耦合電感元件合理想變壓器1第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五耦合電感元件合理想變壓器2第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

學(xué)習(xí)目標(biāo)l

理解互感線圈、互感系數(shù)、耦合系數(shù)的含義。l

理解互感電壓和互感線圈的同名端。l

掌握互感線圈串聯(lián)、并聯(lián)去耦等效及T型去耦等效方法。l

掌握空芯變壓器電路在正弦穩(wěn)態(tài)下的分析方法—回路分析法。l

理解理想變壓器的含義。熟練掌握理想變壓器變換電壓、電流及阻抗的關(guān)系式。

3第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.1耦合電感元件5.1.1耦合電感的概念圖5-1是兩個相距很近的線圈（電感），當(dāng)線圈1中通入電流i1時，在線圈1中就會產(chǎn)生自感磁通Φ11，而其中一部分磁通Φ21，它不僅穿過線圈1，同時也穿過線圈2，且Φ21≤Φ11。同樣，若在線圈2中通入電流i2，它產(chǎn)生的自感磁通Φ22，其中也有一部分磁通Φ12不僅穿過線圈2，同時也穿過線圈1，且Φ12≤Φ22

。像這種一個線圈的磁通與另一個線圈相交鏈的現(xiàn)象，稱為磁耦合，即互感。Φ21

和Φ12

稱為耦合磁通或互感磁通。4第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五假定穿過線圈每一匝的磁通都相等，則交鏈線圈1的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ11=N1Φ11，ψ12=N1Φ12；交鏈線圈2的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ22=N2Φ22，ψ21=N2Φ21

。圖5-1磁通互助的耦合電感（更正：右邊電感磁通Φ22箭頭應(yīng)向下）5第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五上面一式表明線圈1對線圈2的互感系數(shù)M21，等于穿越線圈2的互感磁鏈與激發(fā)該磁鏈的線圈1中的電流之比。二式表明線圈2對線圈1的互感系數(shù)M12，等于穿越線圈1的互感磁鏈與激發(fā)該磁鏈的線圈2中的電流之比?？梢宰C明。M21=M12=M類似于自感系數(shù)的定義，互感系數(shù)的定義為：我們以后不再加下標(biāo)，一律用M表示兩線圈的互感系數(shù)，簡稱互感?；ジ械膯挝慌c自感相同，也是亨利（H）。因為Φ21≤Φ11

，Φ12≤Φ22

，所以可以得出6第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五兩線圈的互感系數(shù)小于等于兩線圈自感系數(shù)的幾何平均值，即上式僅說明互感M比?。ɑ蛳嗟龋⒉荒苷f明M比小到什么程度。為此，工程上常用耦合系數(shù)K來表示兩線圈的耦合松緊程度，其定義為

則可知，0≤K≤1，K值越大，說明兩個線圈之間耦合越緊，當(dāng)K=1時，稱全耦合，當(dāng)K=0時，說明兩線圈沒有耦合。7第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五耦合系數(shù)K的大小與兩線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)。如圖5-2(a)所示的兩線圈繞在一起，其K值可能接近1。相反，如圖5-2(b)所示，兩線圈相互垂直，其K值可能近似于零。由此可見，改變或調(diào)整兩線圈的相互位置，可以改變耦合系數(shù)K的大小。圖5-2

8第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.1.2耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系當(dāng)有互感的兩線圈上都有電流時，交鏈每一線圈的磁鏈不僅與該線圈本身的電流有關(guān)，也與另一個線圈的電流有關(guān)。如果每個線圈的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，且每個線圈的電流與該電流產(chǎn)生的磁通符合右手螺旋法則，而自感磁通又與互感磁通方向一致，即磁通相助，如圖5-1所示。這種情況，交鏈線圈1、2的磁鏈分別為：

