專(zhuān)題37：外接球與內(nèi)切球

精講溫故知新

一.外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)

說(shuō)明：r為底面外接圓的半徑，R為球的半徑，1為兩面公共邊的長(zhǎng)度

1.墻角模型

a為兩個(gè)面的二面角，h是空間幾何體的高，H為某一面的高

(1)使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫(huà)出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合

(2)推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑

222

(2)秒殺公式：R2=a+b+c(ab。為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高)R2=°工(a正方體的邊長(zhǎng))

44

(4)圖示過(guò)程

(3)秒殺公式:

A.6兀B.12KC.18TID.24兀

舉一反三

1.(2022?天津紅橋?一模)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1、

夜、3,則此球的體積為.

2.(2017.全國(guó)?高考真題(文))長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球。的

表面積為.2.漢堡模型

(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或錐體

(2)推導(dǎo)過(guò)程

第一步：取底面的外心a,,過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置

六2

第二步：根據(jù)勾股定理可得R2=/+上

4

.2

(3)秒殺公式：R2=r2+—

4

(4)圖示過(guò)程

例2：（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在三

棱錐S-A8C中，AC，平面SBC,AC=4G，BC=26,ZBSC=60°,則該三棱錐外接球體積為（）

A.64乃C.48萬(wàn)

舉一反三

（2022.全國(guó)?高三二模）足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、

內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠''的表面上有四個(gè)點(diǎn)

2

P,A,B,C,滿(mǎn)足PA=1,24,面A8C,AC±BC,若匕…叱;彳，則該“鞠”的體積的最小值為（）

B.9乃

3.斗笠模型

（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上

（2）推導(dǎo)過(guò)程

第一步：取底面的外心瓦，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)

第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心0

2h2

第三步：根據(jù)勾股定理R2=（h-R）2+/=R=-r---+----

2h

（3）秒殺公式：

2h

（4）圖示過(guò)程

例3：（2021?天津.高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同

一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為亍，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.B.4萬(wàn)C.9兀D.12萬(wàn)

舉一反三（2019?全國(guó)?高考真題（理））己知三棱錐P-A8C的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,ABC

是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是以，AB的中點(diǎn)，ZC￡F=90°,則球。的體積為

A.88兀B.4瓜兀C.2娓兀D.遙兀

4.折疊模型

（1）使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊

（2）推導(dǎo)過(guò)程

第一步：過(guò)兩個(gè)平面取其外心H、H2,分別過(guò)兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心0

第二步：計(jì)算OH「=H^gtan^^CE-H,E）2tan2-=（H-r）2tai??（a為兩個(gè)平面的二面角）

222

第三步：OC2=OH；+CH；=（H-r）2tan2?+r2

2

（3）秒殺技巧：R2=（H-r）2tan2-+r2

2

（4）圖示過(guò)程

例4：（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））在邊長(zhǎng)為6的菱形

ABC。中，ZA=p現(xiàn)將沿BO折起到△PBD的位置，當(dāng)三棱錐P-3CO的體積最大時(shí)，三棱錐

P-88的外接球的表面積為（)

A.60兀B.45兀C.30兀D.20兀

舉一反三

（2022?甘肅?高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在矩形ABCD中，AQ=2AB=4,E是的中點(diǎn)，將

分別沿BE,CE折起，使得平面ABE_L平面BCE,平面CZ）E_L平面BCE,則所得幾何體4BCDE

的外接球的體積為

5.切瓜模型

（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐

（2）推導(dǎo)過(guò)程:

第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N,過(guò)兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為

球心0,取BC的中點(diǎn)為M,連接FM、MN、OF、ON

12

第二步：QONMF為矩形.?.由勾股可得|OA「=|AN「+|ON「=|AN『+|MF「/.R2=r；+r；-7

（4）圖示過(guò)程

例5：1.(2022?新

疆烏魯木齊?模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐A-8C。中，AB=AC=2幣,BC=CD=DB=26,平面AfiCL平

面8CQ,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

舉一反三

（2020?四川眉山?模擬預(yù)測(cè)（理））矩形A5C0中，AB=4,BC=3,沿AC將48co矩形折起，使面8AC_L

面ZMC,則四面體A-BS的外接球的體積為（）

6.麻花模型

（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐

（2）推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)3組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x、y、z,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c

x2=a2+b2

三產(chǎn)秒殺公式：心號(hào)江

（3）<y2=b2+c2<=>R2

z2=a2+c2

（4）圖示過(guò)程

例6：（2022?河南?西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））一個(gè)正四面體的棱

長(zhǎng)為2,則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（）

A.瓜兀B.2%C.34D.2缶

舉一反三

3

（2022?陜西商洛?一模（理））在.ABC中，AB=AC=2,cosA=-,將△48C繞3C旋轉(zhuǎn)至△BCD的位置,

4

使得4）=0，如圖所示，則三棱錐A5C外接球的表面積為.

