臨考押題系列：滿分沖刺34題—二次函數(shù)解析式求法專練1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）．（1）求出此二次函數(shù)的解析式，并把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）請在坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值y為負數(shù)時，自變量x的取值范圍．2．已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）畫出此函數(shù)圖象的示意圖．3．已知y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，2）和B（﹣1，﹣4）．（1）求此函數(shù)的解析式；并運用配方法，將此拋物線解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式；（2）寫出該拋物線頂點C的坐標，并求出△CAO的面積．4．已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點，（1）求該拋物線的解析式；（2）利用配方法或公式法求該拋物線的頂點坐標和對稱軸．5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三點．（1）求該函數(shù)解析式；（2）用配方法將該函數(shù)解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式．6.已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸的交點，并且經(jīng)過點（1，﹣1），求這個二次函數(shù)的表達式，并用配方法將表達式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．7.通過配方，確定拋物線y＝ax2+bx+1的頂點坐標及對稱軸，其中a＝sin30°﹣tan45°，b＝4tan30°?sin60°．8.．已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）用五點法畫出此函數(shù)圖象的示意圖．9．已知y＝x2+2x+1（1）把它配方成y＝a（x﹣h）2+k形式；（2）寫出它的開口方向、頂點M的坐標、對稱軸方程和最值；（3）求出圖象與y軸、x軸的交點坐標；（4）作出函數(shù)圖象；（5）x取什么值時y＞0，y＜0；（6）設(shè)圖象交x軸于A，B兩點，求△AMB面積．10．已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此函數(shù)的解析式；并運用配方法，將此拋物線解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式；（2）寫出該拋物線頂點C的坐標，并求出△CAO的面積．11．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），（3，0）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求當﹣2≤x≤2時，y的最大值與最小值的差；（3）若點P（﹣3，y1），Q（q，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，請直接寫出q的取值范圍．12．已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（1，﹣3）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點（m，﹣27）在該拋物線上，求m的值．13．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣2）和（1，﹣2）．（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．（2）當﹣1≤x≤3時，求該二次函數(shù)的最大值和最小值．14．已知二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣2，3）和（1，6），試確定二次函數(shù)的表達式．15．如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，4），C（4，4）三個點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若在該函數(shù)圖象的對稱軸上有個動點D，求當點D坐標為何值時，△ABD的周長最?。?6．如圖，已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的圖象上，圖象經(jīng)過點（3，1）且x2﹣x1＝3．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若y1＝y(tǒng)2，求頂點到直線MN的距離．17．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C恰好落在拋物線上的點P處．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求這條拋物線的對稱軸及與x軸的另一個交點E的坐標；（3）求線段CD的長．18．如圖，直線y＝﹣x+2過x軸上的點A（2，0），與y軸交于D點，與拋物線y＝ax2交于B，C兩點，點B坐標為（1，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）連結(jié)OC、OB，求出△BOC的面積；（3）當﹣x+2＞ax2時，請觀察圖象直接寫出x的取值范圍．19．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣2.5）三點．（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；（2）當0≤x≤5時，求y的最大值和最小值．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y＝x2+bx﹣2過點C．求拋物線的表達式．21．已知直線交y軸于點A，點B在線段OA上，且AB＝2BO．有一拋物線的頂點坐標為P（2，9），且經(jīng)過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）動點C在拋物線的對稱軸上，動點D在直線l上，求BC+CD的最小值．22．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（5，1），點B（0，6），點C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上．（1）求該二次函數(shù)的解析式及其頂點坐標；（2）若m≤x≤3時，n的最大值為10，最小值為1，請結(jié)合圖象直接寫出m的取值范圍；（3）若點C在直線AB的上方，且△ABC面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并說明m取何值時，S有最大值，最大值是多少？23．如圖，已知拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過點A（﹣5，2），B（3，2）．（1）求拋物線的表達式．（2）利用函數(shù)圖象，求當﹣5＜x≤0時，y的取值范圍．24．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）點E（2，m）在拋物線上，P為直線AE下方拋物線上的點，當△AEP的面積最大時，求出點P的坐標．25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，4），且當x＝2時，y有最小值﹣2，求該二次函數(shù)的表達式．26．