2022年浙江省寧波市至誠(chéng)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)是(

)

A.偶函數(shù)，在(0，＋∞)是增函數(shù) B.奇函數(shù)，在(0，＋∞)是增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在(0，＋∞)是減函數(shù) D.奇函數(shù)，在(0，＋∞)是減函數(shù)參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

B3

B4

B6【答案解析】B

解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)；函數(shù)是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，則也是增函數(shù)，故選：B【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)奇偶性的定義可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，是減函數(shù)，可以判斷是增函數(shù)。2.設(shè),則“”是“”的 （）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.若P（2，1）為圓（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線的方程為(

)A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．2x+y=0 D．x+y﹣3=0參考答案：D【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】利用圓心和弦的中點(diǎn)的連線和弦所在的直線垂直，兩直線垂直，斜率之積等于﹣1，求出直線AB的斜率，用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程．【解答】解：圓（x﹣1）2+y2=25的圓心為（1，0），直線AB的斜率等于=﹣1，由點(diǎn)斜式得到直線AB的方程為y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用點(diǎn)斜式求直線方程的方法，圓心和弦的中點(diǎn)的連線和弦所在的直線垂直，兩直線垂直，斜率之積等于﹣1．4.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，則向上的點(diǎn)數(shù)之積恰為偶數(shù)的概率為

（

）

參考答案：B5.設(shè)，則“”是“”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件

D.非不充分不必要條件參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】充分條件，必要條件.

A2解析：∵若“”則“”，是真命題；而若“”則“”當(dāng)a=0時(shí)不成立，是假命題.故選A.【思路點(diǎn)撥】通過判斷命題：若“”則“”與若“”則“”的真假獲得結(jié)論.6.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B易知，，，∴，故選B.

7.命題p：若?＞0，則與的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上都是減函數(shù)，則f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（） A．“p或q”是真命題 B．￢p為假命題 C． “p或q”是假命題 D． ￢q為假命題參考答案：B略8.已知不平行于坐標(biāo)軸的直線l與以原點(diǎn)O為中心的雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩及其兩條漸近線從左到右依次交于A，B，C，D不同的四點(diǎn)，則下列一定成立的是（）A．|AD|=2|BC| B．|AB|=|BC|=|CD| C．+=+ D．?=?參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)l的方程為y=kx+m，分別設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），分別根據(jù)韋達(dá)定理求出并得到x1+x2=x3+x4，同理得到y(tǒng)1+y2=y3+y4，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到=+，故結(jié)論一定成立的選項(xiàng)即得到【解答】解：如圖所示：設(shè)l的方程為y=kx+m，代入雙曲線方程并整理得：（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2（m2+b2）=0，設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=再將y=kx+m代入雙曲線漸近線方程b2x2﹣a2y2=0并整理得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2=0．設(shè)B（x3，y3），C（x4，y4），則x3+x4=∴x1+x2=x3+x4，同理可得y1+y2=y3+y4，∵=（x1，y1），=（x3，y3），=（x4，y4），=（x2，y2），∴=（x1+x2，y1+y2），+=（x3+x4，y3+y4）∴=+故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和雙曲線的關(guān)系，以及韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題9.平面直角坐標(biāo)系中，圓方程為，直線與圓交于兩點(diǎn)，又知角、的始邊是軸，終邊分別為和，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（）A． B．{x|x<-2或x>1}

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有下列命題:①命題“使得”的否定是“都有”；②設(shè)是簡(jiǎn)單命題，若為假命題，則為真命題；③是的充分不必要條件；④若函數(shù)為偶函數(shù)則；其中所有正確的說(shuō)法的序號(hào)是

。參考答案：④12.下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集的映射過程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)，如圖①：將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)恰好重合，如圖②：再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖③，圖③中直線與軸交于點(diǎn)，則的象就是，記作．下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是

（填出所有正確命題的序號(hào)）①②是奇函數(shù)③在定義域上單調(diào)遞增④是圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．參考答案：③④試題分析：解：如圖，因?yàn)樵谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于①當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，直線的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，即①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)閷?shí)數(shù)所在的區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不存在奇偶性，故②錯(cuò)；對(duì)于③，當(dāng)實(shí)數(shù)越來(lái)越大時(shí)，如圖直線與軸的交點(diǎn)也越來(lái)越往右，即越來(lái)越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即③對(duì)；對(duì)于④當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，此時(shí)點(diǎn)，所以，再由圖形可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即④對(duì)，故答案為③④．考點(diǎn)：在新定義下解決函數(shù)問題．13.已知函數(shù)

