第七章 不等式§7.4

基本不等式及其應用內容索引基礎知識自主學習題型分類 深度剖析易錯警示系列思想方法 感悟提高練出高分基礎知識 自主學習1．基本不等式

ab≤a＋b2a

b基本不等式成立的條件：a>0，b>0

.等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式

(1)a2＋b2≥

2ab

(a，b∈R)．(2)b＋a≥2

(a，b同號)．知識梳理1答案a2＋b22以上不等式等號成立的條件均為a＝b.(3)ab≤

(a，b∈R)．

2a＋b2(4)

≥

(a，b∈R)．2a＋b2答案3．算術平均數與幾何平均數a＋b設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為

2

，幾何平均數為 ab，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)

時，x＋y有最小值2

p.(簡記：積定和最小)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當

x＝y(tǒng)

時，xy有最大值

p2

簡記：4.(和定積最大)答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)x(2)函數f(x)＝cosx＋4cosx2x

yx(3)“x>0

且y>0”是“y＋≥2”的充要條件．()a2(4)若a>0，則a3＋1

的最小值為2(5)不等式a2＋b2≥2ab

與a＋b2(1)函數y＝x＋1的最小值是2.(×)，x∈(0，π)的最小值等于

4.(

×

)×a.(

×

)≥ab有相同的成立條件．(×)思考辨析答案即xy≤(x＋y22)

＝81，∴x＋y2≥1．(教材改編)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(

C

)C．81

D．82A．80

B．77解析

∵x>0，y>0，xy，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.考點自測12345解析答案2ab

4

aA.

1

≤1

B.1＋1

1b≤2．若

a>0，b>0，且

a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(

D

)C.

ab≥2解析

4＝a＋b≥2D．a2＋b2≥8ab(當且僅當a＝b

時，等號成立)，即ab≤2，ab≤4，ab

4

1

≥1，選項A，C

不成立；1

1a＋b4a＋b＝

ab

＝ab≥1，選項B

不成立；12345解析答案a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，選項D成立．3．若函數f(x)＝x＋1x－2(x>2)在

x＝a

處取最小值，則

a

等于(

C

)A．1＋

2

B．1＋

3C．3

D．4解析

當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋11x－2

x－2＋2≥2

(x－2)×

＋2＝4，12345解析答案當且僅當x－2＝(x>2)，即x＝3時取等號即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C.2解析

設矩形的一邊為

xm，則另一邊為1×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)22]

＝25，當且僅當x＝10－x，即x＝5

時，ymax＝25.4．(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是

25

m2

．12345解析答案解析

1＝x＋4y≥2

4xy＝4

xy，∴xy≤

1

2＝

1

，(4)

161當且僅當x＝4y＝2，即1x＝21y＝8時，max16(xy)

＝

1

.

1

5．(教材改編)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為16

．12345解析答案返回題型分類 深度剖析命題點1

配湊法求最值5例

1

(1)已知

x<4，則

f(x)＝4x－2＋14x－55解析

因為

x<4，所以

5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝15－4x，即x＝1

時，等號成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值為1.的最大值為

1

．利用基本不等式求最值題型一解析答案x2＋2＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1x2＋2解析y＝

x－1

＝(x2－2x＋1)＋(2x－2)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥2

3＋2.當且僅當(x－1)＝3(x－1)，即

x＝

3＋1

時，等號成立．(2)函數y＝

x－1

(x>1)的最小值為23＋2

．解析答案x－11(3)函數

y＝x＋3＋

x－

的最大值為．解析答案解析令t＝x－1≥0，則x＝t2＋1，所以y＝t

tt2＋1＋3＋t

t2＋t＋4＝

.當t＝0，即x＝1

時，y＝0；當t>0，即x>1

時，y＝1tt＋4＋1，解析答案t因為

t＋4≥24＝4(當且僅當

t＝2

時取等號)，當

t>0，即

x>1

時，y＝tt＋4＋1

1

，所以y＝1tt＋4＋15≤1，5即y

的最大值為1(當t＝2，即x＝5

時y

取得最大值)．答案15思維升華思維升華(1)