9第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由電磁感應(yīng)定律，當(dāng)通過線圈的電流變化時，線圈兩端會產(chǎn)生感應(yīng)電壓式中、分別為線圈1、2的自感電壓，、分別為線圈1、2的互感電壓。如果自感磁通與互感磁通的方向相反，即磁通相消，如圖5-3所示，耦合電感的電壓、電流關(guān)系方程式為：10第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五圖5-3磁通相消的耦和電感11第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對以上磁通相助、相消兩種情況進(jìn)行歸納總結(jié)，可以得出：自感電壓、取正還是取負(fù)，取決于本電感的u、i的參考方向是否關(guān)聯(lián)，若關(guān)聯(lián)，自感電壓取正；反之取負(fù)。而互感電壓、的符號這樣確定：當(dāng)兩線圈電流均從同名端流入（或流出）時，線圈中磁通相助，互感電壓與該線圈中的自感電壓同號。即自感電壓取正號時互感電壓亦取正號，自感電壓取負(fù)號時互感電壓亦取負(fù)號；否則，當(dāng)兩線圈電流從異名端流入（或流出）時，由于線圈中磁通相消，故互感電壓與自感電壓異號，即自感電壓取正號時互感電壓取負(fù)號，反之亦然。12第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.1.3同名端

線圈的同名端是這樣規(guī)定的：具有磁耦合的兩線圈，當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時流入（或流出）時，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點“·”或星號“*”作標(biāo)記。例如，對圖5-4(a)，當(dāng)i1、i2分別由端紐a和d流入（或流出）時，它們各自產(chǎn)生的磁通相助，因此a端和d端是同名端（當(dāng)然b端和c端也是同名端）；a端與c端（或b端與d端）稱異名端。

圖5-4同名端13第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五有了同名端規(guī)定后，像圖5-4(a)所示的互感線圈在電路中可以用圖5-5(b)所示的模型表示，在圖5-5(b)中，設(shè)電流i1、i2分別從a、d端流入，磁通相助，如果再設(shè)各線圈的u、i為關(guān)聯(lián)參考方向，那么兩線圈上的電壓分別為

如果像圖5-5(c)所示，設(shè)i1仍從a端流入，而i2從d端流出，可以判定磁通相消，那么兩線圈上的電壓分別為

14第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五圖5-5(b)(d)磁通相助；(c)(e)磁通相消15第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對于已標(biāo)定同名端的耦合電感，可根據(jù)u、i的參考方向以及同名端的位置寫出其u-i關(guān)系方程。也可以將耦合電感的特性用電感元件和受控電壓源來模擬，例如圖5-5(b)、(c)電路可分別用(d)、(e)

電路來代替?？梢钥闯觯菏芸仉妷涸矗ɑジ须妷海┑臉O性與產(chǎn)生它的變化電流的參考方向?qū)ν耸且恢碌摹＿@樣，將互感電壓模擬成受控電壓源后，可直接由圖5-5(d)、(e)寫出兩線圈上的電壓，使用這種方法，在列寫互感線圈u—i關(guān)系方程時，會感到非常方便。

16第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

5.2耦合電感的去耦等效

5.2.1耦合電感的串聯(lián)等效

耦合電感的串聯(lián)有兩種方式——順接和反接。順接就是異名端相接，如圖5-6（a）所示。

圖5-6耦合電感順接串聯(lián)17第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五把互感電壓看作受控電壓源后得電路如圖5-6(b)所示，由該圖可得

其中L=L1+L2+2M

由此可知，順接串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L來代替，等效電感L的值由式上式來定。耦合電感的另一種串聯(lián)方式是反接串聯(lián)。反接串聯(lián)是同名端相接，如圖5-7(a)所示，把互感電壓看作受控電壓源后得電路如圖5-7(b)所示，由圖(b)圖可得18第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五其中L=L1+L2-2M

圖5-7耦合電感的反接串聯(lián)由此可知，反接串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L代替，等效電感L的值由上式來定。19第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.2.2耦合電感的T型等效

