山西省大同市天鎮(zhèn)縣高級職業(yè)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從1=12、1+3=22、1+3+5=32、1+3+5+7=42、…，猜想得到1+3+…+（2n﹣1）=（）A．n B．2n﹣1 C．n2 D．（n﹣1）2參考答案：C【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】直接由題意可得答案．【解答】解：從1=12、1+3=22、1+3+5=32、1+3+5+7=42、…，猜想得到1+3+…+（2n﹣1）=n2，故選：C【點(diǎn)評】本題考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題2.已知函數(shù)，則方程f（x2－2x）＝m有六個(gè)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A、（－e，0］B、（－1，0］C、（－e，－1）D、（－1，＋）參考答案：B3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)所在球的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.底面是正三角形，且每個(gè)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐

B、一定是正四面體

C、不是斜三棱錐

D、可能是斜三棱錐參考答案：D5.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；由三視圖求面積、體積；球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑r．【解答】解：由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑r，則8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三視圖，考查幾何體的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知變量x，y滿足約束條件，則y－2x的取值范圍是（

）A．[－，4]

B．[－，1]

C．[1，4]

D．[－1，1]參考答案：A7.已知x1，x2分別是函數(shù)f（x）=x3+ax2+2bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），則的取值范圍為（）A．（1，4） B．（，1） C．（，） D．（，1）參考答案：D【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x1、x2是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)論．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=x2+ax+2b，依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），等價(jià)于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．∴滿足條件的（a，b）的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣3，1）的取表示（a，b）與點(diǎn)（1，2）連線的斜率，由圖可知斜率的最大值為=1，最小值為=，故選：D．8.方程表示的曲線是（

）A．兩條互相垂直的直線

B．兩條射線

C．一條直線和一條射線

D．一個(gè)點(diǎn)參考答案：C9.將兩個(gè)數(shù)交換，使得，下列語句正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()a.m＜n＜p

b.m＜p＜nc.p＜m＜n

d.p＜n＜m參考答案：C本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),∵0＜0.9＜1,5.1＞1,∴0＜0.95.1＜1,即0＜m＜1.又∵5.1＞1,0.9＞0,∴5.10.9＞1,即n＞1.由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),∵0＜0.9＜1,5.1＞1,∴l(xiāng)og0.95.1＜0,即p＜0.綜合可得p＜m＜n.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某同學(xué)通過計(jì)算機(jī)測試的概率為，他連續(xù)測試3次，且三次測試相互獨(dú)立，其中恰有1次通過的概率為

．參考答案：12.有4條線段,其長度分別為1，3，5，7．現(xiàn)從中任取3條，則不能構(gòu)成三角形的概率為___________．參考答案：略13.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么k＝___________．參考答案：－1略14.計(jì)算：=

。參考答案：2略15.已知橢圓，，，斜率為－1的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線OP平分線段AB，則C的離心率等于__________．參考答案：【分析】利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，可用點(diǎn)差法求解．16.如圖，側(cè)棱長為的正三棱錐V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400