一個二次函數(shù)，當x＝﹣1時，函數(shù)的最小值為2，它的圖象經(jīng)過點（1，6），求這個二次函數(shù)的表達式．27．已知拋物線y＝ax2﹣bx+3經(jīng)過點A（1，2），B（3，3）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）判斷點C（﹣2，﹣1）是否在此拋物線上．28．二次函數(shù)的圖象頂點坐標為（﹣2，﹣2），且過（1，0）．（1）求該二次函數(shù)解析式；（2）當﹣5≤x＜4時，求函數(shù)值y的取值范圍．29．已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如表所示：x…﹣101234…y…83m﹣103…（1）求m的值和這個二次函數(shù)的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象（無需再單獨列表）；（3）當1＜x≤4時，直接寫出y的取值范圍．30．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（3，0）和（4，3）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）直接在坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合圖象直接寫出y＞3時，自變量x的取值范圍是；（4）當0＜x＜3時，y的取值范圍是．31．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）當0≤x≤3時，直接寫出y最小值＝，y最大值＝；（3）點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點，若S△ACP＝3，求點P的坐標．32．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，﹣1），（2，﹣3）．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）求這條拋物線的頂點坐標33．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的部分圖象與x軸，y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，當﹣2＜x＜1時，直接寫出y的取值范圍．34．已知一個二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（2，2）和（1，5）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標．1．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．2．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．3．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（﹣，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）．直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．4．一次函數(shù)圖象與幾何變換直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù)）③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）5．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y＝kx+b；（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式．注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y＝kx+b，則需要兩組x，y的值．6．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式．7．兩條直線相交或平行問題直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)），當k相同，且b不相等，圖象平行；當k不同，且b相等，圖象相交；當k，b都相同時，兩條線段重合．（1）兩條直線的交點問題兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．（2）兩條直線的平行問題若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．例如：若直線y1＝k1x+b1與直線y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．8．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．9．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點．10．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．11．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．12．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)；（4）寫出解析式．13．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．14．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．15．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．16．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．17．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．18．二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．19．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．20．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．21．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．22．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．23．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．24．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊參考答案與試題解析1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）．（1）求出此二次函數(shù)的解析式，并把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）請在坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值y為負數(shù)時，自變量x的取值范圍．【分析】（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，將A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）分別代入解析式，得到三元一次方程組，求解即可得二次函數(shù)的一般式；再用配方法得到頂點式；（2）求出頂點坐標、圖象與x軸、y軸的交點，連接各點，即可得到函數(shù)的圖象．