1、互感線圈的同名端連在一起如圖5-8所示，為三支路共一節(jié)點、其中有兩條支路存在互感的電路，由圖可知，L1的b端與L2的d端是同名端且連接在一起，兩線圈上的電壓分別為圖5-8同名端相連的T型去耦等效電路

20第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得畫出兩式T型等效電路如圖5-8(b)所示。在圖（b）中因有3個電感相互間無互感，它們的自感系數(shù)分別為L1-M、L2-M和M，又連接成T型結(jié)構(gòu)形式，所以稱之為互感線圈的T型去耦等效電路。21第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五2、互感線圈的異名端連接在一起圖5-9(a)與圖5-8(a)兩電路相比較結(jié)構(gòu)一樣，只是具有互感的兩支路的異名端連接在一起，，兩線圈上的電壓分別為圖5-9異名端相連的T型去耦等效電路

22第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五同樣將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得畫得T型等效電路如圖5-9(b)所示，這里(b)圖中-M為一等效的負(fù)電感。利用上述等效電路，可以得出如圖5-10(a)和(c)所示的耦合電感并聯(lián)的去耦等效電路，分別如圖5-10(b)

和(d)所示。由圖(b)(d)應(yīng)用無互感的電感串、并聯(lián)關(guān)系，可以得到同名端、異名端連接時耦合電感并聯(lián)的等效電感為

23第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五圖5-10兩個耦和電感的并聯(lián)

24第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.3空芯變壓器電路的分析變壓器是利用電磁感應(yīng)原理傳輸電能或電信號的器件。通常有一個初級線圈和一個次級線圈，初級線圈接電源，次級線圈接負(fù)載，能量可以通過磁場的耦合，由電源傳遞給負(fù)載。常用的實際變壓器有空芯變壓器和鐵芯變壓器兩種類型。所謂空芯變壓器是由兩個繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。因變壓器是利用電磁感應(yīng)原理而制成的，故可以用耦合電感來構(gòu)成它的模型。這一模型常用于分析空芯變壓器電路。設(shè)空芯變壓器電路如圖5-11(a)所示，其中R!、R2分別為變壓器初、次級繞組的電阻，RL為負(fù)載電阻，設(shè)uS為正弦輸入電壓。25第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五互感的作用可以在電路中用增添受控電壓源來計及，如圖5-11(b)所示。

圖5-11空心變壓器電路由圖5-11(b)所示的相量模型圖可列出回路方程為26第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五或?qū)憺槭街衂11=R1+jωL1

稱為初級回路自阻抗；Z22=R2+jωL2+RL

稱為次級回路自阻抗；Z12=Z21=jωM

稱為初次級回路互阻抗?？汕蟮脠D5-11(b)所示耦合電感的初級、次級電流相量分別為：27第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五是由次級中的感應(yīng)電壓產(chǎn)生的，根據(jù)圖5-11(b)中所示的感應(yīng)電壓極性，不難理解第二式中負(fù)號的來歷。顯然，如果同名端的位置不同或電流參考方向不同，互阻抗的符號將會改變。28第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對初級電流來說，由于式中的jωM以平方形式出現(xiàn)，不管jωM的符號為正還是為負(fù)，得出的都是一樣的。求得由電源端看進(jìn)去的輸入阻抗為

由此可見，輸入阻抗由兩部分組成：Z11=R1+jωL1，即初級回路的自阻抗；

Zref即次級回路在初級回路的反映阻抗

29第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五這就是說，次級回路對初級回路的影響可以用反映阻抗來計及。因此，由電源端看進(jìn)去的等效電路，也就是初級等效電路應(yīng)如圖5-12所示。當(dāng)我們只需要求解初級電流時，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。

圖5-12初級等效電路反映阻抗的算法是很容易記住的，把ω2M2除以次級回路的阻抗即為反映阻抗。顯然，從以上推導(dǎo)可以看出：反映阻抗的概念不能用于次級含有獨立源的耦合電感電路。30第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五可求得次、初級電流之比為

