)品全是正品的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(1,2)，故D正確．8．圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，從中取出2粒都是白子的概率為eq\f(12,35).那么，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是．答案eq\f(17,35)解析設(shè)“從中任意取出2粒都是黑子”為事件A，“從中任意取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率為eq\f(17,35).9.(2022·云南大理模擬)某校為落實“雙減政策”，在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球三項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為．答案eq\f(2,3)解析每人有3種選擇，三人共有33種選擇，其中恰有兩人參加同一項活動共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))種選擇，所以三人中恰有兩人參加同一項活動的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),33)＝eq\f(2,3).10.(2022·貴州銅仁模擬)2022年全球文化創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)合作與發(fā)展國際會議將于12月在上海舉行，上海交大兩位教授分別在“數(shù)字治理與城市文旅”、“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”、“數(shù)字孿生與文化品牌”、“數(shù)智文創(chuàng)與用戶行為研究”四個選題中選擇兩個提交提案，則他們選擇的不完全相同但都選擇了“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”的概率是．答案eq\f(1,6)解析由題意，一人從4個選題中選擇2個選題，共Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6種情況，故二人選擇共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝36種組合情況，其中滿足條件的有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6種，故他們選擇的不完全相同但都選擇了“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).11.(2022·濟(jì)寧模擬)月考中某班6名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績對應(yīng)如下表：數(shù)學(xué)成績122105113127130135物理成績116121127135130140規(guī)定成績不低于120分的為優(yōu)秀．(1)由表可知6人中有4人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)從這6名同學(xué)中抽2人，問這2人的數(shù)學(xué)成績都為優(yōu)秀的概率是多少？(2)從這6名同學(xué)中抽3人，求兩科成績均為優(yōu)秀的人數(shù)恰為1人的概率．解(1)記事件A：2人的數(shù)學(xué)成績都為優(yōu)秀，設(shè)4位數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的同學(xué)為1，2，3，4；設(shè)2位數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀的同學(xué)為A，B，總的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，A)，(1，B)，(2，3)，(2，4)，(2，A)，(2，B)，(3，4)，(3，A)，(3，B)，(4，A)，(4，B)，(A，B)，共15種，A事件包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)由表知兩科成績均為優(yōu)秀的有3人設(shè)為1，2，3；不都優(yōu)秀的3人設(shè)為A，B，C，記事件B：3人中兩科成績均優(yōu)秀的人數(shù)恰為1人，基本事件有(1，2，3)，(1，2，A)，(1，2，B)，(1，2，C)，(1，3，A)，(1，3，B)，(1，3，C)，(1，A，B)，(1，A，C)，(1，B，C)，(2，3，A)，(2，3，B)，(2，3，C)，(2，A，B)，(2，A，C)，(2，B，C)，(3，A，B)，(3，A，C)，(A，B，C)，(3，B，C)，共20種；B事件包含的基本事件有：(1，A，B)，(1，A，C)，(1，B，C)，(2，A，B)，(2，A，C)，(2，B，C)，(3，A，B)，(3，A，C)，(3，B，C)，共9種，所以P(B)＝eq\f(9,20).12.(2022·廣東石門高級中學(xué)模擬)某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣，健康飲食”的口號．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求．在某學(xué)期期末，校學(xué)生會為了調(diào)研學(xué)生對本校食堂的用餐滿意度，從用餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將得分成6組：第1組[40，50)，第2組[50，60)，第3組[60，70)，第4組[70，80)，第5組[80，90)，第6組[90，100]，得到頻率分布直方圖，如圖．