第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式

例1已知x>0,求x+4的最小值.

X

分析：求x最小值，就是要求一個No=A：o+—,使Vx>0,都有x+’N%.觀

察x+工，發(fā)現(xiàn)=1.聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù)X和1的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均

XXX

數(shù)的關(guān)系得到%=2.

解：因為x>0,所以無zJx+L=2,

x\x

當(dāng)且僅當(dāng)彳=,，即f=l，x=l時，等號成立，因此所求的最小值為2.

x

例2已知x,y都是正數(shù)，求證：

（1）如果積個等于定值p,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2戶；

（2）如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)x=y時，積v有最大值一S?

4

證明：因為尤，y都是正數(shù)，所以三上2歷.

（1）當(dāng)積呼等于定值P時，,

2

所以x+y>2\[p,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，上式等號成立.于是，當(dāng)x=y時;和x+y有最小值26.

__s

（2）當(dāng)和x+y等于定值s時，向《5，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，上式等號成立.于是，當(dāng)x=y時，積肛有最大值Is?.

4

例3（1）用籬笆圍一個面積為lOOn?的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬

笆最短？最短籬笆的長度是多少？

（2）用一段長為36加的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面

積最大？最大面積是多少？

分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定

值，邊長多大時周長最短.

(2)矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定

值，邊長多大時面積最大.

解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為x，"，ym,籬笆的長度為2(x+y)m.

(1)由已知得孫=100.

由守之而，

可得x+y?25y=20,

所以2(x+〉)240,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為10機的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40〃?.

(2)由已知得2(x+y)=36,矩形菜園的面積為孫m?.

,I-/X+y18

由J孫4——-=—=9,

"22

可得盯481,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為9〃?的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81m2.

例4某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800，深為3加如果池底每平方

米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？

最低總造價是多少？

分析：貯水池呈長方體形，它的高是3,〃，池底的邊長沒有確定.如果池底的邊長確定了，

那么水池的總造價也就確定了.因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低.

解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為力〃，ym,水池的總造價為z元.根據(jù)題意，

有

=150x—-——F120(2x3x+2x3y)

=240000+720(》+y).

由容積為4800n?，可得3肛=4800,

因此孫=1600.

所以z2240000+720x2歷，

當(dāng)x=y=40時，上式等號成立，此時z=297600.

所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40〃7的正方形時總造價最低，最低總造價是297600

元.

練習(xí)

1ainn八D七葉.丫

1.已知a、beR,求證：ab<---.

I2J

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用作差法可證明出所證不等式成立.

、4bn1(a+Z?丫iz"+2,cib+ba~—2ab+b~(a—

［r詳解1-----ab=-------------ab=------------=-----^->0,

L2J444

即必《學(xué)［

【點睛】本題考查利用作差法證明基本不等式的變形，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知乂丁都是正數(shù)，且

yx

求證：(1)—+—>2；

xy

(2)-<4xy.

尤+y

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】⑴由己知得￡>0—>0,運用基本不等式得上+土"匕土=2,可得證;

xyVxy

(2)由基本不等式得x+y22而，可得證.

【詳解】(1)x>0,)>0,/.->0,^>0,.-.2+->2---=2,由于當(dāng)且僅當(dāng)

X

2即工二y時取等號，但工工九因此不能取等號，?..2+2>2；

xyx)

,—2xy2xyi—

(2)x>0,y>0,而，?.?3=可募=4孫，當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時取等

號，但xfy,因此不能取等號，，注<而.

x+y

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用于不等式的證明，在運用時注意滿足基本不等

式所需的條件：“一正二定三相等“，屬于基礎(chǔ)題.

3.當(dāng)X取什么值時，/取得最小值？最小值是多少？

x~

【答案】x=l或-1時，f+4取得最小值，最小值為2.

x

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求出X2+4的最小值，利用等號成立的條件求出對應(yīng)的X的值,

廠

從而可得出結(jié)論.

【詳解】?.-X2+^>2.L2.4=2,當(dāng)且僅當(dāng)即％=±1時等號成立.

xVX"X

所以，當(dāng)x=l或-1時，/+」取得最小值，最小值為2.

x~

【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在應(yīng)用基本不等式時，要注意“一正二

定三相等”三個條件的成立，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知-IWXWI,求1一V的最大值.

【答案】1

【解析】

【分析】

分x=±l和-1<X<1兩種情況討論，在T<x<l時，將代數(shù)式變形為

l-x2=(l-x)(l+x),利用基本不等式的變形可求出1-爐的最大值，綜合可得出結(jié)

論.

【詳解】當(dāng)入=±1時，1一Y=0

當(dāng)-Ivxvl時，l-x>0,14-x>0,

%1+x

.-.l-x2=(l-x)(l+x)<0-)+()=1,

當(dāng)且僅當(dāng)l+x=l—X,即x=()時取等號.

.?.1-犬2的最大值為1,此時x=0.