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）分別代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c，得，，解得，，則函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x2﹣2x+1﹣4）＝﹣（x﹣1）2+4；（2）根據(jù)y＝﹣（x﹣1）2+4可知，其頂點坐標為（1，4），又當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，x1＝﹣1，x2＝3．則圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0）．當x＝0時，y＝3．故函數(shù)圖象與y軸的交點為（0，3）．故可得函數(shù)圖象為：根據(jù)圖象寫出函數(shù)值y為負數(shù)時，自變量x的取值范圍x＜﹣1或x＞3．【點評】此題考查了二次函數(shù)的一般形式和頂點式，解題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和根據(jù)函數(shù)關(guān)鍵點畫函數(shù)圖象．2．已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）畫出此函數(shù)圖象的示意圖．【分析】（1）先將點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，列出關(guān)于b、c的二元一次方程組，求解得出b、c的值，得到二次函數(shù)的表達式，再用配方法化為頂點式的形式（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點（﹣1，﹣8），（0，﹣3），∴，解得，∴此二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+4x﹣3；y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+1，∴頂點坐標為（2，1），對稱軸方程為x＝2．∵函數(shù)二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的開口向下，頂點坐標為（2，1），與x軸的交點為（3，0），（1，0），∴其圖象為【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)及用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．3．已知y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，2）和B（﹣1，﹣4）．（1）求此函數(shù)的解析式；并運用配方法，將此拋物線解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式；（2）寫出該拋物線頂點C的坐標，并求出△CAO的面積．【分析】（1）待定系數(shù)法求解可得解析式，進一步配方即可得答案；（2）根據(jù)頂點式得出C的坐標，由三角形的面積公式可得答案．【解答】解：（1）將點A（0，2）和B（﹣1，﹣4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+2；y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+2＝﹣2（x﹣1）2+4；（2）拋物線y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4的頂點C坐標為（1，4），∴S△CAO＝×2×1＝1．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的頂點式，熟練掌握待定系數(shù)法和配方法求函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵．4．已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點，（1）求該拋物線的解析式；（2）利用配方法或公式法求該拋物線的頂點坐標和對稱軸．【分析】（1）由于已知拋物線與x的兩交點坐標，則可設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可．（2）利用配方法求該拋物線的頂點坐標和對稱軸．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）．把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，解得a＝﹣1．故該拋物線解析式為：y＝﹣（x+3）（x﹣1）或y＝﹣x2﹣2x+3．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∴拋物線的頂點坐標是（﹣1，4），對稱軸是直線x＝﹣1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三點．（1）求該函數(shù)解析式；（2）用配方法將該函數(shù)解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式．【分析】（1）直接把A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）代入y＝ax2+bx+c可得關(guān)于a、b、c的方程組，解可得a、b、c的值，進而可得函數(shù)解析式；（2）利用配方法將該函數(shù)解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三點，∴，解得，∴該函數(shù)解析式為y＝﹣2x2﹣8x+10；（2）y＝﹣2x2﹣8x+10＝﹣2（x2+4x）+10＝﹣2（x2+4x+4﹣4）+10＝﹣2（x+2）2+18．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸的交點，并且經(jīng)過點（1，﹣1），求這個二次函數(shù)的表達式，并用配方法將表達式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．【分析】由題意先設(shè)出二次函數(shù)的解析式：y＝ax2+bx+c，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸、y軸的交點在二次函數(shù)圖象上，分別令一次函數(shù)x＝0，y＝0求出其與x軸、y軸的交點，再根據(jù)點（1，﹣1）也在二次函數(shù)圖象上，把三點代入二次函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．【解答】解：由y＝﹣x+2的圖象與x軸、y軸的交點，并且經(jīng)過點（1，﹣1），令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過（0，2），（，0），（1，﹣1）三點，把（0，2），（，0），（1，﹣1）分別代入y＝ax2+bx+c，得，解得∴所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝x2﹣x+2．∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣）2﹣．∴該二次函數(shù)的y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝（x﹣）2﹣．【點評】此題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本性質(zhì)，一次函數(shù)與x軸、y軸的交點坐標，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，把一般式化成頂點．7．通過配方，確定拋物線y＝ax2+bx+1的頂點坐標及對稱軸，其中a＝sin30°﹣tan45°，b＝4tan30°?sin60°．