§1§2電子的自旋電子的自旋算符和自旋波函數(shù)§3§4簡單塞曼效應(yīng)兩個角動量耦合§5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)§6全同粒子的特性§7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理§8兩電子自旋波函數(shù)§9氦原子（微擾法）第六章自旋與全同粒子（一）Stern-Gerlach

實(shí)驗(yàn)(二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)（三）電子自旋假設(shè)（四）回轉(zhuǎn)磁比率§1

電子的自旋（一）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）N當(dāng)一狹窄的S態(tài)銀原子束通過非均勻磁場后，分為兩束。見下圖S準(zhǔn)直屏原子爐接收屏（1）實(shí)驗(yàn)描述：（2）結(jié)論I.銀原子有磁矩因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)II.銀原子磁矩只有兩種取向即空間量子化的磁

鐵S態(tài)的銀原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。（3）討論Z

設(shè)原子磁矩為M，外磁場為B，B則原子在向外場中的勢能為：磁矩與磁場之夾角U

=

-M

?B

=

-MBz

cosq原子

Z

向受力cosqzz=

M?z

?z?U

?BF

=

-分析若原子磁矩可任意取向，則

cos

q

可在 （-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)

cos

q

=

-1

和

+1

，處于

S

態(tài)的氫原子

=0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s5893?3p3/2D1

3p1/2D258

5896

90?

?3s1/2鈉原子光譜中的一條亮黃線

l

?

5893?，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成。其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的

自旋才能得到解釋（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)Uhlenbeck和Goudsmit

1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)（1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：S

Sz

=

–

2（2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為：-

e

MS

=

mc

S自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：BS

z=

–MM

=

–2mceBo(hCr

G磁S子)（三）電子自旋假設(shè)（1）電子回轉(zhuǎn)磁比率e

ML

=

-

2mc

L我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：eMS

zmc=

-Sz（2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：e2mc-可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍（四）回轉(zhuǎn)磁比率§2電子的自旋算符和自旋波函數(shù)（一）自旋算符（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（三）自旋算符的矩陣表示與

Pauli

矩陣（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（五）自旋波函數(shù)（六）力學(xué)量平均值自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。自旋角動量也是一個力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù)F?

=

F?(

?)r,

p而自旋角動量則與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量也是用一個算符描寫，記為S?自旋角動量軌道角動量異同點(diǎn)

?r

·

p不適用與坐標(biāo)、動量無關(guān)同是角動量滿足同樣的角動量對易關(guān)系（一）自旋算符SL?

?

???[

S?

x

,

S?

y

]

=

i

S?

z[

S?

y

,

S?

z

]

=

i

S?

x[

L?

x

,

L?

y

]

=

i

L?

z[

L?

y

,

L?

z

]

=

i

L?

xS

·

S

=

i

S?

?

?L

·

L

=

i

L自旋角動量軌道角動量[

L?

z

,

L?

x

]

=

i

L?

y

[

S?

z

,

S?

x

]

=

i

S?

y由于自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取

±/2

兩個值所以S?

S?

S?x

y

z的本征值都是±/2，其平方為[/2]2?2S算符的本征值是4x

y

zS?2

=

S?2

+

S?2

+

S?2

=

3

2仿照L2

=l(l

+1)22fi

s

=

1S2

=

s(s

+1)2

=

3

24自旋量子數(shù)

s只有一個數(shù)值因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動自由度，所以描寫電子運(yùn)動除了用(x,y,z)三個坐標(biāo)變量外，還需要一個自旋變量(SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：zY

=

Y

(

x

,

y

,

z

,

S

,

t

)22y

2

(

r

,

t

)

=

Y

(

x

,

y

,z

,-

,

t

)y

1

(

r,

t

)

=

Y

(

x

,

y

,

z

,+

,

t

)寫成列矩陣F

=

y

2

(

r

,

t

)

y

1

(

r

,

t

)

由于SZ

只取±/2兩個值，所以上式可寫為兩個分量：規(guī)定列矩陣第一行對應(yīng)于Sz

=/2，第二行對應(yīng)于Sz

=-/2。z

z若已知電子處于S =

/2或S =

-/2的

=

F

=

12F

-

121(

r

,

t

)