，過A作截面AEF，則截面△AEF周長的最小值為

參考答案：617.數(shù)列1，，，……，的前n項(xiàng)和為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.（1）求證：EF∥平面DCP；（2）求平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值.參考答案：(1)見解析(2)（1）取中點(diǎn)，連接，易得四邊形為平行四邊形，從而所以∥平面；（2）平面，且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，代入公式得到所成銳二面角的余弦值.解：方法一：取中點(diǎn)，連接，分別是中點(diǎn),，為中點(diǎn)，為正方形，，,四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面.方法二：取中點(diǎn)，連接，.是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中點(diǎn)，連接，，在正方形中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面法向量為，則,即,取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面法向量為，，則,即，取,則設(shè)平面法向量為，則,即,取，.平面與平面所成銳二面角的余弦值為.（若第一問用方法四，則第二問部分步驟可省略）點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19.在極坐標(biāo)系中，曲線C1方程為ρ=2sin（θ+），曲線C2：方程為ρsin（θ+）=4．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)閤軸正向建立直角坐標(biāo)系xOy．（1）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)A、B分別是C1，C2上的動點(diǎn)，求|AB|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）先將曲線C1及曲線C2的極坐標(biāo)方程展開，然后再利用公式，即可把極坐標(biāo)方程化為普通方程．（2）可先求出圓心到直線的距離，再減去其半徑即為所求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲線C1的極坐標(biāo)方程化為ρ=sinθ+cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρsinθ+ρcosθ，則曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．曲線C2的極坐標(biāo)方程化為ρsinθ+ρcosθ=4，則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y+x=4，即x+y﹣8=0．（Ⅱ）將曲線C1的直角坐標(biāo)方程化為（x﹣）2+（y﹣）2=1，它表示以（，）為圓心，以1為半徑的圓．該圓圓心到曲線C2即直線x+y﹣8=0的距離d==3，所以|AB|的最小值為3﹣1=2．【點(diǎn)評】掌握極坐標(biāo)方程化為普通方程的公式和點(diǎn)到直線的距離公式及轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．20.已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)h（x）=xf（x），當(dāng)a=1，b=0時(shí)，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間，求m的值；（2）當(dāng)m=0時(shí)，記F（x）=f（x）﹣g（x）①當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)F（x）在[﹣1，2]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍；②當(dāng)b=﹣時(shí)，試探究是否存在正整數(shù)a，使得函數(shù)F（x）的圖象恒在x軸的上方？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）求解導(dǎo)數(shù)得出：h（x）=xex，（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，（﹣1，+∞）單調(diào)遞增，x=﹣1時(shí)h（x）去極小值．（2）①當(dāng)m=0時(shí)，記F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，F(xiàn)（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出：2﹣2ln2﹣b＜0，F(xiàn)（﹣1）≥0，F(xiàn)（2）≥0，②判斷得出：當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)（x）=ex﹣x，F(xiàn)（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，最小值為F（0）=1，＞0，F(xiàn)（x）＞0恒成立．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ex，函數(shù)h（x）=xf（x），∴h（x）=xex，∴h′（x）=ex+xex，∵h(yuǎn)′（x）=ex+xex=0，x=﹣1，h′（x）=ex+xex＞0，x＞﹣1，h′（x）=ex+xex＜0，x＜﹣1，∴h（x）=xex，（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，（﹣1，+∞）單調(diào)遞增，x=﹣1時(shí)h（x）取極小值，∵當(dāng)a=1，b=0時(shí)g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間∴﹣=﹣1，m=．（2）當(dāng)m=0時(shí)，記F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，①當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)（x）=ex﹣2x﹣b，∴F′（x）=ex﹣2，∵F′（x）=ex﹣2=0，x=ln2，F(xiàn)′（x）=ex﹣2＞0，x＞ln2F′（x）=ex﹣2＜0，x＜ln2，∴F（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，∵函數(shù)F（x）在[﹣1，2]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴2﹣2ln2﹣b＜0，F(xiàn)（﹣1）≥0，F(xiàn)（2）≥0，解得出：b＞2﹣2ln2，b≤+2，b≤e2﹣4，即2﹣2ln2＜b≤+2，②根據(jù)題意，函數(shù)F（x）的圖象恒在x軸的上方，等價(jià)于F（x）＞0對x∈R恒成立．∴只需F（x）min＞0．∵F（x）=ex﹣ax+，∴F′（x）=ex﹣a．∵a≥1，由F′（x）＜0，得x＜lna；由F′（x）＞0，得x＞lna．∴F（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．∴F（x）min=F（lna）=a﹣alna+＞0．∴只需F（lna）=a﹣alna+＞0．令φ（a）=a﹣alna+，a≥1，則φ′（a）=﹣lna≤0，∴φ（a）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．而F（lna）=a﹣alna+＞0等價(jià)于1+＞lna．當(dāng)a=e2≈7.39時(shí)，上式成立；而當(dāng)a=8時(shí)，上式不成立．故當(dāng)1≤a＜8時(shí)，函數(shù)F（x）的圖象恒在x軸的上方．∴a=7為所求的最大值．21.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，橢圓與軸左交點(diǎn)與點(diǎn)的距離為.（1）

求橢圓方程；(2)過