【分析】首先確定a、b的值，然后配方后確定頂點坐標及對稱軸即可．【解答】解：a＝sin30°﹣tan45°＝﹣1＝﹣；b＝4tan30°?sin60°＝4××＝2；y＝ax2+bx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣2）2+3；拋物線頂點坐標（2，3），對稱軸直線x＝2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式及解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是能夠首先正確的確定a、b的值，難度不大．8．已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）用五點法畫出此函數(shù)圖象的示意圖．【分析】（1）把已知兩點（﹣1，﹣8），（0，﹣3）代入二次函數(shù)的解析式求出b和c的值，再配方成頂點式；（2）寫出頂點坐標，計算其與x軸的交點和與y軸的交點，列表、描點，畫出圖象．【解答】解：（1）把（﹣1，﹣8），（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+4x﹣3，y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1；（2）頂點（2，1），當y＝0時，﹣x2+4x﹣3＝0，x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，x1＝1，x2＝3，∴與x軸交點為（1，0）、（3，0），列表如下：【點評】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和畫出二次函數(shù)的圖象，知道用五點法畫二次函數(shù)圖象的方法：①五點是指：頂點、與x軸的兩個交點、與y軸交點及其對稱點（也可取任意兩個對稱點），②計算出五點的坐標，③再列表、描點，連線即可．9．已知y＝x2+2x+1（1）把它配方成y＝a（x﹣h）2+k形式；（2）寫出它的開口方向、頂點M的坐標、對稱軸方程和最值；（3）求出圖象與y軸、x軸的交點坐標；（4）作出函數(shù)圖象；（5）x取什么值時y＞0，y＜0；（6）設(shè)圖象交x軸于A，B兩點，求△AMB面積．【分析】（1）利用配方法可把一般式變形為y＝（x+2）2﹣1；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）求自變量為0時所對應(yīng)的函數(shù)值可得到拋物線與y軸的交點坐標；求函數(shù)值為0時所對應(yīng)的自變量的值可確定拋物線與x軸的交點坐標；（4）利用描點法畫函數(shù)圖象；（5）觀察函數(shù)圖象，寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍和函數(shù)圖象在x軸下方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可；（6）先計算出AB，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【解答】解：（1）y＝x2+2x+1＝（x+2）2﹣1；（2）拋物線的開口向上，頂點M的坐標（﹣2，﹣1），對稱軸為直線x＝﹣2，最小值為﹣1；（3）當x＝0時，y＝x2+2x+1＝1，則拋物線與y軸的交點坐標為（0，1），當y＝0時，x2+2x+1＝0，解得x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，則拋物線與x軸的交點坐標為（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；（4）如圖，（5）當x＜﹣2﹣或x＞﹣2+時，y＞0；當﹣2﹣＜x＜﹣2+時，y＜0；（6）如圖，AB＝﹣2+﹣（﹣2﹣）＝2，所以△AMB面積＝×2×1＝．【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種常見形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．10．已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此函數(shù)的解析式；并運用配方法，將此拋物線解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式；（2）寫出該拋物線頂點C的坐標，并求出△CAO的面積．【分析】（1）將A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函數(shù)的解析式；再利用配方法先提出二次項系數(shù)，然后加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；（2）由頂點式可得頂點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CAO的面積．【解答】解：（1）將A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，所以此函數(shù)的解析式為y＝﹣2x2﹣4x+4；y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x+1）+2+4＝﹣2（x+1）2+6；（2）∵y＝﹣2（x+1）2+6，∴C（﹣1，6），∴△CAO的面積＝×4×1＝2．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，難度適中．正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．11．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），（3，0）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求當﹣2≤x≤2時，y的最大值與最小值的差；（3）若點P（﹣3，y1），Q（q，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，請直接寫出q的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將解析式配成頂點式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）將P（﹣3，y1）代入y＝x2﹣2x﹣3，求得y1＝12，再令y＝12，可得x2﹣2x﹣3＝12，解得：x＝5或x＝﹣3，結(jié)合函數(shù)的圖象即可得到q的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，得，解得，∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴當x＝1時，y有最小值﹣4，∵當x＝﹣2時，y＝5；當x＝2時，y＝﹣3，∴當﹣2≤x≤2時，y的最大值與最小值的差為5﹣（﹣4）＝9；（3）∵P（﹣3，y1）在y＝x2﹣2x﹣3上，∴y1＝12，令y＝12，可得x2﹣2x﹣3＝12，解得：x＝5或x＝﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3的圖象開口向上，∴y1＜y2，q的取值范圍為q＜﹣3或q＞5．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．12．已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（1，﹣3）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點（m，﹣27）在該拋物線上，求m的值．【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，然后將頂點坐標為（2，0），點（1，﹣3）直接代入即可．