安徽省合肥市福元中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)是雙曲線的左右焦點,是原點，若雙曲線右支上存在一點滿足：，且，則=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.設(shè)雙曲線的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設(shè)O為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 參考答案：C3.下列語句中是算法的個數(shù)為

（

）

①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎；

②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；

③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；

④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積。

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C4.如圖所示的程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n,那么空白框中的語句及最后輸出的n值分別是

A.n=n+1和6B.n=n+2和6

C.n=n+1和8

D.n=n+2和8參考答案：D5.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.定義域是R上的函數(shù)滿足，當時，若時，有解，則實數(shù)t的取值范圍是A. B. C. D.參考答案：【知識點】分段函數(shù)的應(yīng)用．B10B

解析：∵定義域是R上的函數(shù)滿足，

又∵當時，；

∴

由分段函數(shù)可求得，；

故，

解得，；故選B．【思路點撥】由及當時，可化簡得當時，的解析式；轉(zhuǎn)化得，從而解得的取值范圍．7.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣]

D．（﹣1，﹣]參考答案：C【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，當a＞0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此時不等式f2（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當a=0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此時不等式f2（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當a＜0時，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，必須滿足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故選：C．8.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向右平移個單位

D．向左平移個單位參考答案：C因為，所以只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到函數(shù)的圖象，故選擇C。9.等差數(shù)列滿足A.12 B.30 C.40 D.25參考答案：B略10.已知函數(shù)，若，且，則

（

）A．2

B．4

C．8

D．隨值變化參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)上恒為正，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：略12.給出下列命題：（1）函數(shù)只有一個零點；（2）若與不共線，則與不共線；（3）若非零平面向量兩兩所成的夾角均相等，則夾角為；（4）若數(shù)列的前項的和，則數(shù)列是等比數(shù)列；（5）函數(shù)的圖象經(jīng)過一定的平移可以得到函數(shù)的圖象.

其中，所有正確命題的序號為

.參考答案：（1）（2）（5）13.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足，，且，

．參考答案：14.若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)．H6

雙曲線的焦點坐標為（c，0），（﹣c，0），漸近線方程為，根據(jù)雙曲線的對稱性，任意一個焦點到兩條漸近線的距離都相等，求（c，0）到的距離，，又∵焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴b=×2c，兩邊平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，∴3c2=4a2，，即，?！舅悸伏c撥】因為雙曲線即關(guān)于兩條坐標軸對稱，又關(guān)于原點對稱，所以任意一個焦點到兩條漸近線的距離都相等，所以不妨利用點到直線的距離公式求（c，0）到的距離，再令該距離等于焦距的，就可得到含b，c的齊次式，再把b用a，c表示，利用即可求出離心率．15.已知函數(shù)的定義域[-1，5]，部分對應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，

下列關(guān)于函數(shù)的命題；

①函數(shù)的值域為[1，2]；

②函數(shù)在[0，2]上是減函數(shù)；

③如果當時，的最大值是2，那么t的最大值為4；

④當有4個零點。

其中真命題為

（填寫序號）參考答案：②16.對于函數(shù)，若有六個不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍為

.參考答案：（2，3）17.已知直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB為直角三角形，則+的最小值為

．參考答案：4考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=．圓心O（0，0）到直線ax+by=1的距離d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵直線ax+by=1（其中a，b為非零實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，∴|AB|=r=．∴圓心O（0，0）到直線ax+by=1的距離d==，化為2a2+b2=2．∴+==≥=4，當且僅當b2=2a2=1取等號．∴+的最小值為4．故答案為：4．點評：本題考查了直線與圓相交問題弦長問題、點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）為了參加年貴州省高中籃球比賽，某中學(xué)決定從四個籃球較強的班級中選出人組成男子籃球隊代表所在地區(qū)參賽，隊員來源人數(shù)如下表：班級高三（）班高三（）班高二（）班高二（）班人數(shù)（I）從這名隊員中隨機選出兩名，求兩人來自同一班級的概率；（II）該中學(xué)籃球隊經(jīng)過奮力拼搏獲得冠軍．若要求選出兩位隊員代表冠軍隊發(fā)言，設(shè)其中來自高三（7）班的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（I）“從這18名隊員中隨機選出兩名，兩人來自于同一班級”記作事件，則·····················································································（II）的所有可能取值為··························································································則∴的分布列為：

