專題六二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

鎖定鹿螞叱

Toni\N\o??Hfu/itIi<>

考綱要求命題趨勢

二次函數(shù)是中考的重點內(nèi)

容，題型主要有選擇題、填空

1.理解二次函數(shù)的有關(guān)概念.

題及解答題，而且常與方程、

2.會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)

不等式、幾何知識等結(jié)合在一

識二次函數(shù)的性質(zhì).

起綜合考查，且一般為壓軸

3.會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口

題.中考命題不僅考查二次函

方向和對稱軸，并會求解二次函數(shù)的最值問題.

數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)

4.熟練掌握二次函數(shù)的上下左右平移

知識，而且注重多個知識點的

5.熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法.

綜合考查以及對學(xué)生應(yīng)用二次

函數(shù)解決實際問題能力的考查.

p導(dǎo)學(xué)密氤軸厥》

J?FRiRfI/iiisHi

知識梳理

一、二次函數(shù)的概念

一般地，形如尸一(a,b,c是常數(shù)，a#0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

二次函數(shù)的兩種形式：

(1)一般形式：；

(2)頂點式：y=a(x—A)2+A(aW0),其中二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是________.

二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

當(dāng)x<一」■時，y隨X當(dāng)X<一7^"時，y隨X

ciQ,乙a

的增大而減小；當(dāng)X的增大而增大；當(dāng)X

增減性

>一:^■時，y隨天的>一比時，夕隨X的增

乙a

增大而增大大而減小

當(dāng)入=一搟時,了有最

當(dāng)'時，y有最

La乙a

最值

,Jac-4

______值/4a______值4/a

三、二次函數(shù)圖象的特征與a,b,。及4ac的符號之間的關(guān)系

項目

字母的符號圖象的特征

字母

a>0開口向上

a

a<0開口向下

l-o對稱軸為_________

bH>0（〃與a同號）對稱軸在3軸______側(cè)

utr<0（b與a異號）對稱軸在、軸______側(cè)

r=0經(jīng)過原點

c與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

仔4ac=0與工軸有唯一交點（頂點）

b4acIf4ac>0與a?軸布■兩個交點

If4a(VO與工軸沒■交點

四、二次函數(shù)圖象的平移

拋物線y^ax與尸a（x—力尸,尸a?+A?，尸a（x—方尸+A中|a|相同，則圖象的.

和大小都相同，只是位置不同.它們之間的平移關(guān)系如下:

上加下減

y^ox2y^ax2+k

向

向

右

右

M*

VV

。

)。)

、

、

左

左

左

左

加

加((

穴Z

右

右K

。O

減

減))

平

平

移

移

三

三

個

個

單

單

位

位

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

卜加下減

五、二次函數(shù)關(guān)系式的確定

1.設(shè)一般式：尸af+￡x+c(aWO).

若已知條件是圖象上三個點的坐標(biāo)，則設(shè)一般式尸a/+"+c(a#O),將已知條件代

入，求出a,b,c的值.

2.設(shè)交點式:尸a(x—汨)(x-及)(aWO).

若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，則設(shè)交點式:y=a(x—為)(x—加(aWO),

將第三點的坐標(biāo)或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a,最后將關(guān)系式化為一般式.

3.設(shè)頂點式：y=a(x—/i)2+k(a^0').

若已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值或最小值，則設(shè)頂點式：y=a(x一

+4(a/0),將已知條件代入，求出待定系數(shù)化為一般式.

六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1.二次函數(shù)尸aV+H+cSWO),當(dāng)尸:0時，就變成了ax+bx+c-O(a^O).

2.a1+6x+c=0(a￥0)的解是拋物線與x軸交點的.

3.當(dāng)4=Z>2—4ac>0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點；當(dāng)4=Z/—4ac=0時，拋

物線與x軸有一個交點；當(dāng)/=〃-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

4.設(shè)拋物線尸af+bx+c與x軸兩交點坐標(biāo)分別為｛(xi,O),5(A0),貝?。轂?在=

_Xi?X1=_______.