(1)求得分的中位數(shù)(精確到小數(shù)點后一位)；(2)為進(jìn)一步改善經(jīng)營，從得分在80分以下的四組中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談，再從這8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實踐活動，求第4組恰抽到2人的概率．解(1)由0.05＋0.05＋0.10＋0.15＋0.45＋10a＝1，得a，設(shè)得分的中位數(shù)為x，知80≤x<90，則0.05＋0.05＋0.10＋0.20＋(x－80)×，得x≈，所以得分的中位數(shù)約為82.2.(2)第1，2，3，4組的人數(shù)分別為10，10，20，40，從第1，2，3，4組采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8人，則從第1，2，3，4組應(yīng)分別抽取的人數(shù)為1，1，2，4.從8個人中隨機(jī)抽取3人的樣本點數(shù)為n(Ω)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))＝56，設(shè)A＝“第4組恰抽到2人”，則n(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝24，所以P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(24,56)＝eq\f(3,7)，第4組恰抽到2人的概率為eq\f(3,7).[技能提升練]13．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9) D．1C因為a∈A，b∈A，所以可用列表法得到樣本點的總個數(shù)為9(如下表所示).ab1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)因為A∩B＝B，所以B可能是，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．當(dāng)B＝時，a2－4b<0，滿足條件的a，b為a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.當(dāng)B＝{1}時，滿足條件的a，b為a＝2，b＝1.當(dāng)B＝{2}，{3}時，沒有滿足條件的a，b.當(dāng)B＝{1，2}時，滿足條件的a，b為a＝3，b＝2.當(dāng)B＝{2，3}，{1，3}時，沒有滿足條件的a，b.綜上，符合條件的結(jié)果有8種．故所求概率為eq\f(8,9).故選C.14.(2022·全國模擬)(多選題)某商場為了促進(jìn)銷售，對于進(jìn)入商場的人員，可以進(jìn)入商場擲骰子進(jìn)行獎勵，規(guī)定每位進(jìn)入商場的人員可以隨機(jī)投擲一顆質(zhì)地均勻的正方體的骰子，每面上分別寫著1，2，3，4，5，6，隨機(jī)投擲該骰子三次，三次投擲向上點數(shù)分別為a1，a2，a3，若滿足|a1－a2|＋a3＝1，|a1－a2|＋a3＝2，|a1－a2|＋a3＝3，分別為一等獎，二等獎，三等獎，只有這三等獎，則()A．中一等獎的概率為eq\f(1,36)B．中二等獎的概率為eq\f(1,12)C．中三等獎的概率為eq\f(1,9)D．沒有中獎的概率為eq\f(7,9)AC根據(jù)題意，所有可能的情況為6×6×6＝63，對A：其中滿足|a1－a2|＋a3＝1的情況為a3＝1，a1－a2＝0，a1＝a2，有6種情況，即a1，a2同時為1，2，3，4，5，6，且a3＝1，故發(fā)生的概率P＝eq\f(6,63)＝eq\f(1,36)，故選項A正確；對B：滿足|a1－a2|＋a3＝2的情況，當(dāng)a3＝2，a1－a2＝0，有6種情況，即a1，a2同時為1，2，3，4，5，6，且a3＝2；當(dāng)a3＝1，a1－a2＝±1有10種情況，即a1，a2分別為1，2或2，3或3，4或4，5或5，6以及a2，a1分別為1，2或2，3或3，4或4，5或5，6，且a3＝1，故發(fā)生的概率P＝eq\f(16,63)＝eq\f(2,27)，故選項B錯誤；對C：滿足|a1－a2|＋a3＝3的情況，當(dāng)a3＝3，a1－a2＝0，有6種情況，即a1，a2同時為1，2，3，4，5，6，且a3＝3，當(dāng)a3＝2，a1－a2＝±1有10種情況；即a1，a2分別為1，2或2，3或3，4或4，5或5，6以及a2，a1分別為1，2或2，3或3，4或4，5或5，6，且a3＝2，當(dāng)a3＝1，a1－a2＝±2有8種情況，即a1，a2分別為1，3或2，4或3，5或4，6以及a2，a1分別為1，3或2，4或3，5或4，6，且a3＝1，故可得發(fā)生的概率P＝eq\f(24,63)＝eq\f(1,9)，故選項C正確；對D：沒有中獎的概率為1－eq\f(1,36)－eq\f(2,27)－eq\f(1,9)＝eq\f(85,108)，故選項D錯誤．故選AC.15.(2022·福州模擬)“博餅”是閩南地區(qū)中秋佳節(jié)的傳統(tǒng)民俗游戲，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項目．“博餅”的游戲規(guī)則是：參與者輪流把6顆骰子同時投進(jìn)一個大瓷碗里，而后根據(jù)骰子的向上一面點數(shù)組合情況，來決定獲獎等次，獲獎等次分為6類，分別用中國古代科舉的排名名稱命名，獲獎?wù)咄冻龅镊蛔咏M合如圖所示，根據(jù)你所學(xué)的概率知識，投出“六杯紅”的概率為；投出“狀元插金花”的概率為．(不需得出具體數(shù)值)答案eq\f(1,66)eq\f(5,2×65)解析依題意，6個骰子同時投擲一次，樣本點總數(shù)為66.其中，投出“六杯紅”