00自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：y

2

(

r

,

t

)

y（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（1）

SZ的矩陣形式電子自旋算符（如SZ）是作用與電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了

2×1

的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是

2×2

矩陣。

b

z

2

c

dS

=

a因?yàn)棣?/2

描寫的態(tài)，SZ有確定值/2，所以Φ1/2

是SZ

的本征態(tài)，本征值為/2，即有：1222SzF

1

=

F矩陣形式

=

0

2

0

2

c d

ab

y

1(r,

t)

y

1(r,

t)

1

y1

=

cy

0ay1

=

1=

0

c

a同理對Φ–1/2

處理，有

=

-00

a b

2

y

2

(r

,

t)

2

c d

y

2

(r

,

t)

=

-

0

dy

2

y

2

by

2

d

=

-1b

=

0最后得

SZ的矩陣形式0

zS

=

1

2

0

-

1SZ

是對角矩陣，對角矩陣元是其本征值±/2。（三）自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣（2）Pauli算符1.

Pauli

算符的引進(jìn)s2

??S

=令==zzyyxx

S

=

S

S222

s

s

s分量形式?

?

?s

·

s

=

2

is?

?

?S

·

S

=

i

S對易關(guān)系：因?yàn)镾x,Sy,Sz的本征值都是/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2

的本征值都是1。即：s

2

=s

2

=s

2

=1x

y

zyx

zz

x=

2

is?s?-

s?

s?

s?-

s?

z

s?

y

=

2

is?

x

s?

y

s?

z-

s?

y

s?

x

=

2

is?

z

s?

x

s?

y分量形式：2.反對易關(guān)系基于σ的對易關(guān)系，可以證明

σ各分量之間滿足反對易關(guān)系:z

x

x

zs?+

s?

s?

s?

s?

y

s?

z+

s?

y

s?

x

=

0+

s?

z

s?

y

=

0=

0

s?

x

s?

y證：我們從對易關(guān)系:s?

y

s?

z

-

s?

zs?

y

=

2

is?

x出發(fā)左乘σyy

z

y

y

xy

y

zs?

s?

s?-

s?

s?

s?

=

2

is?

s?2s?

y

s?

z-

s?

ys?

zs?

y

=

2

is?

ys?

xs?

z

-s?

ys?

zs?

y

=

2is?

ys?

x右乘σyx

yy

z

y

z

y?

?s?

s?

s?2=

2is

s-s?

s?s?

ys?zs?

y

-s?z

=

2is?

xs?

y二式相加+

s?

ys?

x

=

0s?

xs?

ys?

xs?

y=

-s?

ys?

x或同理可證:x, y分量的反對易關(guān)系亦成立.

[證畢]由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于

Pauli

算符的如下非常有用性質(zhì)：yx

zz

xyy=

i

s?s?=

-

s?

s?

s?=

-

s?

z

s?y

s?

z

s?=

i

s?

z=

i

s?

xy

s?

x=

-

s?

s?

x

s?yσ

2=13.Pauli算符的矩陣形式根據(jù)定義

0

-1

1 0

=0

-11 0

zz2

z=

S

=s?2

s?求

Pauli

算符的

其他兩個分量令=

c

da

bxs?利用反對易關(guān)系x

zz

xs?

s?=

-s?

s?

=-

d

0

-1

0

-1

c

d

cb

a

b

1 0

1 0

a得：

a b

-a

=

-c

-d

-c

d

d

=0b

a

=0σX

簡化為：

c

0

bs

x

=

0

0

2

=c*

c

0

c0

c*

0xs

=2

00

|

c

||

c

|2=

I

|

c

|2

=

1令：c=exp[iα](α為實(shí)），則

0s

=iaxe

0e-ia

由力學(xué)量算符厄密性

=

=

*

0

c

0bc

00

b+

0

c*

0

bs?+

=s?

x

x得：b=c*(或c=b*)

0

c

0

c*

s

x

=

σx2

=

I求σy

的矩陣形式由

is?

y

=

s?

zs?

x

s?

y

=

-

is?

zs?

x

出發(fā)

0

-

1

1

0

0ia

ee

-

ia0得：s

y

=-i

00e-ia

-eia=

-i

這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取α=0，于是得到

Pauli

算符的矩陣形式為：

0

-1

1 0

01

0

1zyxi

0

0

-

i

s

=s

=s

=從自旋算符與

Pauli

矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：0

2

0

-12

1

0

1

0

S

=0

z2

i1

-

i

S

=0

ySx

=寫成矩陣形式（1）歸一化電子波函數(shù)表示成F

=

y

2

(r

,

t

)y

1

(r

,

t

)