考點一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【例1】(1)二次函數(shù)y=-3f—6x+5的圖象的頂點坐標(biāo)是()

A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)

(2)已知拋物線y=af+6x+c(a>0)的對稱軸為直線x=l,且經(jīng)過點(一1,%)，(2,

㈤，試比較必和％的大小：y,度.(填或“=”)

【解析】(1)拋物線的頂點坐標(biāo)可以利用頂點坐標(biāo)公式或配方法來求???.一《=-

—=^—=-1,

2X-3'

4ac~If_4X_3X5—-6'_

4X-3=8,

...二次函數(shù)y=-3京-6#+5的圖象的頂點坐標(biāo)是(一1,8).故選A.

(2)點(-1,?),(2,x)不在對稱軸的同一側(cè)，不能直接利用二次函數(shù)的增瀛性來判斷

》，元的大小，可先根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可.設(shè)

拋物線經(jīng)過點(0,V),二.拋物線對稱軸為直線k1,

二點(0,尸)與點(2,_?)關(guān)于直線產(chǎn)=1對稱.

Va>0,...當(dāng)z<l時，夕隨力的增大而減小.

.".yOyi.J.yOyi.

答案：(l)A⑵〉

方法總結(jié)1.將拋物線解析式寫成尸a(x-/?)2+4的形式，則頂點坐標(biāo)為(兒玲，對

稱軸為直線也可應(yīng)用對稱軸公式K—券，頂點坐標(biāo)一五，七一來求對稱軸及頂

ZaINa4aJ

點坐標(biāo).

2.比較兩個二次函數(shù)值大小的方法：

(1)直接代入自變量求值法；

(2)當(dāng)自變量在對稱軸兩側(cè)時，看兩個數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；

(3)當(dāng)自變量在對稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷.*網(wǎng)

觸類旁通1已知二次函數(shù)>=0^+以+式4視)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是()

A.40的增大而增大

C.c<0D.3是方程以2+法+。=0的一個根

【解析】開口向下，所以aVO,函數(shù)與y軸交于正半軸，所以c>0,當(dāng)x>l時，y隨x

的增大而減小，所以選D

考點二、利用二次函數(shù)圖象判斷a,b,c的符號

【例2】如圖，是二次函數(shù)y=af+Ar+c(a力0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a

+b+c=0；②。>2a；③菠+以+k。的兩根分別為一3和1；④a—26+c>0.其中正確的

命題是.（只要求填寫正確命題的序號）

【解析】由圖象可知過（1,0）,代入得到a+b+c=O｝根據(jù)一g=-l,推出b=2a;根

據(jù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得出與x軸的交點是（-3,0）,（1,0））由a-2b+c=a-2b-a-b

=-3Y0,根據(jù)結(jié)論判斷即可.

答案：①③

方法總結(jié)根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)

形結(jié)合問題，具有較強的推理性.解題時應(yīng)注意a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與y

軸的交點，拋物線的對稱軸由a,b共同決定，b2-4ac決定拋物線與x軸的交點情況.當(dāng)x

=1時，決定a+b+c的符號，當(dāng)x=-1時，決定a—b+c的符號.在此基礎(chǔ)上，還可推出

其他代數(shù)式的符號.運用數(shù)形結(jié)合的思想更直觀、更簡捷.

觸類旁通2小明從如圖的二次函數(shù)y^a^+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五個結(jié)

論：①cVO；②而c>0；③ai+c>0；④2“-36=0；⑤c―4Q0,你認(rèn)為其中正確的結(jié)論

有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解析】?.?拋物線開口向上，.

:拋物線與y軸交于負(fù)半軸，.,.c<0;

對稱軸在y軸右側(cè)，a,人異號，故Z><0,.'.ahc>0.

由題圖知當(dāng)x=-I時，y>0,

即a—〃+c>0.對稱軸是直線x=g,

b1

五=?即2a+3g0;

6+c>0,5

又.."CO,；.c—4〃>0....正確的結(jié)論有4個.

考點三、二次函數(shù)圖象的平移

【例3】二次函數(shù)尸一2f+4x+l的圖象怎樣平移得到尸一2宗的圖象（）

A.向左平移1個單位，再向上平移3個單位

B.向右平移1個單位，再向上平移3個單位

C.向左平移1個單位，再向下平移3個單位

D.向右平移1個單位，再向下平移3個單位

【解析】首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點、式，然后確定如何平移，即尸-2『+

4才+1=-2（才-1）；+3,將該函數(shù)圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到廣

一2京的圖象.