（2）將（m，﹣27）代入（1）中求出的表達式，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，得a（1﹣2）2＝﹣3，解得a＝﹣3，所以此函數(shù)的解析式為y＝﹣3（x﹣2）2，（2）解：把（m，﹣27）代入y＝﹣3（x﹣2）2，得﹣3（m﹣2）2＝﹣27，解得m＝5或﹣1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，以及求坐標的值，準確設(shè)出表達式是解題關(guān)鍵．13．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣2）和（1，﹣2）．（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．（2）當﹣1≤x≤3時，求該二次函數(shù)的最大值和最小值．【分析】（1）先將（0，﹣2）和（1，﹣2）分別代入y＝x2+bx+c求出二次函數(shù)的表達式，再根據(jù)對稱軸公式作答即可；（2）先確定開口方向，再根據(jù)對稱軸確定最大值和最小值即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣2）和（1，﹣2），∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣x﹣2；∴對稱軸為直線；（2）由（1）可知y＝x2﹣x﹣2的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線在﹣1≤x≤3內(nèi)，∴當時，有最小值；∵直線x＝3距直線最遠，∴當x＝3時，有最大值y＝32﹣3﹣2＝4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣2，3）和（1，6），試確定二次函數(shù)的表達式．【分析】把（﹣2，3）和（1，6）分別代入y＝x2﹣bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可．【解答】解：根據(jù)題意得，解得b＝﹣2，c＝3，所以二次函數(shù)表達式為y＝x2+2x+3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．15．如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，4），C（4，4）三個點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若在該函數(shù)圖象的對稱軸上有個動點D，求當點D坐標為何值時，△ABD的周長最?。痉治觥浚?）設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）AC與對稱軸的交點即為點D，此時△ABD的周長最小．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，將A、B、C三點代入，得，解得：，，∴拋物線的解析式為：；（2）解：拋物線的對稱軸為，如圖，連接AC與對稱軸x＝2交于點D，∵B（0，4），C（4，4），∴B、C關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴DB＝DC，∴AD+BD＝AD+CD＝AC，∵為定值，此時△ABD的周長取得最小值，點D即為所求；設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將A、C兩點代入得，解得：，直線AC的解析式為：，當x＝2時，y＝3，∴當點D的坐標為（2，3）時，△ABD的周長最?。军c評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，最短路徑問題，掌握兩直線交點求法是求出點D的關(guān)鍵．16．如圖，已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的圖象上，圖象經(jīng)過點（3，1）且x2﹣x1＝3．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若y1＝y(tǒng)2，求頂點到直線MN的距離．【分析】（1）把點（3，1）代入二次函數(shù)的解析式求出a即可；（2）判斷出M，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求出點M的縱坐標，可得結(jié)論；【解答】解：（1）將點（3，1）代入y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）中，∴1＝a（3﹣2）2﹣1，解得：a＝2，∴二次函數(shù)的表達式為：y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x2﹣8x+7；（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣1，∴二次函數(shù)圖象的解析式為直線x＝2，頂點坐標為（2，﹣1），∵y1＝y(tǒng)2，∴點M，N關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴x2+x1＝4，又∵x2﹣x1＝3，∴，，∴，即直線MN為：，又∵二次函數(shù)的頂點坐標為（2，﹣1），∴頂點（2，﹣1）到MN的距離為．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．17．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C恰好落在拋物線上的點P處．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求這條拋物線的對稱軸及與x軸的另一個交點E的坐標；（3）求線段CD的長．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用（1）中點C的坐標可得出拋物線的對稱軸為x＝2，利用對稱軸求出E的坐標；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，則P（2+t，）代入y＝得到關(guān)于t的方程，從而解方程可得到CD的長．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（0，）代入y＝，得，解得：，∴拋物線的解析式：y＝，（2）∵拋物線的解析式：y＝，配成頂點式為：y＝；∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)E（a，0），2＝，∴a＝5，∴E（5，0），（3）設(shè)CD＝t，則D（2，），∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C恰好落在拋物線上的點P處，∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，∴P（2+t，），將P（2+t，）代入y＝﹣得，整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝2，t2＝0（舍去）∴線段CD的長為2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．18．如圖，直線y＝﹣x+2過x軸上的點A（2，0），與y軸交于D點，與拋物線y＝ax2交于B，C兩點，點B坐標為（1，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）連結(jié)OC、OB，求出△BOC的面積；（3）當﹣x+2＞ax2時，請觀察圖象直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)點B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）將直線AB的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解之得出點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△BOC的值；（3）觀察圖象求得即可．