頁線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一部分行列式1.排列的逆序數(shù)2.行列式按行（列）展開法則3.行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算行列式的定義行列式的計(jì)算：=1\*GB3①(定義法)=2\*GB3②（降階法）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.=3\*GB3③(化為三角型行列式)上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.④若都是方陣（不必同階）,則⑤關(guān)于副對(duì)角線：⑥范德蒙德行列式：⑦型公式：⑧(升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法.⑨(遞推公式法)對(duì)階行列式找出與或,之間的一種關(guān)系——稱為遞推公式，其中,,等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出的方法稱為遞推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡(jiǎn)化以例計(jì)算.⑩(數(shù)學(xué)歸納法)2.對(duì)于階行列式，恒有：，其中為階主子式；3.證明的方法：①、；②、反證法；2.逆矩陣的求法方陣可逆.=1\*GB3①伴隨矩陣法eq\o\ac(○,注)：=2\*GB3②初等變換法=3\*GB3③分塊矩陣的逆矩陣：④,⑤配方法或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義）行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣初等變換與初等矩陣對(duì)換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式()()()?矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,行)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,左)乘；對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,列)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,右)乘.注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.矩陣的秩關(guān)于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式(存在的話)全部為0；②、，的階子式全部為0；③、，中存在階子式不為0；?矩陣的秩的性質(zhì)：①≥;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆，則；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.⑦若；若⑧等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.⑨≤,≤≤⑩,?求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6矩陣方程的解法()：設(shè)法化成第三部分線性方程組1.向量組的線性表示2.向量組的線性相關(guān)性3.向量組的秩4.向量空間5.線性方程組的解的判定6.線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）線性表示：對(duì)于給定向量組，若存在一組數(shù)使得，則稱是的線性組合，或稱稱可由的線性表示.線性表示的判別定理:可由的線性表示由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：①、有解②、③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）2.設(shè)的列向量為,的列向量為，則，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即：線性相關(guān)性判別方法：法1法2法3推論?線性相關(guān)性判別法（歸納）?線性相關(guān)性的性質(zhì)零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān).部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).（向量個(gè)數(shù)變動(dòng)）原向量組無關(guān),接長(zhǎng)向量組無關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).（向量維數(shù)變動(dòng)）兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一4.最大無關(guān)組相關(guān)知識(shí)向量組的秩向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記作矩陣等價(jià)經(jīng)過有限次初等變換化為.向量組等價(jià)和可以相互線性表示.記作：矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則≤.向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)；5.線性方程組理論線性方程組的矩陣式向量式其中（1）解得判別定理（2）線性方程組解的性質(zhì)：(3)判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無關(guān)；②都是的解；③.(4)求非齊次線性方程組Ax=b的通解的步驟

（5）其他性質(zhì)一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.√若是的一個(gè)解，是的一個(gè)解線性無關(guān)√與同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,且有結(jié)果：①它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）.第四部分方陣的特征值及特征向量1.施密特正交化過程2.特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算3.矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱陣的相似對(duì)角化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè)維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.向量與的內(nèi)積.記為：④向量的長(zhǎng)度⑤是單位向量.即長(zhǎng)度為的向量.2.內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：②對(duì)稱性：③線性性：設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在數(shù)和n維非零列向量,使得，則稱是方陣A的一個(gè)特征值，為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量.的特征矩陣（或）.的特征多項(xiàng)式（或）.④是矩陣的特征多項(xiàng)式⑤，稱為矩陣的跡.⑥上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素.⑦若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量.⑧一定可分解為=、,從而的特征值為：,.eq\o\ac(○,注)為各行的公比，為各列的公比.⑨若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①若滿足的任何一個(gè)特征值必滿足②的全部特征值為；.⑩與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.特征值與特征向量的求法(1)寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.(2)根據(jù)得到A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.設(shè)的基礎(chǔ)解系為其中.則A對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為其中為任意不全為零的數(shù).與相似（為可逆矩陣）與正交相似（為正交矩陣）可以相似對(duì)角化與對(duì)角陣相似.（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形）6.相似矩陣的性質(zhì)：①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.eq\o\ac(○,注)是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.②③從而同時(shí)可逆或不可逆④⑤若與相似,則的多項(xiàng)式與的多項(xiàng)式相似.矩陣對(duì)角化的判定方法①n階矩陣A可對(duì)角化(即相似于對(duì)角陣)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：.②可相似對(duì)角化，其中為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.eq\o\ac(○,注)：當(dāng)為的重的特征值時(shí)，可相似對(duì)角化的重?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù).③若階矩陣有個(gè)互異的特征值可相似對(duì)角化.實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：①特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；②不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；eq\o\ac(○,注)：對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；③一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=；④必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；⑤與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；⑥兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似有相同的特征值.9.正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③正交陣的行列式等于1或-1；④是正交陣,則，也是正交陣；⑤兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；⑥的行（列）向量都是單位正交向量組.10.11.施密特正交規(guī)范化線性無關(guān),單位化：技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交，再把第二個(gè)解向量代入方程，確定其自由變量.第四部分二次型1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式3.正定矩陣的判定1.二次型其中為對(duì)稱矩陣，與合同.（）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差(為二次型的秩)④兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.⑤兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：與等價(jià)⑥兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：2.經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)形.正交變換法配方法（1）若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是(),則先作可逆線性變換,化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按(1)中方法配方.初等變換法3. 正定二次型不全為零，.正定矩陣正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.4.為正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正慣性指數(shù)為；（4）的所有順序主子式全大于；（5）與合同，即存在可逆矩陣使得；（6）