7.矩形模型

(1)使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊

(2)推導(dǎo)過(guò)程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑

(3)秒殺公式：R2=-

4

(4)圖示過(guò)程

(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模(理))在矩形ABC。中,

A8=6,BC=8,現(xiàn)將“ABC沿對(duì)角線AC翻折，得到四面體D4BC,則該四面體外接球的體積為(

196「woo-400八500

A.——71B.------nC.-----71D.——萬(wàn)

3333

舉一反三

(2022?福建?莆田二中模擬預(yù)測(cè))如圖，在四面體ABCO中，△ABZ)和△88都是等腰直角三角形,

(2)推導(dǎo)過(guò)程:

第一步：在兩個(gè)平面上分別找外心O|、。2且過(guò)兩外心做這兩面的垂線相交于球心O

第二步:QOQOzE四點(diǎn)共圓，，正弦定理可得0E=2r=WU(D

sina

22

在AOQ2E中=|O2E|+|O,E|-2|02E||0,E|COSa(2)

|OD『=|OQ『+|op「⑶

第三步：由(1)(2)(3)整理可得

|OD『=@O『+|OM

222

=|OE|-|OIE|+|O,D|

22

=M__|O1E|+|OID|

sma

卻+|o網(wǎng)2；GE|@E|cosa仙中+.D「

,J。國(guó)2+|OF「-2|O2E||O|E|cosa2+2

sin2a1,1111

第四步：設(shè)|O2E|=m,@E|=n,|AB|=l,兩個(gè)面的二面角為a

由第三步可得Rjm-n-,mncosa+f(3)秒殺公式

sin2a4

m2+n2—2mncosaI2

+—

sin2a4

(4)圖示過(guò)程

例8：(2022.全國(guó)?高考真題)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3看和46,其頂點(diǎn)都在同

一球面上，則該球的表面積為()

A.100兀B.128兀C.144KD.192兀

舉一反三

1.（2020?全國(guó)?高考真題（理））已知AA8C是面積為為巨的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.

4

若球O的表面積為16萬(wàn)，則。到平面ABC的距離為（）

A.73B.-C.1D.—

22

2.（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體

積為36%，且34/436,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

D.[18,27]

A.吟B.T'TT'T

二、內(nèi)切球的半徑-一等體積法

1.推導(dǎo)過(guò)程

以三棱錐P-ABC為例

底面

Vpr—AnBvC=—3S/RQlHjh=3—RASrAPnABd3—RASrAPvAC3—RASrA!>PVBCH3—RSAABC

=—R(SAPAB4-sAPAC+SAPBC+SAABC)秒殺公式：R=，何體

2.

’表面積

=3Rs表面積

R=3V幾何體

S表面積

3.圖示過(guò)程

例9：（2017.江蘇?高考真題）如圖,

在圓柱0/02內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱0/02的體積為0，球O

的體積為V2,則J的值是

舉一反三

1.（2016?全國(guó)?高考真題（文））在封閉的直三棱柱ABC-A8G內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB=6,

BC=8,

AA=3,則該球體積V的最大值是

A.4萬(wàn)C.6兀

2.（2022.廣東茂名.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個(gè)半徑相等的小球（球

A和球B）,圓柱的底面直徑為2+夜，向圓柱內(nèi)注滿(mǎn)水，水面剛好淹沒(méi)小球8則球A的體積為,

圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為.

精練鞏固提升

一、單選題

1.（2022?天津市寶詆區(qū)第一中學(xué)二模）“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個(gè)球，且球與圓柱的側(cè)面及上、

下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（）

c.G

2.（2022?河北保定?一模）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為

B.1：2C.2:D.2：3

3.（2022?陜西西安?三模（文））如圖是一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高

相等.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為加，圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，則竺的值為（）

n

4.（2022?湖南岳陽(yáng)?二模）己知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球體的體積為（）

A.逑乃B.4信C.87D.12兀

3

5.（2021.河南鄭州?三模（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》中，運(yùn)用窮竭法證明了與球的

面積和體積相關(guān)的公式.其中包括他最得意的發(fā)現(xiàn)一“圓柱容球”.設(shè)圓柱的高為2,且圓柱以球的大圓（球

大圓為過(guò)球心的平面和球面的交線）為底，以球的直徑為高.則球的表面積與圓柱的體積之比為（）

A.4:3B.3:2C.2:1D.8:3

6.（2022?山東濟(jì)寧?三模）若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表

面積的比值為（）

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

7.（2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)（文））底面半徑為2,高為3的封閉圓柱內(nèi)有一個(gè)表面積S的球，貝US的最大值

為（）

A.164B.12〃C.94D.4萬(wàn)

8.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)尸在底面A8C的射影恰好落在2c的中點(diǎn)，AB1AC,

AB=AC=^6,PA=PB,的面積為基，則該三棱錐的外接球的表面積為（）

2

A.8TIB.12兀C.16兀D.32兀

9.（2022.山東聊城.三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截

面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為4vLi，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一

球面上，則該球的體積為（）

832

A.-reB.—nC.164D.32萬(wàn)

33

10.（2022.廣東.深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若正三棱柱ABC-ABCI的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球。的