應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．

(2)在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．例2

(1)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是

．命題點2

常數代換或消元法求最值解析答案5y

5x解析

方法一 由

x＋3y＝5xy可得

1

＋

3

＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(

1

＋

3

)5y

5x5

5

5y＝9＋4＋3x＋12y

13

125x

≥

5

＋

5

＝5.(當且僅當3x＝12y，即x＝1，y＝1時，等號成立)，5y

5x

2∴3x＋4y的最小值是5.解析答案5y－1方法二 由

x＋3y＝5xy

得

x＝

3y

，∵x>0，y>0，5∴y>1，13(y－1)＋9＋4－4y5y－1

5y－1∴3x＋4y＝

9y

＋4y＝

5

5

5

＋4y5＝13＋95·15y－511＋4(y－5)≥13＋25

2536＝5，2當且僅當y＝1時等號成立，∴(3x＋4y)min＝5.答案

5∴

1

＋|a|＝

2

＋|a|2|a|

b

4|a|

b＝a＋b＋|a|4|a|

b＝

a

＋

b

＋|a|≥

a

＋2

b

×|a|＝

a

＋1，4|a|

4|a|

b

4|a|

4|a|

b

4|a|b

×|a|＝

a

＋1，4|a|

b

4|a|解析答案∴當

b＝－2a，a＝－2

時，

1

＋|a|取得最小值．2|a|

b當且僅當

b

＝|a|時等號成立．＝

a

＋

b

＋|a|≥

a

＋24|a|

b

4|a|

4|a|

b

4|a|又a＋b＝2，b>0，(2)(高考改編題)設

a＋b＝2，b>0，則

1

＋|a|取最小值時，a

的值為

－22|a|

b解析∵a＋b＝2，思維升華條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．思維升華x(1)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(1)y，若1＋m2y

(m>0)的最小值為3，則m等于(

)A．2

B．22

C．3D．4跟蹤訓練1解析答案3≥1(1＋m＋2

m)，(當且僅當y＝mx時取等號)x

y3∴1(1＋m＋2

m)＝3，解得m＝4.故選D.答案

D解析

由

2x－3＝

1)y

得x＋y＝3，(21＋m1＋m＝1(x＋y)(

)x

y

3

x

y＝1(1＋m＋y＋mx)3

x

y(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為

．解析答案9－3y解析由已知得x＝

1＋y.方法一

(消元法)∵x>0，y>0，∴y<3，9－3y

3y2＋9∴x＋3y＝

1＋y

＋3y＝

1＋y＝3(1＋y)2－6(1＋y)＋121＋y12＝1＋y＋(3y＋3)－6解析答案≥2121＋y·(3y＋3)－6＝6，當且僅當

12

＝3y＋3，1＋y即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6.解析答案1x＋3y29－(x＋3y)＝xy＝1x·(3y)≤

·( )

，3

3

2方法二

∵x>0，y>0，當且僅當x＝3y時等號成立．設x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t>0，∴t≥6.故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6.A．9C．4B．8D．2命題點1

用基本不等式求解與其他知識結合的最值問題例3

(1)已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則

4＋1

的最小值是(

)b

c基本不等式與學科知識的綜合題型二解析答案解析

圓x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0,1)．因為直線ax＋by＋c－1＝0經過圓心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此4＋1＝(b＋c

4＋1)＝4c＋b＋5.b

c

)(b

c

b

c因為b，c>0，所以4c＋b≥2b

cb

·c4c

b＝4.解析答案當且僅當4c＝b時等號成立．b

c由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝2，c＝1時，4＋1取得最小值9.3

3

b

c答案

AC．5D．6a∴m＝b＋1＝2b，n＝a＋1＝2a，a

b∴m＋n＝2(a＋b)≥4

ab＝4.(2)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋1，n＝a＋1，b則m＋n的最小值是(

B

)A．3

B．4解析由題意知：ab＝1，解析答案命題點2求參數的值或取值范圍例

4

已知

a>0，b>0，若不等式3＋1≥ma＋3b)a

ba

bA．9

B．12

C．18

D．24解析

由3＋1≥ma＋3b得m≤(a＋3b)(ab

a

b3＋1)＝9b＋a＋6.a

b又9b＋a＋6≥2

9＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值為12.恒成立，則

m

的最大值為(

B解析答案思維升華思維升華應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍．(1)已知各項均為正數的等比數列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，n

m

n

1m

na

使得

a a

＝4a

，則1

＋4的最小值為(

)A.325B.3C

9

25.4

D.

6跟蹤訓練2解析答案解析

由各項均為正數的等比數列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．因為

aman＝4a1，所以

qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.所以1

＋4＝1(m＋n)(1

＋4)m

n

6

m

n＝1(5＋

n

＋4m6

m n

)解析答案≥1(5＋2

n

4m

＝3.6

m·

n

)

2當且僅當n

＝4m時，等號成立，m

n故1

＋4的最小值等于3.m

n

2答案

A(2)已知函數f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若對于任意x∈N*，f(x)≥3

恒成立，則

a

的取值范圍是

．解析答案解析對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3

恒成立，x即知a≥－(x＋8)＋3.x設g(x)＝x＋8，x∈N*，3則g(2)＝6，g(3)＝17.解析答案∴g(x)min3＝17.∵g(2)>g(3)，∴－(x＋8)＋3≤－8，x

3∴a≥－8，故a

的取值范圍是[－8，＋∞)．3

33答案

[－8，＋∞)例5

運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2＋升，司機的工資是每小時14元．(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；x2360