。參考答案：略14.已知，則的值為______________．參考答案：略15.為了解一片防風(fēng)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹木的底部周長(zhǎng)（單位：cm）、根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣品的頻率分布直方圖（如圖），那么在這100株樹木中，底部周長(zhǎng)大于100cm的株數(shù)是__________..參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體I2【答案解析】7000

由圖可知：底部周長(zhǎng)小于100cm段的頻率為（0.01+0.02）×10=0.3，

則底部周長(zhǎng)大于100cm的段的頻率為1-0.3=0.7

那么在這片樹木中底部周長(zhǎng)大于100cm的株樹大約10000×0.7=7000人．

故答案為7000．【思路點(diǎn)撥】在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率．底部周長(zhǎng)小于100cm的矩形的面積求和乘以樣本容量即可．16.（）的展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)為_____________．（用數(shù)字作答）參考答案：60【分析】依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，，若展開式中不含，則，即，再代入即可求得。【詳解】因?yàn)?，若展開式中不含，則，即，所以的展開式中不含的項(xiàng)為。項(xiàng)系數(shù)為60【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。17.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的直線l與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的最小值為

參考答案：

4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.某地發(fā)生特大地震和海嘯，使當(dāng)?shù)氐淖詠?lái)水受到了污染，某部門對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)。已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足，當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化。

（I）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4，試問自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（II）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量m的值。參考答案：解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，

-----------------2分當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化∴當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，解得故自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)5天

-------------------6分（2）為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化即前4天和后3天的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化∴當(dāng)時(shí)，在恒成立，得在恒成立，∴

----------------------9分當(dāng)時(shí)，在恒成立，同理得

即投放的藥劑質(zhì)量m的值為

------------------13分

19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，在上最小值為，最大值為，求的值．參考答案：解：由題設(shè)知且………１分時(shí)，；或時(shí)，；和時(shí)，由題設(shè)知，，，…………３分①時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，在上單減，在和上單增，…………………４分為的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)；的最大值是………………５分解解得，………………７分②時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，在上單增，在和上單減，………………９分為的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；…………………１０分的最小值是……１１分解解得，……………１３分綜上，，或，．………１４分略20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋粼谏蠟樵龊瘮?shù)，則稱

為“一階比增函數(shù)”.(Ⅰ)若是“一階比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)若是“一階比增函數(shù)”，求證：，；（Ⅲ）若是“一階比增函數(shù)”，且有零點(diǎn)，求證：有解.參考答案：解：（I）由題在是增函數(shù)，由一次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以

………………3分（Ⅱ）因?yàn)槭恰耙浑A比增函數(shù)”，即在上是增函數(shù)，又，有，所以，

………………5分所以，所以

所以

………………8分（Ⅲ）設(shè)，其中.因?yàn)槭恰耙浑A比增函數(shù)”，所以當(dāng)時(shí)，法一：取，滿足，記由（Ⅱ）知，同理，所以一定存在，使得，所以一定有解

………………13分

法二：取，滿足，記因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以對(duì)成立只要，則有，所以一定有解

………………13分21.如圖1，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，在邊上，在邊上，且.將沿直線折起，得四棱錐，如圖2.（1）求證：；（2）若平面底面，求三棱錐的體積.參考答案：（1）在圖1中，由題意知，在中，由余弦定理知所以，所以，，在沿直線折起的過程中，與的垂直關(guān)系不變，故在圖2中有又，所以平面，所以.（2）如圖2，因?yàn)槠矫娴酌?，由?）知，且平面底面，所以底面，所以為三棱錐的高，且又因?yàn)樵趫D1中，所以故三棱錐的體積為.22.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后求解函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）化簡(jiǎn)g（x）的表達(dá)式，求出定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，轉(zhuǎn)化為

h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，利用判別式推出a的范圍，判斷兩個(gè)根的范圍，然后求解a的范圍．（Ⅲ）轉(zhuǎn)化已知條件為?t∈（1，+∞），都有g(shù)（t）≥g（x2），通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值，推出=，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)以及單調(diào)性求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．……∴函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．

…（Ⅱ）解：定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）∴…設(shè)h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，則

h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…而且一根在區(qū)間（e，+∞）上，不妨設(shè)x2＞e，又因?yàn)閤1?x2=1，∴，又h（0）=1，∴聯(lián)立①②可