四川省廣安市雙河第二中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是 A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：A略3.已知數(shù)列滿足，，則當時,為(

)

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略4.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊上無限增加時，正多邊形的面積可無限逼近于圓的面積，并創(chuàng)立了割圓術(shù)，即所謂“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率，利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖，如圖所示，則輸出的（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．

B．

C.

D．參考答案：B5.已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，底面，，則球的體積與三棱錐體積之比是（）A．

Ｂ． Ｃ．

D．

參考答案：A6.設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，取函數(shù)。若對任意的，恒有，則

A、的最大值為2

B、的最小值為2

C、的最大值為3

D、的最小值為3參考答案：C7.設(shè)m是直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B8.對于集合A，定義了一種運算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素e∈A，使得對任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，則稱元素e是集合A對運算“⊕”的單位元素．例如：A=R，運算“⊕”為普通乘法；存在1∈R，使得對任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素．下面給出三個集合及相應的運算“⊕”：①A=R，運算“⊕”為普通減法；②A={Am×n|Am×n表示m×n階矩陣，m∈N*，n∈N*}，運算“⊕”為矩陣加法；③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集．其中對運算“⊕”有單位元素的集合序號為（） A．①② B． ①③ C． ①②③ D． ②③參考答案：考點： 進行簡單的合情推理．專題： 計算題；推理和證明．分析： 根據(jù)單位元素的定義，對三個集合及相應的運算“⊕”進行檢驗即可．解答： 解：①若A=R，運算“⊕”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②A={Am×n|Am×n表示m×n階矩陣，m∈N*，n∈N*}，運算“⊕”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣；③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集，其單位元素為集合M．故選D．點評： 本題考查了學生對新定義的接受與應用能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知全集U={xIx<5}，集合，則(A) (B)

(C)(D)參考答案：C10.給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是A.①② B.②③ C.②④ D.③④參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何．”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為平萬千米．參考答案：21【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】由題意畫出圖象，并求出AB、BC、AC的長，由余弦定理求出cosB，由平方關(guān)系求出sinB的值，代入三角形的面積公式求出該沙田的面積．【解答】解：由題意畫出圖象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，則該沙田的面積：即△ABC的面積S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案為：21．12.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成角時，AB與b成角；②當直線AB與a成角時，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系．則，，直線的方向單位向量，．點起始坐標為，直線的方向單位向量，．設(shè)點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，．那么在運動過程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為，.當與夾角為時，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時與夾角為．∴②正確，①錯誤．

13.已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣x），當f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時，則a的取值范圍是．參考答案：（0，1）【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）=lna+a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍．【解答】解：f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域為（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；若a＞0，則當x∈（0，）時，f′（x）＞0，當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）的最大值為f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴l(xiāng)na+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）=0，∴當0＜a＜1時，g（a）＜0，當a＞1時，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1），故答案為：（0，1）．【點評】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．14.已知，，，若，則

．參考答案：已知，，,若,則則.故答案為：.

15.函數(shù)的定義域是 。參考答案：16.若圓：x2＋y2－4x＋8＝0，直線l1過點(－1，0)且與直線l2：2x－y＝0垂直，則直線l1截圓所得的弦長為

參考答案：17.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，，E為線段BC的中點，F(xiàn)為線段PA上的一點.（1）證明：平面PAE⊥平面BCP.（2）若，二面角的余弦值為，求PD與平面BDF所成角的正弦值.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設(shè)，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設(shè)與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設(shè)，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設(shè)，以為坐標原點，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設(shè)平面的法向量為，由，，得，不妨設(shè)，得.又，，所以.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【點睛】用向量法求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.19.某省高中男生升高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布N，現(xiàn)從該省某高校三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[157.5，162.5]，第二組[162.5，167.5]，…，第六組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）求該學校高三年級男生的平均身高；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；（3）從被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，記該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出該校高三年級男生平均身高．（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，由此能求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)．（3）由題意隨機變量ξ可取0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的數(shù)學期望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該校高三年級男生平均身高為：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5．（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，人數(shù)為0.2×50=10，即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)為10人．（3）∵P=0.9974，∴P（ξ≥182.5）==0.0013，而0.0013×100000=130，∴全省前130名身高在182.5cm以上，這50人中182.5cm以上的有5人，隨機變量ξ可取0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，E（ξ）==1．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．20.如圖，四棱錐中，底面為菱形，，是的中點.（1）若，求證：；（2）若平面，且點在線段上，試確定點的位置，使二面角的大小為，并求出的值.

參考答案：（1）略（2）解析：（1），為的中點，，又底面為菱形，，,又平面，又平面,平面平面;----------------6分（2）平面平面,平面平面,平面.以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系如圖.則,設(shè)(),所以，平面的一個法向量是，設(shè)平面的一個法向量為，所以取，-----------------------------------------9分由二面角大小為，可得：，解得，此時--------------------------------12分

略21.已知是正實數(shù)，設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在，使且成立，求的取值范圍。參考答案：

（iii）當，即時，單調(diào)遞減。當