)不等式的實際應用題型三解析答案x所以，這次行車總費用

y

關于

x

的表達式是

y＝130×18＋3602×130x，x∈[50,100]．(或

y＝2

340＋13

，x∈[50,100])．x

18xx解

設所用時間為

t＝130(h)，x2130

130y＝

x

×2×(2＋360)＋14×

x

，x∈[50,100]．(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．當且僅當130×182×130x

360＝

x，即

x＝18

10，等號成立．故當

x＝18

10千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為

26

10元解y＝＋130×18

2×130x

360x≥26

10，解析答案思維升華設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數．根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值．在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解．思維升華某工廠某種產品的年固定成本為250

萬元，每生產x

千件，需另投入成3本為C(x)，當年產量不足80

千件時，C(x)＝1x2＋10x(萬元)．當年產量不小于80

千件時，C(x)＝51x＋10

000－1

450(萬元)．每件商品售價為0.05x萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．跟蹤訓練3＝－1x2＋40x－250.3當x≥80時，L(x)＝1

000x×0.05－(51x＋10

000x－1

450)－250＝1

200－(x＋10

000x)．∴L(x)＝

3－1x2＋40x－250(0<x<80)，1

200－(x＋10

000x)(x≥80).(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；解

當0<x<80時，L(x)＝1

000x×0.05－

1(3x2＋10x)－250解析答案(2)當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？3解

當

0<x<80

時，L(x)＝－1x2＋40x－250.對稱軸為x＝60，即當x＝60時，L(x)最大＝950(萬元)．當x≥80

時，L(x)＝1

200－(x＋10000)x≤1

200－2 10

000＝1

000(萬元)，當且僅當x＝100時，L(x)最大＝1000(萬元)，綜上所述，當x＝100時，年獲利最大．解析答案返回易錯警示系列典例

(1)已知

x>0，y>0，且1＋2＝1，則

x＋y的最小值是x

y．(2)函數

y＝1－2x－3(x<0)的最小值為

．xx易錯分析

(1)多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件．如：1＝1＋2≥2

2

，∴xy≥2

2，∴x＋y≥2

xy≥4

2，得(x＋y)y

xymin＝4

2.x(2)沒有注意到

x<0

這個條件誤用基本不等式得

2x＋3≥2

6.易錯警示系列10.忽視最值取得的條件致誤易錯分析解析答案溫馨提醒返回解析

(1)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(x1＋2)y＝3＋y＋2x

3＋2

2(當且僅當

y＝

2x

時取等號)，x y≥∴當

x＝

2＋1，y＝2＋

2時，(x＋y)min＝3＋2

2.(2)∵x<0，∴y＝1－2x－3＝1＋(－2x)＋(－3)≥1＋2x

x－x(－2x)·

3

＝1＋2

6，答案

(1)3＋2

2

(2)1＋2

6溫馨提醒返回2當且僅當x＝-

6

時取等號，故y的最小值為1＋2

6.利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致．溫馨提醒返回思想方法 感悟提高基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵

是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點．對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b

a2＋b2)2≤

，

ab≤

≤a＋b

a2＋b22

2

2

2(a>0，b>0)等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件．方法與技巧使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.失誤與防范返回練出高分1.下列不等式一定成立的是(

)4A.lg(x2＋1)>lg

x(x>0)B.sin

x＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)x2＋1D.

1

>1(x∈R)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析

當

x>0

時，x2＋1≥2·x·1＝x，4

2所以lg(x2＋1)≥lg

x(x>0)，4故選項A不正確；運用基本不等式時需保證“一正”“二定“三相等”，而當x≠kπ，k∈Z時，sin

x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x＝0

時，有1x2＋1＝1，故選項D

不正確.答案

C1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15162.設非零實數a，b，則“a2＋b2≥2ab”是“baa＋b≥2”成立的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516a

b所以“a2＋b2≥2ab”是“b＋a≥2”的必要不充分條件，故選B.答案

B解析

因為a，b∈R時，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，b

a即a2＋b2≥2ab，而a＋b≥2?ab>0，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516a

b3.已知

a>0，b>0，a＋b＝2，則

y＝1＋4的最小值是(

)A.7

B.429C.2

D.5解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516a＋b＝2，b4aa

b當且僅當

＝

，a>0，b>0，2343即

a＝

，b＝ 時取等號，即1＋4的最小值是9.a

b

2答案

Ca

b

2

a

b解析

依題意，得1＋4＝1(1＋4)·(a＋b)2

b＝1[5＋

b＋4a)]1(a

≥2(5＋22b

4a

9a·

b

)

