本文來源：網(wǎng)絡(luò)收集與整理|word可編輯高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)1/2本文來源：網(wǎng)絡(luò)收集與整理|word可編輯高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)高二數(shù)學選修2－1知識點第一章常用邏輯用語1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“”.4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“”.5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真假真假真真假假真假假真假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第1頁。特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第1頁。10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．第三章空間向量與立體幾何22、空間向量的概念：1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．2向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．，記作．3向量的大小稱為向量的模（或長度）4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量23、空間向量的加法和減法：稱為相等向量．1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第2頁。8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第2頁。當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．1求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，以起點的對角線C就是a與b的和，這種求向量和方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．則的2求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角法則．即：在空間任取一點，作a，b，形則高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第3頁。第1頁共3頁高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第3頁。ab．24、實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當0時，a與a方向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長度是a的長度的倍．2aba與b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．a(chǎn)b25、設(shè)，為實數(shù)，a，b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律．分配律：abab；結(jié)合律：aa．35、向量數(shù)乘積的運算律：1abba；2ababab；3abcacbc．26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．36、若i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，bb0，a//b的充要條件是存在實數(shù)，高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第4頁。使得pxiyjzk，稱xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第4頁。37、空間向量基本定理：若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)組x,y,z，使得pxaybzc．使ab．28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．29、向量共面定理：空間一點位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使xyC；或?qū)臻g任一定點，有xyC；或若四點，，，C共面，則xyzCxyz1．38、若三個向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．這個集合可看作是由向量a，b，c生成的，30、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點，作a，b，則稱為向量a，b的夾角，記作a,b．兩個向量夾角的取值范圍是：a,b0,．31、對于兩個非零向量a和b，若a,b，則向量a，b互相垂直，記作ab．2a,b稱為a，b的數(shù)量積，記作ab．即32、已知兩個非零向量a和b，則abcosababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．33、ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．a(chǎn),b,c稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第5頁。間的一個基底．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第5頁。39、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以e1，e2，e3的公共起點為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系xyz．則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標，記作px,y,z．此時，向量p的坐標是點在空間直角坐標系xyz中的坐標x,y,z．第2頁共3頁34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；bx,y,zaax,y,z140、設(shè)111，222，則bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．a(chǎn)nan0，aaa//nan．47、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b，則//a//bab，abab0．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．a(chǎn)aax12y12z12．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第6頁。xxyyzzab8cosa,b212221221222．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第6頁。abx1y1z1x2y2z248、設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有abcoscos．a(chǎn)b49、設(shè)直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，則ln有sincos．ln50、設(shè)n1，n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補角）n1n2就是二面角的平面角的大?。舳娼莑的平面角為，則cos．n1n251、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量的模計算．52、在直線l上找一點，過定點且垂直于直線l的向量為n，則定點到直線l的距離為ndcos,n．n53、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，n為平面的一個法向量，則點到平面的n距離為dcos,n．n79x1,y1,z1，x2,y2,z2，則d稱為點的位置向量．x2x1y2y1z2z1222．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第7頁。41、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向量高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第7頁。42、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點以及一個定方向確定．點是直線l上一點，向量a表示直線l的方向向量，則對于直線l上的任意一點，有ta，這樣點和向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點．43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使得xayb，這樣點與向量a，b就確定了平面的位置．44、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量．45、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//babR，ababab0．46、若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//第3頁共3頁擴展閱讀：人教版高中數(shù)學選修2-1知識點小結(jié)選修2-1知識點選修2-1高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第8頁。第一章常用邏輯用語高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第8頁。