【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在應(yīng)用基本不等式時，要注意“一正二

定三相等”三個條件的成立，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知直角三角形的面積等于50cm2,當(dāng)兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直

角邊的和最小？最小值是多少？

【答案】20

【解析】

【分析】設(shè)兩條直角邊分別為工,丁，然后表示三角形的面積，最后根據(jù)基本不等式

x+y>2y[^,求兩條直角邊的和.

【詳解】解：設(shè)三角形兩直角邊分別為了,九則面積S=g肛=50,所以孫=100,

故x+y22而=20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時，取等號.

所以，當(dāng)直角三角形直角邊都為10時，兩條直角邊的和最小為20.

練習(xí)

6.用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？

【答案】矩形的一邊長為5cm時，面積最大.

【解析】

【分析】

設(shè)該矩形的長、寬分別為。，b,由題中條件，得到a+b=10,利用基本不等式，即

可求出面積的最大值.

【詳解】設(shè)該矩形的長、寬分別為a,b,則a+b=10,

故該矩形的面積為S==25,

I2J

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時，等號成立；

即矩形的一邊長為5cm時，面積最大為25.

【點睛】易錯點睛：

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積

的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取

等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

7.用一段長為3(加的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18〃?.當(dāng)這個矩形的

邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

【答案】當(dāng)矩形菜園平行于墻的一邊的長為15cm,與之相鄰的邊的長為時，

2

菜園的面積最大，最大面積是彳，〃2

【解析】

【分析】

設(shè)矩形菜園平行于墻的一邊的長為XW,與之相鄰的邊的長為刈，由題意得出

x+2y=20,利用基本不等式可求出菜園面積的最大值，利用等號成立的條件可求

出矩形的邊長，進而可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)矩形菜園平行于墻的一邊的長為劉〃，與之相鄰的邊的長為照,菜園的

面積為5加，

則x+2y=30,S=xy.

由基本不等式得S===-x—=—.

2-22^2^242

當(dāng)x=2y,即x=15,y時，菜園的面積最大，最大面積是

因此，當(dāng)矩形菜園平行于墻的一邊的長為15cm,與之相鄰的邊的長為=時，菜

2

園的面積最大，最大面積是彳，療.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時，要結(jié)合定值條件對所

求代數(shù)式進行合理配湊，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

8.做一個體積為32加3,高為2加的長方形紙盒，底面的長與寬分別取什么值時用紙最

少？

【答案】底面的長與寬都為4時用紙最少.

【解析】

【分析】設(shè)底面的長為X,則寬為在，然后要使用紙最少，只需表示出表面積，利

2x

用基本不等式求出最值即可.

【詳解】設(shè)底面的長為X,寬為H，S=2（2X+16+2*，）=32+4[X+，]N64

當(dāng)且僅當(dāng)X=3,X=4時，用紙最少為64.

x

底面的長與寬都為4時用紙最少.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的

應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知一個矩形的周長為36cm,矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱.當(dāng)矩形的

邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？

【答案】矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

【解析】

【分析】首先設(shè)矩形的長為。，寬為b,根據(jù)矩形的周長可以得到。=18-”，再寫

出旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積表達式，利用基本不等式即可求得側(cè)面積的最大值，由

此可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)矩形的長為寬為。，

?.?矩形的周長為36,，2（a+Z?）=36,.?"=18—a,

而旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為萬(奶=乃。(18-<7)〈萬x"(7~~—=81萬，

當(dāng)且僅當(dāng)a=18-a,即a=8=9時等號成立.

當(dāng)矩形的長、寬均為9時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

答：矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

習(xí)題2.2

復(fù)習(xí)鞏固

10.(1)已知x>l,求x+」一的最小值；

x-1

(2)求Jx(10-x)的最大值.

【答案】(1)3；(2)5.

【解析】

【分析】(1)首先變形為y=x-1+」二+1,再利用基本不等式求最值；(2)首先求

X-1

函數(shù)的定義域，再利用基本不等式求最大值.

【詳解】(1)Qx>1,x-1>0,x+—L=(x-1)+—+l>2.(x-l)--+1=3,

X—1X—1\X—1

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=一［時，即當(dāng)x=2時等號成立，，x+—1的最小值為3;

x-\x-\

(2)由x(10-x)N0知OWIO.

當(dāng)x=0或10時，7xio-x)=o；

當(dāng)0<x<10時，l0-x>0,由基本不等式可得Jx(10-x)4；=5.

當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即當(dāng)x=5時等號成立.

綜上，Jx(lO-x)的最大值為5.

【點睛】本題考查基本不等式求最值，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題

型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.

11.(1)把36寫成兩個正數(shù)的積，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？

(2)把18寫成兩個正數(shù)的和，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？

【答案】(I)a=b=6時，它們的和最小，為12；(2)a=b=9時，它們的積最大，為

81

【解析】

【分析】（1）兩個正數(shù)的積為定值，則和有最小值，由基本不等式可得；

（2）兩個正數(shù)的和為定值，則積有最大值，由基本不等式可得.

