量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.5.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換。1、同一矢量A的不同坐標(biāo)表示及其變換。同一量子態(tài)的不同表象表示及其變換類(lèi)似于同一矢量A的不同坐標(biāo)表示及其變換。。A）.取一個(gè)坐標(biāo)系，相當(dāng)取三個(gè)基矢:三個(gè)基矢是正交歸一：ei·ej=δijB）任一矢量Ａ可按基矢{ei}展開(kāi)：A＝A1e1+A2e2+A3e3矢量Ａ可按展開(kāi)系數(shù)即坐標(biāo)來(lái)表示：其中，系數(shù)Ai=(ei·

A)第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五C）.同一矢量A，取不同的坐標(biāo)系，其坐標(biāo)表示是不同的。不同坐標(biāo)系基矢之間、同一矢量不同坐標(biāo)表示之間可以變換。這樣的三維空間叫位形空間或牛頓空間。

第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五以二維坐標(biāo)系間變換為例。設(shè)新坐標(biāo)系相對(duì)原坐標(biāo)系順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ角。則θθ0第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五U是么正矩陣，U＋＝U－1，即U+U=I。B＋稱(chēng)厄米共軛矩陣，定義：這樣變換稱(chēng)么正變換練習(xí)，求證U是么正矩陣。第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五基矢變換：同一矢量不同坐標(biāo)變換：么正變換小結(jié)2、量子態(tài)的表象及其變換設(shè)力學(xué)量Ｑ，本征函數(shù)｛Ｕn｝,滿足：由{Un}的完備性，任何態(tài)函數(shù)ψ(x)都可以用{Un}展開(kāi)，即ψ(x)＝∑nanUn(x).其中an＝∫U＊n(x)ψ(x)dx.A）、量子態(tài)的表象定義第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五現(xiàn)把力學(xué)量算符Ｑ的本征函數(shù)｛Ｕn｝看成是某多維坐標(biāo)系的一套基矢,任何態(tài)函數(shù)ψ(x)看成一個(gè)矢量，叫態(tài)矢。展開(kāi)系數(shù)｛ak}就是坐標(biāo)，排成單列矩陣：量子力學(xué)把選定算符Q與正交歸一完備本征函數(shù){Un}稱(chēng)之為Ｑ表象。任一態(tài)ψ(x)按算符Q的本征函數(shù){Un}展開(kāi)系數(shù)｛ak}所成的單列矩陣ψ就是ψ(x)所描述的態(tài)在Ｑ表象的表示。第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五B)、表象與三維空間的類(lèi)比

1）Ｑ表象本征函數(shù)→三維空間坐標(biāo)系基矢都是正交歸一,但Ｑ表象是多維的，甚至是無(wú)限維的。這種由無(wú)限或有限維的本征函數(shù)

作基矢構(gòu)成的空間叫希爾伯特空間

2）態(tài)函數(shù)（叫態(tài)矢）→三維空間的矢量A；3）態(tài)函數(shù)在Ｑ表象單列矩陣→三維空間矢量坐標(biāo)表示；4）不同表象之間變換（表象變換）→坐標(biāo)系之間變換。二者變換都是么正變換，包括基矢（本征函數(shù)）與展開(kāi)系數(shù)間的變換。第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五C）表象例子D）不同表象間變換設(shè)F表象，基矢為｛ψk},

F′表象，基矢為｛ψ′k},－＞a′=Sa基矢變換：Ψ′＝ΨS-1，＜－Ψa=Ψ′a′=Ψ′Sa第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

Δ有關(guān)矩陣知識(shí)(參考周世勛書(shū)P250－255）1．對(duì)角矩陣

Anm=amδnm.2.轉(zhuǎn)置矩陣

3．厄米共軛矩陣(或稱(chēng)共軛矩陣)運(yùn)算規(guī)則：4.厄米矩陣

，

當(dāng)A是實(shí)矩陣時(shí)，厄米矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣。

5.么正矩陣，或，稱(chēng)A為么正矩陣。

第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五本征方程：AX=λXA是n×n方陣，X是n行的單列矩陣，稱(chēng)本征矢，

λ是常數(shù)，稱(chēng)本征值。7.矩陣的本征方程與求解

1).矩陣A本征方程、本征矢與本征值2).矩陣A的本征方程求解

由AX=λX,得（A-λI）X=0----（1）要有非零解，其系數(shù)矩陣行列式必須為0，即，稱(chēng)為久期方程。具體形式為：

這是λ的n

次方程,解出λ的n個(gè)根λi(會(huì)有重根,這是簡(jiǎn)并情況),就是n個(gè)本征值.將n個(gè)本征值一一代入本征方程(1),可以解出n個(gè)對(duì)應(yīng)的本征矢Xi(i=1,2,…n).第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五8.厄米矩陣的本征矢特點(diǎn)

B.

不同本征值的本征矢是正交的.當(dāng)λi≠λj時(shí),則

A.

本征值是實(shí)數(shù)；(列矩陣的本征矢正交定義:.)

（若簡(jiǎn)并情況下k個(gè)本征矢不正交,可以通過(guò)線性組合,變?yōu)檎坏膋個(gè)本征矢）.C.厄米矩陣的本征矢的正交歸一完備。Δ.本征矢的歸一化:

Δ.未歸一的歸一化系數(shù)C:Δ.任意列矩陣X可用厄米矩陣的本征矢展開(kāi)(練習(xí)1）第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)2，求σx=

的本征矢與本征值。

9.矩陣跡（spurortrace）定義：spA=，（或?qū)懗蓆rA）.公式：sp(AB)=sp(BA).