矩陣形式后，ydt

F

+F

dt

=

(yy

(r

,

t

)y

2

(r

,

t

)1*

)

*1

2波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即21=[|y

|2

+

|y

|2

]dt

=

1（2）幾率密度+w

(r

,

t

)

=

F22F

=|y

1

|

+

|y

2

|

=

w

1

(r

,

t

)

+

w

2

(r

,

t

)表示t

時刻在

r 點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示t時刻r點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋

Sz=/2的電子的幾率表示t時刻r

點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋

Sz

=

–/2的電子的幾率w

(r

,

t

)dt1在全空間找到Sz

=/2的電子的幾率

w

2

(r

,

t

)dt在全空間找到Sz

=–/2

的電子的幾率（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度波函數(shù)

2

F

=

y

y

1

是

的本征函數(shù)，稱為自旋波函數(shù)S?z其中

c(

Sz

)這是因?yàn)?，通常自旋和軌道運(yùn)動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運(yùn)動有影響。但是，當(dāng)這種相互作用很小時，可以將其忽略，則ψ1

,ψ2

對(x,y,z)的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時Φ可以寫成如下形式：y

(

r

,

Sz

,

t

)

=y

(r

,

t

)c(

Sz

)求：自旋波函數(shù)χ(Sz)ZS

的本征方程2zz

zS?

c(S

)

=

–

c(S

)令2

和-

的自旋波函數(shù)，即2

2-

2c

1

(Sz

)和c

1

(Sz

)分別為本征值2-

21-

21221

1zzzzz

z(

S

)

=

-c

(

S

)

S?

c2

S?

c

(

S

)

=

c

(

S

)一般情況下，ψ1

≠ψ2，二者對

(x,y,z)的依賴是不一樣的。（五）自旋波函數(shù)因?yàn)?/p>

Sz

是

2

×2

矩陣，所以在

S2,

Sz

為對角矩陣的表象內(nèi)，χ1/2,χ-1/2都應(yīng)是

2×1

的列矩陣。

4

31-

2112aa

a2

ac

=c

=代入本征方程得：

0

=2

0

-

1

a

2

2

a

2

a

1

a

1

1

2

2

=

0

2

=

-

a

a

a

a

1

a

1

a

1

=

a

1由歸一化條件確定a10111*1

0

=1

|

a

|=1

a

=1a(a

)所以

1

2二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交21

0

1

+-

2c

1

=

(0

1)

=

0c

02c-

1

=

1c

1

=

同理0引進(jìn)自旋后，任一自旋算符的函數(shù)

G

在

Sz

表象表示為2×2矩陣

G21

G22

11

G12

GG

=

算符

G

在任意態(tài)Φ中對自旋求平均的平均值

21 22

2

1+

?

yF

=

(y

y

2

)G

GG12

y

1

*

*

G11G

=

F

G2

22

21

1=

(y

1

y

2

)*

*G

y

+

G

y

G11y

1

+

G12y

2

**1

11

1*G

y

+y

G

y2

21

1

2

22

2+y

*G

y

+y1

12

2=y

G

y算符

G

在

Φ

態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時求平均的平均值是：G

=

F

GF

dt+

?dtG

G

y

21 22

2

G12

y

1

G11*

*=

(y

1

y

2

)y

]dt[y

G

y*2

22

2*2

21

1*1

12

2*1

11

1y

+y

G+y

G+y

G

y=（六）力學(xué)量平均值課外思考題1.自旋可在坐標(biāo)空間中表示嗎？它與軌道角動量性質(zhì)上有何差異？它們的含義是什么？3.對于自旋為1/2的粒子，是否存在態(tài)在其中

？

2.電子的本征態(tài)常被寫為：a

=

0

1

0b

=

1

a

c

=

bSx

=

S

y

=

Sz

=

0§3

簡單塞曼效應(yīng)（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（二）氫、類氫原子在外場中的附加能（三）求解

Schrodinger

方程（四）簡單塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象。該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先 觀察到簡單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場作用下，光譜線的分裂 現(xiàn)象。復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場較弱，軌道-自旋相互作 用不能忽略時，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象取外磁場方向沿Z

向，則磁場引起的附加能（CGS制）為：eSL(

?

?

L

+

2S

)

?B?