答案：C

方法總結(jié)二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式

轉(zhuǎn)化為頂點式確定其頂點坐標(biāo)，然后按照“左加右減、上加下減”的規(guī)律進行操作.

觸類旁通3將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得

圖象的函數(shù)解析式是（）

A.y=（x-l）2+2B.y=（x+iy+2C.y=（x~l）2~2D.y=（x+l）2—2

【解析】因為將二次函數(shù)尸V向右平移1個單位，得尸（了一1）2,再向上平移2個單

位后，得尸（X-1）2+2,故選A.

考點四、確定二次函數(shù)的解析式

【例4】如圖，四邊形力比。是菱形，點〃的坐標(biāo)是（0,小）,以點。為頂點的拋物線y

=ax2+Z?x+c恰好經(jīng)過x軸上4,8兩點.

AEBx

（1）求4B,C三點的坐標(biāo);

（2）求經(jīng)過4,B,，三點的拋物線的解析式.

【解析】(1)由拋物線的對稱性可知但8瓦

△助C.

：.OA=BB=BA.

設(shè)菱形的邊長為2孫在中，

『+(白尸=(2時＞,解得a=L

：.DC=2,OA=1,0B=3.

：.A,B,C三點的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),(2,曲.

(2)解法一：設(shè)拋物線的解析式為尸a(￡-2)2+4,代入/的坐標(biāo)(1,0),得a=-/.

???拋物線的解析式為y=-V3(x-2)2+V3.

解法二：設(shè)這個拋物線的解析式為y=af+°x+c,由已知拋物線經(jīng)過1(1,0),6(3,0),

C(2,/)三點，

a+6+c=0,a——

9a+36+c=0,解這個方程組，得＜b=44,

{4a+26+c=#,lc=-3/.

.??拋物線的解析式為尸一小丁+4mL3鎘.

方法總結(jié)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，需根據(jù)已知條件，靈活選擇解析式：若已

知圖象上三個點的坐標(biāo)，可設(shè)一般式；若已知二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)，可設(shè)

交點式；若已知拋物線頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(或小)值，可設(shè)頂點式.學(xué)&

觸類旁通4已知拋物線尸一；V+(6-'林)矛+)27-3與“軸有4,8兩個交點，且48

兩點關(guān)于y軸對稱.

(1)求加的值;

(2)寫出拋物線的關(guān)系式及頂點坐標(biāo).

【解析】(1廠.?拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于y軸對稱，.?.拋物線的對稱軸即為y軸.

2X

又二.拋物線開口向下,3＞0,即面＞3..?.詬6.

(2)?.5=6,

???拋物線的關(guān)系式為廣—：京+3,頂點坐標(biāo)為9,3).

1.二次函數(shù)產(chǎn)加+加;+1（分0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（一1,0）.設(shè)t=a+b

+1，則/值的變化范圍是（）

A.0<r<lB.0<r<2C.l<r<2D.-l<r<l

2.己知二次函數(shù)丁=底+云+。的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)

y=￡在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）,

3.將拋物線>=/+》向下平移2個單位，所得新拋物線的表達式是.

4.二次函數(shù)y^x2-2x-3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時，自變量x的取值范圍是

（第4題圖）

5.如圖，二次函數(shù)y=（x—2A+機的圖象與y軸交于點C,點8是點C關(guān)于該二次函數(shù)

圖象的對稱軸對稱的點.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點4（1,0）及點

B.

(第5題圖)

(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象，寫出滿足依+處(》一2尸+機的x的取值范圍.

6.拋物線、=底+云+。上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:

X-2-1012

y04664

從上表可知，下列說法中正確的是.(填寫序號)

①拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；

②函數(shù)y=ax1+bx+c的最大值為6；

③拋物線的對稱軸是直線x=；;

④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.

7.拋物線y=—/+法+c的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3

個單位，則平移后的解析式為.

參考答案

品要經(jīng)典考題

1.B二次函數(shù)r=ar：+bx+l的頂點在第一象限，

且經(jīng)過點(-1,0),

a-i>+l=0,a<0,i>0.

由a=b-lV0得到b<l,結(jié)合上面方>0,0<i<l?

由6=a+l>0得到a>—1,結(jié)合上面a<0,

-l<a<0