012··········································································································································∴··················································································

19.如圖1，一條寬為的兩平行河岸有村莊和發(fā)電站，村莊與的直線距離都是與河岸垂直，垂足為.現(xiàn)要鋪設(shè)電纜，從發(fā)電站向村莊供電.已知鋪設(shè)地下電纜，水下電纜的費用分別為萬元萬元.（1）如果村莊與之間原來鋪設(shè)有電纜（如圖1中線段所示）,只需對其改造即可使用，已知舊電纜的改造費用是萬元，現(xiàn)決定在線段上找得一點建一配電站，分別向村莊供電，使得在完整利用之間舊電纜進行改造的前提下，并要求新鋪設(shè)的水下電纜長度最短，試求該方案總施工費用的最小值，并確定點的位置.（2）如圖2,點在線段上，且鋪設(shè)電纜線路為，若，試用表示出總施工費用（萬元）的解析式，并求的最小值.參考答案：（1），到點的距離為；（2）.試題分析：（1）借助題設(shè)條件運用解三角形的知識求解；（2）借助題設(shè)建立函數(shù)關(guān)系,運用導(dǎo)數(shù)知識探求.試題解析：（1）根據(jù)題意得為等邊三角形，因為則水下電纜的最短長度為，過作于點，則地下電纜的最短為，因為為等邊三角形，則，又因為，則該方案的總費用為:（萬元），此時點到點的距離為.（2），則，令，則，因為，所以在此區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得，即，當時，單減；當時，單增，故，則（萬元）施工總費用的最小值為（萬元）.考點：正弦定理余弦定理及導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用.【易錯點晴】本題以現(xiàn)實生活中的一個最為常見的鋪設(shè)電纜的問題為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用問題.解答本題的關(guān)鍵是如何選取變量建立函數(shù)關(guān)系,最后再運用導(dǎo)數(shù)進行求解.解答第一問時,運用解三角形的工具直接解三角形獲得答案；第二問的求解過程中,設(shè),建立函數(shù),然后運用導(dǎo)數(shù)求得當時,,即施工總費用的最小值為,從而使得問題最終獲解.20.如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，|AB|+|CD|=5．（1）求橢圓的方程；（2）求由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系和弦長AB，CD，解方程可得c，進而得到橢圓方程；（2）討論①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，②當兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)出直線AB的方程，可得CD的方程，分別代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，再由四邊形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，e==，則a=c，b=c，∴AB+CD=2a+=c+c=5，所以c=．所以橢圓的方程為+y2=1．

（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，由題意知S四邊形=AB?CD==2；

②當兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣），則直線CD的方程為y=﹣（x﹣）．將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0，所以AB=?|x1﹣x2|=?=，同理CD==．

所以S四邊形=AB?CD=??===2﹣，由4（k+）2+9≥4（2）2+9=25，當且僅當k=±1時取等號．∴S四邊形∈[，2），綜合①與②可知，S四邊形∈[，2）．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，運用基本不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)，求函數(shù)g（x）的最小值．參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)最值的應(yīng)用．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】（1）知道函數(shù)是增函數(shù)，求參數(shù)范圍，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，用分離參數(shù)求最值解決．（2）為含有參數(shù)的絕對值函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是去絕對值，需考慮ex﹣a的正負問題，進行討論．去絕對值后轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可．【解答】解：（1），∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．∴恒成立，∵，當且僅當x=1時取等號，∴，∴a≥2；（2）設(shè)t=ex，則，∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．當2≤a≤3時，，∴h（t）的最小值為，當a＞3時，，∴h（t）的最小值為．綜上所述，當2≤a≤3時，g（x）的最小值為，當a＞3時，g（x）的最小值為．【點評】本題考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍、求函數(shù)的最值、分類討論思想等，綜合性較強．22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點.①求證：EF⊥平面PCD；②求平面PCB與平面PCD的夾角的余弦值.參考答案：