?U

=

-(

M

+

M

)

?B

=2mc磁場沿

Z向e(

L?z

+

2S?z

)B=2mc（二）Schrodinger

方程考慮強(qiáng)磁場忽略自旋-軌道相互作用，體系Schrodinger

方程：-Y

=

EYeBz?

?2+V

(r

)

+

(

Lz

+

2S

)2mc2m2（二）氫、類氫原子在外場中的附加能根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：

2

0

22=

yy

1

Y

=y

1

c

1

=

0

或

Y

=y

2

c-

1代入S—方程

-??2y

1

y

1

2m

=

E

0

0+

2S

)(

L2mceB+V

(r

)

+zz2

=

0

2

0

?

y

1

y

1

zS因?yàn)?/p>

00?2y

1

y

1

-2m=

E(

L2mceB+V

(r

)

+z+

)2所

以最后得y1滿足的方程112?2mceBzy

=

Ey+V

(r)

+

(L

-2m+

)2同理得y2滿足的方程222?2mceBz=

Ey+V

(r

)

+

-2m(L

-

)

y2（1）當(dāng)B=0

時（無外場），是有心力場問題，方程退化為不考慮自旋時的情況。其解為：=y

nlmy

1

=y

2

=

Rnl

(r

)Ylm

(J

,j

)I。對氫原子情況e2Enme4=

-

22

n2V

(r

)

=

-rII。對類氫原子情況如Li，Na，……等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽作用，此時能級不僅與n

有關(guān)，而且與

有關(guān)，記為E

n則有心力場方程可寫為：+V

(r

)

y

nlm

=

Ey

nlm

-2m22（三）求解

Schrodinger 方程由于L?zy

nlm

=

L?zRnl

(r

)Ylm

(J

,j

)

=

Rnl

(r

)L?zYlm

(J

,j

)=

mRnl

(r

)Ylm

(J

,j

)

=

my

nlm（2）當(dāng)B?0

時（有外場）時所以在外磁場下，yn

m仍為方程的解，此時nlmnlmzeBy

=

Ey?2mc+V

(r)

+

(L

-2m2+

)2eB

-2mc2m2

+V

(r)

y

+nlm(m

+

)y

nlm

=

Ey

nlm2nlm

nlmnl

nlmE

y2mc+

eB

(m

+

1)y

=

Ey2znlfor

S

=

E

=

E

+

eB

(m

+

1)2mc同理2znlfor

S

=

-

E

=

E

+

eB

(m-1)2mc22znlfor

Sz

=

-(m

-

1)eBE

+nlfor

S

=

+

eB

(m

+

1)EEnlm

=

2mc2mc分析能級公式可知：在外磁場下，能級與

n,

l,

m

有關(guān)。原來

m

不 同能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于S

態(tài)時，l=0,m=0

的原能級En

l

分裂為二。22zn0(

Sz

=

-

)E

-n0(

S

=

)+

eBEEnlm

=

En00

=

2mc2mceB這正是Stern—Gerlach

實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。（四）簡單塞曼效應(yīng)（3）光譜線分裂2p1sSz=

/2Sz=

-

/2m+10-

1m+10-

100(a)

無外磁場(b)

有外磁場I。

B

=

0

無外磁場時電子從

En

到

En’

’

的躍遷的譜線頻率為：0=

Enl

-

En'l

'wII。

B

?

0

有外磁場時w

=

Enlm

-

En'l

'm'1

(m'–1)(m

–

1)

-

E

+=

E

+n'l

'nleB2mceB2mc=

Enl

-

En'l

'2mc+

eB

(m

–

m')=

w0+

eB

Dm根據(jù)上一章選擇定則可知，(Dl

=

–1)Dm

=

0,–1所以譜線角頻率可取三值：2mcw

-2mc2mc0w

=

w

0w0eB+

eB無磁場時的一條譜線被分裂成三條譜線Sz=/2

時，取+；Sz=-/2

時，取-。我們已分別討論過了只有L

和只有S

的情況，忽略了二者之間的相互作用，實(shí)際上，在二者都存在的情況下，就必須同時考慮軌道角動量和自旋，也就是說，需要研究L與S的耦合問題。下面我們普遍討論一下兩個角動量的耦合問題。（一）總角動量（二）耦合表象和無耦合表象§4

兩個角動量耦合設(shè)有

J1, J2

兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關(guān)系：?

?

?

?

?

?J1

·

J1

=

iJ1

J2

·

J2

=

iJ2因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動量，所以相互對易，即J

2

=

0

J

1

,?