【解答】解：（1）∵點B（1，1）在拋物線y＝ax2上，∴1＝a，∴拋物線的解析式為y＝x2；（2）由題可知，直線AB的解析式為y＝﹣x+2．當x＝0時，y＝2，∴D（0，2），聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，，解得：或，∴點C的坐標為（﹣2，4），B（1，1）．∴S△BOC＝S△COD+S△BOD＝＝3；（3）由圖象可知，當﹣x+2＞ax2時，x的取值范圍﹣2＜x＜1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．19．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣2.5）三點．（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；（2）當0≤x≤5時，求y的最大值和最小值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出y的最小值，結(jié)合x的取值范圍及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出y的最大值．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣2.5）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式為y＝0.5x2﹣2x﹣2.5；（2）∵a＝0.5＞0，拋物線y＝0.5x2﹣2x﹣2.5的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2，∴當x＝2時，y取得最小值，最小值＝0.5×22﹣2×2﹣2.5＝﹣4.5；又∵0≤x≤5，∴當x＝5時，y取得最大值，最大值＝0.5×52﹣2×5﹣2.5＝0．∴當0≤x≤5時，y的最大值為0，最小值為﹣4.5．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)給定點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決最值問題．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y＝x2+bx﹣2過點C．求拋物線的表達式．【分析】首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式．【解答】解：如圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD＝90°．∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．在△AOB與△CDA中，，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝3，∴C（3，1）．∵點C（3，1）在拋物線y＝x2+bx﹣2上，∴1＝×9+3b﹣2，解得：b＝﹣．∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．已知直線交y軸于點A，點B在線段OA上，且AB＝2BO．有一拋物線的頂點坐標為P（2，9），且經(jīng)過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）動點C在拋物線的對稱軸上，動點D在直線l上，求BC+CD的最小值．【分析】（1）首先算出A點坐標，根據(jù)AB＝2BO得到點B的坐標，利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的解析式；（2）求出點B關(guān)于對稱軸的對稱點B'，根據(jù)對稱可知BC+CD＝B'C+CD，當B'、C、D三點共線且B'D與l垂直時，B'C+CD最小，之后只需算出點B'、點D的坐標，即可得到答案．【解答】解：（1）當x＝0時，，∴OA＝3，∵AB＝2BO，∴BO＝1，∴B（0，1），∵拋物線的頂點坐標為P（2，9），∴設(shè)y＝a（x﹣2）2+9，∵拋物線經(jīng)過點B（0，1），∴1＝4a+9，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣2）2+9；（2）如圖，設(shè)點B關(guān)于對稱軸的對稱點B'，由對稱的性質(zhì)可知BC＝B′C，∴BC+CD＝B'C+CD當B'、C、D三點共線且B'D與l垂直時，BC+CD最小，∵B（0，1），對稱軸為x＝2，∴B'（4，1），設(shè)直線l交x軸于點M，直線BB'交對稱軸于點E，交直線l于點F，∴∠DFB+∠DB'E＝90°，∵∠DFB+∠FAB＝90°，∴∠FAB＝∠DB'E，令y＝0，得，解得x＝﹣4，∴M（﹣4，0）MO＝4，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線CD的解析式為：y＝kx+b，，解得，∴直線CD的解析式為：，，解得，∴，∴，∴BC+CD的最小值為4．【點評】本題主要考查求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形，對稱性質(zhì)，兩點之間的距離公式、兩條直線的交點問題等知識，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（5，1），點B（0，6），點C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上．（1）求該二次函數(shù)的解析式及其頂點坐標；（2）若m≤x≤3時，n的最大值為10，最小值為1，請結(jié)合圖象直接寫出m的取值范圍；（3）若點C在直線AB的上方，且△ABC面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并說明m取何值時，S有最大值，最大值是多少？【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標為（2，10），a＝﹣1＜0，得出當x＝2時，函數(shù)取最大值為10，根據(jù)當m≤x≤3時，n的最大值為10，得出m的最大值為2，求出當函數(shù)值y＝1時，自變量x的值，即可得出m的取值范圍；（3）先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+6，過點C作y軸的平行線交直線AB于點D，用m表示出點C、D的坐標，得出CD＝﹣m2+5m，根據(jù)三角形面積公式表示出，求出二次函數(shù)的最大值即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（5，1），點B（0，6），∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣x2+4x+6，∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，∴頂點坐標為（2，10）；（2）∵二次函數(shù)的頂點坐標為（2，10），a＝﹣1＜0，∴當x＝2時，函數(shù)取最大值為10，∵點C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且當m≤x≤3時，n的最大值為10，∴m的最大值為2，令y＝1，則﹣x2+4x+6＝1，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∵當m≤x≤3時，n的最小值為1，∴m的取值范圍為：﹣1≤m≤2；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6，∵點C在拋物線上，∴n＝﹣m2+4m+6，過點C作y軸的平行線交直線AB于點D，如圖所示：則點D的坐標為（m，﹣m+6），∴CD＝﹣m2+4m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+5m，∴△ABC的面積為：＝＝，∵，∴當時，S有最大值，最大為．