表面上，且球。的體積的最小值為4三7r，則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.6上B.36C,3&D.3

二、多選題

11.（2021.遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）一棱長(zhǎng)等于1且體積為1的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球的球面上，則該

球的體積可能是（）

A.立乃B.C.nD.好乃

222

12.（2022?山東日照.二模）傳說(shuō)古希臘科學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這

個(gè)球的直徑與圓柱的高相等.因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球''是他在幾何上最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺

言：他去世后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球''的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為〃?，圓柱的表面

積與球的表面積之比為〃，若/（力［：1--］，則（）

3

A.n——B.的展開(kāi)式中的/的系數(shù)為56

2

C./（x）的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0D./⑴=-16,其中i為虛數(shù)單位

14.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（文））如圖,已知球C與圓錐NO的側(cè)面和底面均相切，且球心C在線段VO

上，圓錐VO的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則球C的表面積為

（2022?河南.平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐P-ABC中，平

面平面ABC,PALPB,AB=BC=AC=4,則該三棱錐外接球的表面積是.

16.（2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐P-A8C。中，R4工底面ABC。，ADYAB,AB//CD,

AD=DC^2,AB=\,E為棱PC的中點(diǎn).若四棱錐E-ABC。的體積為2,則三棱錐P-A8D外接球的表

面積為_(kāi)_____

專(zhuān)題37：外接球與內(nèi)切球

精講溫故知新

二.外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)

說(shuō)明：r為底面外接圓的半徑，R為球的半徑，1為兩面公共邊的長(zhǎng)度

L墻角模型

a為兩個(gè)面的二面角，h是空間幾何體的高，H為某一面的高

(4)使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫(huà)出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合

(2)推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑

222

(5)秒殺公式：R2=a+b+c(ab。為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高)R2=°工(a正方體的邊長(zhǎng))

44

(4)圖示過(guò)程

(6)秒殺公式:

2

所以，這個(gè)球的表面積為S=4兀a=4萬(wàn)X3?=36萬(wàn).

故選：C.

2.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知正方體ABC。-A4GA的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若正方體的棱長(zhǎng)是2,

則該球的表面積是()A.6兀B.12兀C.187rD.247c

【答案】B

解：正方體ABC。-A4Gq的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，

若正方體的棱長(zhǎng)是2,

設(shè)外接球的半徑為廣，

則(2rf=22+22+2?=12,解得“石,

故球的直徑為2a.

球的表面積為S=4x;rx(VJ)=12萬(wàn).

故選：B.

舉一反三

1.(2022?天津紅橋?一模)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1、

應(yīng)、3,則此球的體積為.

【答案】4島

【詳解】長(zhǎng)方體外接球的直徑為Jl2+(72)2+32=，

所以外接球半徑為6，

所以球的體積為限(石了=4扃.

故答案為：46Tt

2.(2017.全國(guó)?高考真題(文))長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的

表面積為.

【答案】14萬(wàn)

【詳解】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，貝1]2火=疹茨喬=后，R=*~，則球。的表面積為

4^-(—)2=14^-.

2

2.漢堡模型

(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或錐體

(2)推導(dǎo)過(guò)程

第一步：取底面的外心比，過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾

■_2

股定理可得R2=/+1

4

|_2

(3)秒殺公式：R2=r2+—

4

(4)圖示過(guò)程

例2：（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在三

棱錐S-A8C中，AC，平面SBC,AC=4G，BC=26,ZBSC=60°,則該三棱錐外接球體積為（）

A.64乃C.48萬(wàn)

【答案】B

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC補(bǔ)成以AC為側(cè)棱的直棱柱，設(shè)^BCS外接圓圓心為Q,半徑為r,設(shè)^ADE

外接圓圓心為利，連接A。?，CO-OR，取。。2的中點(diǎn)。，則點(diǎn)。為三棱錐S-A8C外接球球心，連接

BC_2__.

CO,設(shè)該三棱錐外接球半徑為R,在ABCS中，sin/BSC一訪一-'，所以r=2.在R〃OCO|中，

=4,所以該三棱錐外接球體積為g萬(wàn)配=竿萬(wàn),

故選：B

舉一反三

（2022.全國(guó)?高三二模）足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，"鞠'’最早系外包皮革、

內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠'’的表面上有四個(gè)點(diǎn)

2

P，A,B,C,滿(mǎn)足必=1,膽，面A8cAC±BCt^Vp_ABC=-9則該“鞠”的體積的最小值為（)

9

9

C乃萬(wàn)

-

-

D.

2

8

】C

【答案

.山丁

ABC

平面

8,

所以

BC,

平面A

以，

,因?yàn)?/p>

4=；

>=；P

.且O￡

D//R4

。作Q

。，過(guò)

點(diǎn)為

B中

】取A

【詳解

徑.

的半

A為球

心,O

。是球

,所以

=OP

OC

5=

。4=0

可知

,進(jìn)而

=OC

=DB

故DA

BC,

AC_L

2

11

2,等

8C=

AC=

且僅當(dāng)

8,當(dāng)

BC=

4C

N2