?其分量對易關(guān)系可寫為yxzxzyzyx[J,?[J?

,J?J?

J?[J?

,]=

iJ?]=

iJ?]=

iJ?證：x

y1x

2x

1y

2yJ??

?J

+J?

,[J?

,

J

]=[2y2x1y2x2y1x1y1xJ?J?,?

J?

??

J?]+[J?

,

],

]+[J

,

]+[J+J?

]

=[J2z1z+0+0+iJ?=iJ?z)

=iJ?1z

2z=i(J?

+J?同理，對其他分量成立。

[證畢]（1）二角動量之和J

J1

J2?

?

?=

+構(gòu)成總角動量（一）總角動量(2)J?2

,?J

=

0證：]

[]xx

y

zx??2

22[J?2,

JJ

+J

,

J=

J

+x

z

xx

yxJ[

]

[

]

[J

,

J?

]?

?

?

??222+

J

,

J

+?

?

?

=

J

,y

y

x

y

x

y

z

z

x

z

x

z?

??

?

?

?

?

?J

,

J

+

J

,

J

+J

[J

,

J?

]+[J?

,

J?

]J?=0+J

[

]

[

J

]=

-iJ?yJ?z

-

iJ?z

J?y

+

iJ?z

J?y

+

iJ?yJ?z=

0同理，對其他分量亦滿足。事實(shí)上這是意料之中的事，因?yàn)榉彩菨M足角動量定義J

J

J?

?

?·

=i的力學(xué)量都滿足如下對易關(guān)系：[J?

2

,

J?

]=

0a

=

x,

y,

za?2=

0

i

=

1,2(3)

[J?2

,

J

]i證：22

1221

1???2

?J1

?J

2

,

J

]2

+=

J

+

JJ?

2

]+

2[J?

J?

+

J?

J?

+

J?

J?

,

J?

2

]1

1x

2x

1y

2

y

1z

2z

1J?

2

]+

[J?

2

,1

2[J?

2

,

J

]

[=

[J?

2

,1J?1

]+

2[J?

J?

,

J?

]2

21

z

2

z

1J?1

]+

2[J?

J?

,21

y

2

y=

0

+

0

+

2[J?1

x

J?2

x

,=0上面最后一步證明中，使用了如下對易關(guān)系：??212121=[J?

J?

,

J

]=0=

J?

J?

,

J,

JJ?

J?

?1z

2z1y

2

y1x

2x同理可證2[J?

2

2

]=

0J?

成立。[證畢]由上面證明過程可以看出，若對易括號將

J12用J1代替，顯然有如下關(guān)系：

?

022

,2

,JJ?J

1

?

0

J???J?

J?

J?這是

J?因?yàn)?z

2z1y

2

y

1x

2x?

+

J?

+

J?

,

J1

?

0(4)

[J?z證：J?1

]+

[J?

,

J?

]2

22z

1i

=

1,2.J?1

]

=

[J?1z

,2=

0J?i

]=

02[J?z

,

J?1

]=

[J?1z

+

J?2z

,2同理?2=0[J?

,

J

]z

2亦成立。[證畢]所以這四個角動量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系。記為：綜合上述對易關(guān)系可知：四個角動量算符J?

2

,

J?

,

J?

2

,

J?z

1

22

兩兩對易（1）本征函數(shù)|

j1

,

j2

,

j,

m

>J?2

|

j1

,

j2

,

j,

m

>=

j(

j

+

1)2

|

j1

,

j2

,

j,

m

>J?z

|

j1

,

j2

,

j,

m

>=

m

|

j1

,j2

,

j,

m

>2

z21

z12

,

J?2

,

J?

,

J?J?也兩兩對易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為：|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>=|

j1

,

m1

>|

j2

,

m2

>耦合表象基矢非耦合表象基矢（二）耦合表象和無耦合表象由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：<

j1

,

m1

,

j2

,

m2

|

j1

,

j2

,

j,

m

>|

j1

,

j2

,

j,

m

>=

|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>m1m2稱為矢量耦合系數(shù)

或Clebsch-Gorldon

系數(shù)因?yàn)镴?z

=

J?