所以其中是初級電流通過互感而在次級線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電壓，次級電流就是這一電壓作用的結(jié)果。因此，除以次級的總阻抗即得次級電流。在算得后，可求出。31第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五5.4理想變壓器

理想變壓器是鐵芯變壓器的理想化模型，它的唯一參數(shù)只是一個稱之為變比的常數(shù)n，而不是L1、L2、

M等參數(shù)，理想變壓器滿足以下3個理想條件：(1)耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；(2)自感系數(shù)L1、L2為無窮大，但L1/L2為常數(shù)。(3)無任何損耗，這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，做芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率μ無窮大.5.4.1理想變壓器兩端口的電壓、電流之間的關(guān)系圖5-13(a)所示的鐵芯變壓器，其初、次級匝數(shù)分別為N1和N2，可判定a、c為同名端，設(shè)i1、i2分別從同名端流入（屬磁通相助），設(shè)初、次級電壓u1、u2與各自線圈上的電流i1、i2為關(guān)聯(lián)參考方向。32第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由于為全耦合，則線圈的互感磁通必等于自感磁通，即φ21=φ11，φ12=φ22，穿過初、次級線圈的磁通相同，即圖5-13變壓器示意圖及其模型

φ11+φ12=φ11+φ22=φφ22+φ21=φ22+φ11=φ上式中φ稱為主磁通。33第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五初、次級線圈交鏈的磁鏈ψ1、ψ2分別為對ψ1、ψ2求導(dǎo)，得初、次級電壓分別為

所以

或上式為理想變壓器初、次級電壓之間的關(guān)系。式中n稱為匝比或變比，它等于初級與次級線圈的匝數(shù)之比。理想變壓器的電路模型如圖5-13(b)所示。ψ1=N1φψ2=N2φ34第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由安培環(huán)路定律

由于μ為無窮大，磁通φ為有限值，因此

i1N1+i2N2=0

上式反映了理想變壓器初、次級電流之間的關(guān)系。通過以上分析，說明理想變壓器具有變換電壓和電流的作用。在正弦穩(wěn)態(tài)下，其相量形式為即35第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五應(yīng)該強(qiáng)調(diào)以下幾點：（1）對于變壓關(guān)系式取“+”還是取“-”，僅取決于電壓參考方向與同名端的位置。當(dāng)u1、u2參考方向在同名端極性相同時，則該式冠以“+”號；反之，若u1、u2參考方向一個在同名端為“+”，一個在異名端為“+”，該式冠以“-”號。（2）對于變流關(guān)系式取“+”還是取“-”，僅取決于電流參考方向與同名端的位置。當(dāng)初、次級電流i1、i2分別從同名端同時流入（或同時流出）時，該式冠以“-”號，反之若i1、i2一個從同名端流入，一個從異名端流入，該式冠以“+”號。36第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五（3）任意時刻，理想變壓器吸收的功率恒等于零。例如對圖5-13所示的理想變壓器，其瞬時功率為

即理想變壓器不消耗能量也不儲存能量，從初級線圈輸入的功率全部都能從次級線圈輸出到負(fù)載。理想變壓器不存儲能量，是一種無記憶元件。5.4.2理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)理想變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，還表現(xiàn)出有變換阻抗的特性，如圖5-14所示理想變壓器，次級接負(fù)載阻抗ZL，由設(shè)出的電壓、電流參考方向及同名端位置，可得理想變壓器在正弦電路里相量形式為37第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五圖5-14理想變壓器阻抗變換特性

由ab端看，輸入阻抗為因負(fù)載ZL上電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，將代入上式，即得38第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五上式表明，當(dāng)次級接阻抗ZL，對初級來說，相當(dāng)于在初級接一個值為n2ZL的阻抗，即理想變壓器有變換阻抗的作用。習(xí)慣上把ZL稱為次級對初級的折合阻抗。實際應(yīng)用中，一定的電阻負(fù)載RL接在變壓器次級，在變壓器初級相當(dāng)于接（N1/N