厄米矩陣重要性：

厄米算符→厄米矩陣，厄米算符的本征函數(shù)→厄米矩陣的本征矢。

量子力學(xué)的所有公式都有對(duì)應(yīng)的矩陣公式，求厄米算符的本征函數(shù)與本征值等價(jià)于求厄米矩陣的本征矢與本征值。第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.5.2力學(xué)量（算符）的矩陣表示。1、取一個(gè)表象Q，其基矢為{Un}.算符在Q表象的矩陣表示定義為：

例1．波函數(shù)公式在Q表象里的矩陣表示為：B=FA具體形式為是波函數(shù)ψ在Q表象的矩陣表示，

是波函數(shù)在Q表象的矩陣表示。

第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五算符與算符矩陣的對(duì)應(yīng)

1）若是厄米算符，則對(duì)應(yīng)矩陣F是厄米矩陣，即F+=F

2）若的矩陣分別為A，B，則的矩陣=AB。

2、算符、本征矢在自身表象的矩陣表示特點(diǎn)?.

即在自身Q表象的表示。

分立譜：，Q是對(duì)角矩陣，對(duì)角元是本征值qn

。連續(xù)譜：

Q也是對(duì)角矩陣，但對(duì)角元是無(wú)窮大。第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)4：求Lx算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩陣。（答案見(jiàn)周世勛書(shū)P130習(xí)題4.5）答案：練習(xí)3：求Lz算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩陣。第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五?.

本征矢在自身Q表象的表示。

分立譜:

Un(x)=ΣmamUm(x),am=∫U*m(x)Un(x)dx=δmn

寫(xiě)成列矩陣形式:連續(xù)譜：

在自身表象下，連續(xù)譜本征函數(shù)就是δ函數(shù)。例如，坐標(biāo)的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象里表示為：。

動(dòng)量的本征函數(shù)在動(dòng)量表象里表示為：。第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、算符在坐標(biāo)、動(dòng)量表象的矩陣表示1）坐標(biāo)表象，本征矢為

小結(jié)論：算符在坐標(biāo)表象的矩陣表示是δ函數(shù)形式。在行列下標(biāo)對(duì)應(yīng)一致的前提下，則此δ函數(shù)前面那部分就是此算符在坐標(biāo)表象的算符表示。例子見(jiàn)書(shū)P129練習(xí)1。第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2）動(dòng)量表象，本征矢為

小結(jié)論：算符在動(dòng)量表象的矩陣表示也是δ函數(shù)形式。在行列下標(biāo)對(duì)應(yīng)一致的前提下，則此δ函數(shù)前面那部分就是此算符在動(dòng)量表象的算符表示。具體講：a)在動(dòng)量表象的算符表示分別為：

或在動(dòng)量表象的算符表示為：b)動(dòng)量算符在動(dòng)量表象的算符表示為：

c)其他算符在動(dòng)量表象的算符表示為：第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)5:在動(dòng)量表象,的本征函數(shù)是什么?

坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象小結(jié)坐標(biāo)表象動(dòng)量表象,

本征矢本征矢第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.5.3量子力學(xué)的矩陣表示。介紹三個(gè)公式:薛定諤方程、平均值公式、本征方程的矩陣表示.

一.

薛定諤方程的矩陣表示

已知態(tài)函數(shù),力學(xué)量L的平均值公式為:

二.

平均值公式的矩陣表示取F表象,其本征矢為：{φn}

第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五三.

本征方程的矩陣表示變換的規(guī)則:只要將波函數(shù)變?yōu)榱芯仃?算符變?yōu)榉骄仃?就可以將波函數(shù)與算符的量子力學(xué)公式變?yōu)榫仃嚤硎镜墓?

?本征方程求解，二個(gè)步驟：

1、解乆期方程，得本征值λ。

2、將本征值一一代入本征方程，解出相應(yīng)的本征矢。第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五四.

標(biāo)積的矩陣表示設(shè)態(tài)矢量Ψ，φ在Q表象的表示分別為：

第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.5.4力學(xué)量的表象變換。設(shè)二個(gè)表象A，基矢：ψ=(ψ1，ψ2，…).

B，基矢：Φ=(φ1,φ

2,…).

1.表象A→B的基矢間變換與變換矩陣S

(φ1

,φ2

,…)=(ψ1，ψ2，…)S-1。

S+=S-1，么正矩陣。

2.同一態(tài)矢從A→B表象的變換設(shè)態(tài)在A表象：，在B表象：b=Sa

第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.同一算符不同表象的矩陣之間變換算符在A表象的矩陣：

在B表象的矩陣：在A表象矩陣F與在B表象矩陣F’的變換為：

4.從A→B表象的變換矩陣S的一個(gè)簡(jiǎn)單求法

已知A表象本征矢（a1,a2,…）在自身表象中矩陣為：…又設(shè)在A表象的矩陣為B(B非對(duì)角)。求解B本征方程，得其本征矢為：(k1,k2,…).

第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五這樣，在A表象，有的基矢（a1,a2,…）與的基矢（k1,k2,…），它們的變換關(guān)系應(yīng)為：（k1,k2,…）=（a1,a2,…）S-1

因?yàn)椋╝1,a2,…）是一個(gè)單位矩陣，所以，S-1=（k1k2…）。

簡(jiǎn)言之，若B是A表象的一個(gè)矩陣，那么由B的本征方程解出的本征矢所構(gòu)成的矩陣就是從A→B表象的變換矩陣的逆S-1。

5.么正變換的特點(diǎn)1．么正變換不改變