+

J?1z

2z所以有m

=

m

1

+

m

2<

j1,

m

-

m2

,

j2

,

m2

|

j1,

j2

,

j,

m

>于是上式求和只需對m2

進(jìn)行即可?？紤]到m1

=m-m2

，則上式可改寫為：|

j1,

j2

,

j,

m

>=

|

j1,

m

-

m2

,

j2

,

m2

>或：|

j1,

m1,

j2

,

m

-

m1

>

<

j1,

m1,

j2

,

m

-

m1

|

j1,

j2

,

j,

m

>m2|

j1,

j2

,

j,

m

>=

m1（2）C-G系數(shù)的么正性我們知道，兩個表象之間的么正變換有一個相位不定性，如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-G系數(shù)為實(shí)數(shù)。<

j1

,

j2

,

j￠,

m￠|

j1

,

m1

,

j2

,

m￠-

m1￠>

<

j1

,

m1

,

j2

,

m￠-

m1￠|<

j1

,

j2

,

j￠,

m￠|=

m1￠共軛式=

<

j1,

j2,

j￠,m|

j1,m1￠,

j2,m-m1￠>

<

j1,m1￠,

j2,m-m1￠|

j1,m1,

j2,m-m1

>m1￠

m1將上式左乘<j1

j2

j'

m'

|，并考慮正交歸一關(guān)系：式左

=<

j1

,

j2

,

j

,

m

|

j1

,

j2

,

j

,

m

>=

d

j￠jd

m

￠m1

1=

dm￠m對

m’

=

m,

dm’

m=1,

于是：j

￠j=

d將

|j1,m1,j2,m2>

用耦合表象基矢

|j1,j2,j,m>

展開：|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>C-G系數(shù)實(shí)數(shù)性<

j1,m1,

j2,m-m1

|

j1,

j2,

j,m

>=

<

j1,

j2,

j￠,m|

j1,m1,

j2,m-m1

>

<

j1,m1,

j2,m-m1

|

j1,

j2,

j,m

>m1=dj￠j1

2jmjm=

|

j1

,

j2

,

j,

m

><

j1

,

j2

,

j,

m

|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>jm=

|

j

,

j

,

j,

m

><j

,

m

,

j

,

m

|

j

,

j

,

j,

m

>*1

1

2

2

1

2=

|

j1

,

j2

,

j,

m

><j1

,

m1

,

j2

,

m2

|

j1

,

j2

,

j,

m

><

j1

,

m1

,

j2

,

m2

|

j1

,

j2

,

j,

m

>|

j1

,

j2

,

j,

m

>|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>=

jm共軛式<

j1

,

m1￠,

j2

,

m2￠|=

<

j1

,

m1￠,

j2

,

m2￠|

j1

,

j2

,

j￠,

m￠>

<

j1

,

j2

,

j￠,

m￠|j￠m￠左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交歸一性：dm

m￠dm

m￠

=<

j1

,

m1

,

j2

,

m2

|

j1

,

m1

,

j2

,

m2

>1

1

2

2=

<

j1,

m1￠,

j2

,

m2￠|

j1,

j2

,

j￠,

m￠>j￠m￠jm<

j1,

j2

,

j￠,

m￠|

j1,

j2

,

j,

m

><

j1,

m1,

j2

,

m2

|

j1,

j2

,

j,

m

>=

<

j1,

m1￠,

j2

,

m￠|2

j1,

j2

,

j￠,

m￠>djj￠dmm￠<

j1,

m1,

j2

,

m2

|

j1,

j2

,

j,

m

>j￠m￠jm=

<

j1,

m1￠,

j2

,

m￠2

|

j1,

j2

,

j,

m

>

<

j1,

m1,

j2

,

m2

|

j1,

j2

,

j,

m

>jm<

j1

,

m1

,

j2

,

m2

|

j1

,

j2

,

j,

m

><

j1

,

m1￠,

j2

,

m2

|

j1

,

j2

,

j,

m

>1

1dm

m￠

=

對

m2’