【詳解】設(shè)兩個正數(shù)為a,b

（1）ah=36,+=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6等號成立，

即。=。=6時,它們的和最小,為12.

（2）o+b=18,則他4@^廠=81當(dāng)且僅當(dāng)。=。=9等號成立

4

即“=/尸9時，它們的積最大，為81.

【點睛】本題考查基本不等式求最值.即兩個正數(shù)，積為定值時和有最小值，和為

定值時積有最大值，都是當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等時取得最值.

12.某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2,房屋正面每平方米的造

價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元，如果墻

高為3加，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最

低總造價是多少？

【答案】當(dāng)房屋的正面邊長為8〃?，側(cè)面邊長為6機時，房屋總造價最低，為63400

元.

【解析】

【分析】

設(shè)房屋的正面邊長為xm,側(cè)面邊長為丁根，總造價為z元，由題意得出孫=48,然

后根據(jù)題意得出z關(guān)于x的函數(shù)表達式，利用基本不等式可求出z的最小值，利用等

號求出對應(yīng)的x值，綜合可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)房屋的正面邊長為皿，側(cè)面邊長為總造價為z元，則孫=48,即

48

z=3x.1200+6y.800+5800=3600x+57600x4+5800>2J3600.r-5760°、4+

580Q

XX

=63400.

當(dāng)3600x=-----------時，即當(dāng)x=8時，z有最小值，最低總造價為63400元.

x

答：當(dāng)房屋的正面邊長為8根，側(cè)面邊長為6加時，房屋總造價最低，為63400元.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時，要注意等號成立的條

件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

綜合運用

13.已知％、丁、z都是正數(shù),求證：(x+y)(〉+z)(z+x)28平.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由基本不等式可得出x+y22/五，y+z>2yfyz,z+x>2y[zx,然后利用不等式

的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】x>0,y>0,z>0,由基本不等式可得x+y22A,y+z>2y[yz,

z+x>2y[zx,

由不等式的性質(zhì)可得(x+y)(y+z)(z+x)227^?27S-2V^=8j^z,

當(dāng)且僅當(dāng)x=〉=z時等號成立.

【點睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理

能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知x>0,求證：2—3%—的最大值是2-46.

x

【答案】見解析

【解析】

【分析】

利用基本不等式與不等式的性質(zhì)可證明出結(jié)論.

【詳解】?.?1>0,由基本不等式可得

2-3x--=2-f3x+-|<2-2J3%--=2-473,

x\x)Vx

當(dāng)且僅當(dāng)3x=&時，即當(dāng)叵時，等號成立,

x3

因此，2-3%-±的最大值是2-4VL

X

【點睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在應(yīng)用基本不等式時，要注意

“一正二定三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每

月土地占地費必（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：k篦）成反比，每

月庫存貨物費丫2（單位：萬元）與X成正比；若在距離車站10k九處建倉庫，則弘

和內(nèi)分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉建在距離車站多少千米處，才能使

兩項費用之和最??？

【答案】5km

【解析】

【分析】

k

設(shè)必=一，%=狀，根據(jù)題中信息求出A和2的值，進而可得出兩項費用之和Z關(guān)于

X

X的表達式，利用基本不等式可求出Z的最小值，由等號成立求出對應(yīng)的X值，進而

可得出結(jié)論.

kk

【詳解】設(shè)y=—，％=優(yōu)，當(dāng)x=10時，x=二=2,%==8,："=20,1=0.8，

x10

.?.凹=個，%=0?8x,.?.兩項費用之和為z=x+y2=2+0.8xN2^^Z^=8.

當(dāng)且僅當(dāng)'20=0.8x時，即當(dāng)x=5時等號成立.

x

即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站5Am處，才能使兩項費用之和最小，且最小費用為8

萬元.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在運用基本不等式求最值時，充分利用“積

定和最小，和定積最大”的思想求解，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

拓廣探索

16.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，

售貨員先將5g的硅碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平

衡；再將5g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平

衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是小于10g,等于

10g,還是大于10g?為什么？

【答案】大于10g,理由見解析

【解析】

【分析】

設(shè)天平的左臂長為“，右臂長。，則疝b,售貨員現(xiàn)將5g的祛碼放在左盤，將黃金

xg放在右盤使之平衡；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金yg放在左盤使之

平衡，則顧客實際所得黃金為x+y(g),利用杠桿原理和基本不等式的性質(zhì)即可得

出結(jié)論.

【詳解】由于天平兩臂不等長，可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為。，則球b9

再設(shè)先稱得黃金為xg,后稱得黃金為yg,則云=5a,ay=5b,=

b

5b

y=—

a

5a5b5f-+-l>5x2.

:.x+y=—+—上2=io,

baaJba

ah

當(dāng)且僅當(dāng);=2,即。=匕時等號成立，但標(biāo)b,等號不成立，即x+y>10.

ba

因此，顧客購得的黃金大于10g.

【點睛】本題考查了利用基