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．23．如圖，已知拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過點A（﹣5，2），B（3，2）．（1）求拋物線的表達式．（2）利用函數(shù)圖象，求當﹣5＜x≤0時，y的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式；（2）利用配方法得到y(tǒng)＝（x+1）2﹣14，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當x＝﹣1時，結(jié)合函數(shù)圖象可得到當﹣5＜x≤0時，y的取值范圍為﹣14≤y＜2．【解答】解：（1）把A（﹣5，2），B（3，2）分別代入y＝x2+mx+n得，解得，所以拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣13；（2）∵y＝x2+2x﹣13＝（x+1）2﹣14，∴當x＝﹣1時，y有最小值﹣14，∴﹣5＜x≤0時，y的取值范圍為﹣14≤y＜2．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．24．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）點E（2，m）在拋物線上，P為直線AE下方拋物線上的點，當△AEP的面積最大時，求出點P的坐標．【分析】（1）由于拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；（2）首先可得點E（2，﹣3），確定出直線AE解析式，過點P作PF∥y軸交AE于點F，設(shè)出點P的坐標，進而表示出點F的坐標，用三角形的面積的計算方法建立函數(shù)關(guān)系式，即可確定出最大值時，點P的坐標．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分別代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）當x＝2時，m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），設(shè)直線AE的解析為y＝kx+n（k≠0），把A（﹣1，0），E（2，﹣3）分別代入y＝kx+n得：，解得，∴直線AE的解析式為y＝﹣x﹣1．過點P作PF∥y軸交AE于點F，設(shè)點P的坐標為（t，t2﹣2t﹣3），則F（t，﹣t﹣1），∵P為直線AE下方拋物線上的點∴﹣1＜t＜2∵S△AEP＝S△APF+S△EPF，∴＝＝＝，∴當時，S△AEP取得最大值，∴．【點評】此題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，三角形面積的計算，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握和運用二次函數(shù)的最值問題的解決方法是解決本題的關(guān)鍵．25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，4），且當x＝2時，y有最小值﹣2，求該二次函數(shù)的表達式．【分析】根據(jù)題意設(shè)出該二次函數(shù)的頂點式，再把（0，4）代入解析式即可得出答案．【解答】解：∵當x＝2時，y有最小值﹣2，∴該二次函數(shù)的頂點為（2，﹣2），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣2，把點（0，4）代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，得4＝4a﹣2，解得a＝，∴該拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣2．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，關(guān)鍵是要能根據(jù)題意得出拋物線的頂點坐標，設(shè)出拋物線的頂點式．26．一個二次函數(shù)，當x＝﹣1時，函數(shù)的最小值為2，它的圖象經(jīng)過點（1，6），求這個二次函數(shù)的表達式．【分析】設(shè)拋物線頂點式，然后將（1，6）代入解析式求解．【解答】解：設(shè)y＝a（x+1）2+2，把（1，6）代入y＝a（x+1）2+2得6＝4a+2，解得a＝1，∴y＝（x+1）2+2．【點評】本題考查求函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握拋物線的三種解析式．27．已知拋物線y＝ax2﹣bx+3經(jīng)過點A（1，2），B（3，3）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）判斷點C（﹣2，﹣1）是否在此拋物線上．【分析】（1）將點A（1，2），B（3，3）代入y＝ax2﹣bx+3待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）將x＝﹣2代入（1）的解析式即可求解．【解答】解：（1）將點A（1，2），B（3，3）代入y＝ax2﹣bx+3得a﹣b+3＝2，9a﹣3b+3＝3，解得∴拋物線的函數(shù)解析式為，（2）當x＝﹣2時，y＝2+3+3＝8≠﹣1，∴點C（﹣2，﹣1）不在此拋物線上．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．28．二次函數(shù)的圖象頂點坐標為（﹣2，﹣2），且過（1，0）．（1）求該二次函數(shù)解析式；（2）當﹣5≤x＜4時，求函數(shù)值y的取值范圍．【分析】（1）由拋物線頂點式表達式得：y＝a（x+2）2﹣2，將點（1，0）代入上式即可求解；（2）根據(jù)x的取值范圍和函數(shù)圖象可以求得相應(yīng)的y的取值范圍．【解答】解：（1）由拋物線頂點式表達式得：y＝a（x+2）2﹣2，x＝1時，y＝a（1+2）2﹣2＝0，解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝（x+2）2﹣2；（2）當x＝﹣2時，y＝﹣2，當x＝4時，y＝6，∴當﹣5≤x＜4時，函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y＜6，故答案為：﹣2≤y＜6．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．29．已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如表所示：x…﹣101234…y…83m﹣103…（1）求m的值和這個二次函數(shù)的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象（無需再單獨列表）；（3）當1＜x≤4時，直接寫出y的取值范圍．【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點為（2，﹣1），當x＝1和x＝3時，函數(shù)值都是0，即m＝0，然后設(shè)出頂點式，將（0，3）代入求出a的值即可；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得出答案．【解答】解：（1）∵當x＝0和x＝4時，y＝3；∴拋物線的頂點為（2，﹣1），當x＝1和x＝3時，函數(shù)值都是0，即m＝0，設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），將（0，3）代入得4a﹣1＝3，解得a＝1，∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝（x﹣2）2﹣1；（2）如圖：（3）由函數(shù)圖象得：當1＜x≤4時，﹣1≤y≤3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題