=

m2

情況,

得：jm考慮到上式兩個C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系：m2

=

m-

m’1

和

m2

=

m

-

m1最后得：1

1jm<

j1

,

m1￠,

j2

,

m

-

m1￠|

j1

,

j2

,

j,

m

><

j1

,

m1

,j2

,

m

-

m1

|

j1

,j2

,j,

m

>=

dm

m￠上式與關(guān)系式<

j1,

m1,

j2,

m

-m1

|

j1,

j2,

j,

m

>=dj￠j<

j1,

j2,

j￠,

m

|

j1,

m1,

j2,

m

-m1

>m1一起反映了C-G系數(shù)的么正性和實(shí)數(shù)性。（3）j的取值范圍（j與j1,j2的關(guān)系）1.對給定j1

j2

，求

jmax因?yàn)閙

m1

m2

取值范圍分別是：m

=

j,

j-1,...,

-j+1,

-j

→

mmax

=

j;m1

=

j1,

j1-1,...,

-j1+1,

-j1

→(m1)max

=

j1;m2

=

j2,

j2-1,...,

-j2+1,

-j2

→(m2)max

=

j2;再考慮到m

=

m1

+

m2，則有：mmax

=

(m1)max+

(m2)max=

j

=

jmax，jma

x

=于是：

j1

+

j22.求jmin由于基矢|j1

m1>,|j2

m2>對給定的j1

j2分別有2j1+1和2j2+1個，所以非耦合表象的基矢|j1,m1,j2,m2>=|j1,m1>|j2,m2>

的數(shù)目為(2j1+1)(

2j2+1)個。另一方面，對于一個

j

值，|j1,

j2, j,

m

>

基矢有

2j+1個，那末

j

從

jmin

到

jmax

的所有基矢數(shù)則由下式給出：2minjmax(2

j

+

1)

=

(2

j

+

1)2

-

j

2

=

(

j

+

j

+

1)2

-

jmax

min

1

2jmin等差級數(shù)求和公式Jmax

=

j1

+

j2從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等|

j1,

j2,

j,m>=

|j1,m1,

j2,m-m1

>

<

j1,m1,

j2,m-m1

|j1,

j2,

j,m>m1由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m>的數(shù)亦應(yīng)等于(2j1+1)(2j2+1)個，于是

(j1+j2+1)2從而可解得：-

jmin2jmin=

(2j1+1)(2j2+1)=|j1-j2|。3.j的取值范圍J?z

|

j1,

j2,

j,m

>=m

|

j1,

j2,

j,m

>由于j

只取

≥0的數(shù)，所以當(dāng)

j1

j2

給定后，j

的可能取值由下式給出：j

=

j1+j2,

j1+j2-1,

j1+j2-2,

......,

|j1

-

j2|.該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合。j1,

j2

和

j

所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為Δ(j1,

j2,

j)。求得j,

m后，J2, Jz

的本征值問題就得到解決。J?2

|

j1,

j2,

j,m

>=

j(

j

+1)2

|

j1,

j2,

j,m

>|

j1,

j2,

j,m>=

|

j1,m1,

j2,m-m1

>

<

j1,m1,

j2,m-m1

|

j1,

j2,

j,m>m1本征矢作為一個例子下面列出了電子自旋角動量j2

=1/2情況下幾個C-G系數(shù)公式。<

j1

,

m

-

m2

,

1

,

1

,

m2

|

j1

,

1

,

j,

m

>2

2

21

21

2121

21

21221

2-2

j1

+

12

j1

+

1j1

-

m

+j1

-2

j1

+

1j1

+

m

+j1

-

m

+2

j1

+

1j1

+

m

+j1

+m

2

=

-

1

j m

2

=將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：2

2

212

2

212

2

212

2

212

|

j1,m

+

1

,

1

,-

1

>2

j

+1j1

+m+

12

|

j1,m-

1

,

1

,

1

>

+2

j

+1j1

-m+

1|

j1,

1

,

j1

-

1

,m

>

=

-2

22

|

j1,m+

1

,

1

,-

1

>2

j

+1j1

-m

+

12

|

j1,m-

1

,

1

,

1

>

+2

j

+1j1

+m+

1|

j1,

1

,

j1

+

1

,m

>

=2

2本節(jié)討論無外場作用下，考慮電子自旋對類氫原子能級和譜線的影響。（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）無耦合表象耦合表象（二）有自旋軌道相互作用情況Hamilton量微擾法求解光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)零級近似波函數(shù)§5

光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)（1）無耦合表象類氫原子Hamilton量H?