＝

，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15164.(2014·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2ab，則

a＋b

的最小值是(

)A.6＋2

3C.6＋4

3B.7＋2

3D.7＋4

3解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516b

a≥7＋2

3a·4b＝7＋4

3，又log4(3a＋4b)＝log2

ab，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，a

b所以3a＋4b＝ab，故4＋3＝1.4

3

3a

4b所以a＋b＝(a＋b)(a＋b)＝7＋b

＋a解析ab>0，由題意得ab≥0，3a＋4b>0，所以a>0，b>0.當且僅當3a＝4b時取等號.故選D.b

a答案

D1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15165.已知正數x，y滿足x＋2y－xy＝0，則x＋2y的最小值為(

A

)A.8

B.4

C.2

D.0解析

由

x＋2y－xy＝0，得2＋1＝1，且

x>0，y>0.x

y∴x＋2y＝(x＋2y)×

2＋1)＝4y＋x＋4≥4＋4＝8.(x

y

x

y1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案6.(2015·陜西)設f(x)＝ln

x,0＜a＜b，若p＝f(

ab)，q＝f2a＋b

1，r＝2(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(

)A.q＝r＜pC.p＝r＜qB.q＝r＞pD.p＝r＞q1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案又∵f(x)＝ln

x

在(0，＋∞)上為增函數，故fa＋b2＞f(

ab)，即q＞p.又r＝1(f(a)＋f(b))＝1(ln

a＋ln

b)2

2＝1ln

a＋1ln

b＝ln(ab)故p＝r＜q.選C.答案

C122

2＝f(

ab

)＝p.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析

∵0＜a＜b，2a＋b∴

＞

ab，A.

22

B.2

2

C.

2

D.2解析

∵x>0，y>0，x＋2y≥2

2xy，∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2

2xy，∴4≤4xy－2即(

2xy－2)(2xy，2xy＋1)≥0，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516∴

2xy≥2，

∴xy≥2.7.已知

x>0，y>0，且

4xy－x－2y＝4，則

xy

的最小值為(

D

)解析答案xy8.設正實數x，y，z

滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當z

取得最小值時，x＋2y－z

的最大值為(

)9A.0

B.8

C.2D.941

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案當且僅當x＝2y時取等號，此時z＝xy＝2y2.所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2≤2.答案

C1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析

由題意知：z＝x2－3xy＋4y2，

z

則xy＝x2－3xy＋4y2xyx

4y＝y(tǒng)＋

x

－3≥1，

2

解析

設

f(x)＝x＋x＋32

2x＋3＝(x＋3)＋

－3，因為x>－3，所以x＋3>0，故

f(x)≥2

(x＋3)×2x＋3－3＝2

2－3，當且僅當

x＝

2－3

時等號成立，所以

a

的取值范圍是(－∞，2

2－3].9.若當

x>－3時，不等式

a≤x＋x＋3恒成立，則

a的取值范圍是(－∞，2 2－3]

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案3x解析

分離變量得－(4＋a)＝3x＋

4

≥4，得

a≤－8.10.若關于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，則實數a的取值范圍是(－∞，－8]

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案11.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg

x＋lgy的最大值；1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案10xy.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解

∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2∵2x＋5y＝20，∴2

10xy≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立.16因此有

解得2x＋5y＝20，

x＝5，2x＝5y，

y＝2，此時xy有最大值10.∴u＝lg

x＋lg

y＝lg(xy)≤lg

10＝1.∴當x＝5，y＝2時，u＝lg

x＋lg

y有最大值1.(2)求1＋1的最小值.x

y1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案解∵x>0，y>0，1

1x

y∴

＋

＝1＋x

y·1

2x＋5y20＝201

7＋

＋x

y205y

2x

1≥

7＋2·5y

2xx

y＝7＋2

10，201

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案當且僅當5y＝2x時，等號成立.x

y2x＋5y＝20，

xy由5y＝2x，解得x

＝1010－203，y＝20－4

103.1

1∴x＋y的最小值為7＋2

1020.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

151612.一個籃球運動員投籃一次得3

分的概率為a，得2

分的概率為b，不a得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則2＋1

的最小值為(

)3bA.32328B.

314C.

316D.

31

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案2即3a＋2b＝2，其中0<a<3，0<b<1.2

1

a

3b又

＋

＝23a＋2b2a＋1

3b解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，＝3＋1＋2b＋

a

≥10＋23

a

2b

32b·

a

＝16，a

2b

31

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516當且僅當2b＝

a

，即a＝2b

時取“等號”，a

2b又3a＋2b＝2，即當a＝1，b＝1時，2＋1

的最小值為16，故選D.2

4

a

3b

3答案

Dab13.設a>b>c>0，則2a2＋1

＋1a(a－b)－10ac＋25c2

的最小值是(

)A.2

B.4

C.2

5D.51

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516解析答案當且僅當a－5c＝0，ab