1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”：p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、若原命題為“若p，則q”，則它的逆命題為“若q，則p”.4、若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、若原命題為“若p，則q”，則它的逆否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．7、p是q的充要條件：pqp是q的充分不必要條件：pq，qpp是q的必要不充分條件：pq,qpp是q的既不充分不必要條件：pq,qp8、邏輯聯(lián)結(jié)詞：（1）用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．全真則真，有假則假。（2）用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．全假則假，有真則真。（2）對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．真假性相反9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第9頁。全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第9頁。特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．例：“a=1”是“x0,2xa1”的（）xA．充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第二章圓錐曲線與方程1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點在y軸上焦點的位置焦點在x軸上圖形標準方程范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率xy1ab022abaxa且byb1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,02222yx1ab022abbxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c短軸的長2b長軸的長2aF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點對稱cb2e120e1aa3、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．4、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點在y軸上焦點的位置焦點在x軸上圖形標準方程范圍頂點軸長焦點焦距高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第10頁。y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,cx2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0虛軸的長2b實軸的長2aF1F22cc2a2b2對稱性離心率漸近線方程關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱cb2e12e1aabaxyxab5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．6、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第10頁。7、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的y“通徑”，即2p．8、焦半徑公式：p；2p若點x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點為F，則Fx0；2p若點x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點為F，則Fy0；2p若點x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點為F，則Fy0．29、拋物線的幾何性質(zhì)：y22pxy22pxx22pyx22py標準方程p0p0p0p0若點x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點為F，則Fx0圖形頂點0,0x軸pF,02pF,02pF0,2對稱軸y軸pF0,2焦點準線方程xp2xp2yp2yp2離心率e1范圍x0x0y0y0解題注意點：1、“回歸定義”是一種重要的解題策略。如：（1）在求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的焦點三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形（一般是余弦定理）的知識來解決；（3）在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決。2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第11頁。（1）有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點的個數(shù)問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程（注意在和雙曲線和拋物線方程聯(lián)立時二次項系數(shù)是否為0）,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是0、0、0.高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第11頁。應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合(例如雙曲線中，利用直線斜率與漸近線的斜率之間的關(guān)系考查直線與雙曲線的位置關(guān)系)常見方法：①聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，利用韋達定理等；②點差法（主要適用中點問題，設(shè)而不求，注意需檢驗，化簡依據(jù)：x1x2yy2yy2x0,12y0,21k）22x2x1（2）有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及韋達定理來解決；（注意斜率是否存在）①直線具有斜率k，兩個交點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)2AB1k2x1x2(1k2)(xx)4x1x21211y1y22k②直線斜率不存在,則ABy1y2.（3）有關(guān)對稱垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及韋達定理，設(shè)而不求，簡化運算。考查三個方面：A存在性（相交）；B中點；C垂直（k1k21）注:1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2.當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法.3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第12頁。4.注意向量在解析幾何中的應(yīng)用（數(shù)量積解決垂直、距離、夾角等）高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第12頁。（4）求曲線軌跡常見做法：定義法、直接法（步驟：建設(shè)現(xiàn)（限）代化）、代入法（利用動點與已知軌跡上動點之間的關(guān)系）、點差法（適用求弦中點軌跡）、參數(shù)法、交軌法等。例1.已知定點F1(3,0),F2(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是（答：C）；A．PF1PF24B．PF1PF26C．PF1PF210D．PF1例2已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且F1PF260，2PF2212SPF1F2x2y2123．求該雙曲線的標準方程（答：1）412例3已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若由焦點到直線的距離為3.（1）求橢圓分方程；（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點M,N，當|AM|=|AN|時，求m的取值x21范圍。（答：y21;m(,2)）32y2例4過點A（2，1）的直線與雙曲線x1相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡22方程。第三章空間向量與立體幾何bx,y,zay2y1,z2z．a(chǎn)x,y,z11、空間向量及其運算設(shè)則bx1x111，222，2,12abx1x2,y1y2,z1z2．3ax1,y1,z1．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第13頁。4abx1x2y1y2z1z2．高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)全文共15頁，當前為第13頁。5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．a(chǎn)aax12y12z12．x1x2y1y2z1z2abcosa,b8．222222abx1y1z1x2y2z279x1,y1,z1，x2,y2,z2，則dx2x1y2y1z2z1222．（10）共面向量定理：p,a,b共面pxayb(x,yR)；APxAByACP、A、B、C四點共面OPOAxAByACOPxOAyOBzOC(其中xyz1)（