0

=

-

2

+V

(r

)2m2對類氫原子在不考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢場可寫為：r2V(r)

=-

Ze因?yàn)?/p>

H0,

L2, Lz

和

Sz

兩兩對易，所以它們有共同完備得本征函數(shù)（無耦合表象基矢）：F

nlm

m

(

r

,J

,

j

)

=

Rnl

(

r

)Ylm

(J

,

j

)

cml

s

l

s

|

n

,

l

,

m

l

,

m

s

>可見電子狀態(tài)由n,

l, ml

,

ms四個量子數(shù)確定，能級公式En

=

-

2

2n2

n

=

1,2,3,mZ

2e

4只與n

有關(guān)能級簡并度，不計(jì)電子自旋時，是

n2

度簡并，考慮電子自旋后，因

ms

有二值，故

En

是

2n2

度簡并。（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（2）耦合表象電子總角動量?

?

?J

=

L

+

S因?yàn)?/p>

L2,

S2,

J2, Jz

兩兩對易且與

H0

對易，故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù)：2Y

nljm

(

r

,

J

,

j

,

s

z

)

=

R

nl

(

r

)

uljm

(J

,

j

,

s

z

)

|

n

,

l

,

1

,

j

,

m

>耦合表象基矢電子狀態(tài)用n,l,j,m四個量子數(shù)確定。通過一么正變換相聯(lián)系l

s(

r

,

J

,

j

,

s

z

)(r

,J

,j

,s

z

)

與F

nlm

m。Y

nljm（1）Hamilton量基于相對論量子力學(xué)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)，L-S自旋軌道作用可以表示為：?

1 1

dV

?H?

￠=

L

?S

=

x(r

)L

?S2m

2c2

r

dr稱為自旋軌道耦合項(xiàng)（二）有自旋軌道相互作用情況于是體系Hamilton量H?

? ?

￠22

+V

(r

)

+

x(r

)L

?

S=

H

0

+

H

=

-

2m由于H中包含有自旋--軌道耦合項(xiàng)，所以Lz,Sz與H不再對易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù)ml,ms都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)?，F(xiàn)在好量子數(shù)是l,j,m，這是因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符 L2,

J2,

Jz

都與

H

對易的緣故。證：?

?

?

?

?因?yàn)?/p>

J2

=(L+S)2

=

L?2

+S?2

+2L?S24

3?22

1?2

?

2

12?

2-

L

-

]-

L

-

S

]

=

[J?

?

?

2所以

L

?

S

=

[J?2?2L

?S]

=

0L

?S]

=

0?

??

??

?L

?S]

=

0顯然有

[J

,[J?z

,[L

,Jz

都與

H’所以

L2,

J2,對易從而也與

H

對易。（2）微擾法求解(

H?

+

H?

￠)y

=

Ey0本征方程因?yàn)?/p>

H0的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾法求解。H0的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù)。為方便計(jì)，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù)。之所以方便，是因?yàn)槲_Hamilton量H’在耦合表象矩陣是對角化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)是H'對角化。這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟。令：C

ljmljm|

n

,

l

,

j

,

m

>y

=

展開系數(shù)滿足如下方程：ljml

￠l j

￠j m

￠mnl

￠j

￠m

￠,

ljmljm-

E[

H

￠d

d

]C

=

0(

1

)d其中

矩陣元H

￠=<

n

,

l

￠,

1

,

j

￠,m

￠|

H?

￠|

n

,

l

,

1

,

j

,

m

>2

2l

￠j

￠m

￠,

ljm下面我們計(jì)算此矩陣元￠H?=<n,l￠, ,

j￠,m￠|

H￠|

n,l, ,

j,m

>2121l￠j￠m￠,ljm=r dr

<

l￠, ,

j￠,

m￠|

L

?S

|

l, ,

j,

m

>21212*￥

nl￠

nl0?

?R

x(r

)R=<

nl￠|x(r)

|

nl

><l￠,

1

,

j￠,m￠|

1

[J?2

-

L?2

-

3

2]|

l,

1

,

j,m

>2

2

4

2=<

nl￠|x(r)

|

nl

>

1

[

j(

j

+1)

-l(l

+1)

-

3]2

<

l￠,

1

,

j￠,m￠|

l,

1

,

j,m

>2

4

2

2=<nl

|x(r)

|

nl

>

1

[

j(

j

+1)

-l(l

+1)

-

3]2dl￠ldj￠jdm￠m2

4=

Hnljdl￠ldj￠jdm￠m其中：0

0nl

nl

nlH

n￠lj

=<

nl

|

x(r

)

|

nl

>

1

[

j(

j

+

1)

-

l

(l

+

1)

-

3

]

22

4R

2

x(r

)r

2dr￥

￥<

nl

|

x(r

)

|

nl

>=

R*

x(r