第1講

簡(jiǎn)易邏輯

〈教師備案〉本講側(cè)重于將簡(jiǎn)易邏輯中的概念與原理講明白，對(duì)于講解概念涉及到的其它數(shù)學(xué)背景知識(shí)

盡量選擇簡(jiǎn)單的，以集合、方程與不等式為主，繞開(kāi)了學(xué)生不太熟悉的向量與三角函數(shù)等

知識(shí).對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們留到同步去講，比如命題的否定與否命題之間的區(qū)

別、對(duì)充要條件的轉(zhuǎn)化等.

考點(diǎn)1:命題

命題是個(gè)到處可以見(jiàn)到的字眼，語(yǔ)文上有命題作文，會(huì)評(píng)價(jià)一篇作文命題新穎等等；北大門(mén)衛(wèi)會(huì)

詢問(wèn)每個(gè)進(jìn)入北大的人的三大終極哲學(xué)命題：你是誰(shuí)？你從哪里來(lái)？你要到哪里去？這些命題都不是

數(shù)學(xué)意義上的命題.

在邏輯中最重要的是二元判斷，即對(duì)真假的判斷，而二元判斷的最小承載單位就是命題，這里的

真假一般來(lái)說(shuō)是指客觀的可以判斷的真假，不依賴于主觀的判斷.數(shù)學(xué)上的命題就是指可以判斷真假

的陳述句：如明天會(huì)下雨：有理數(shù)一定是實(shí)數(shù)；白馬非馬；人不可能兩次踏進(jìn)同一條河流；女生愛(ài)逛

街等等都是命題.

知識(shí)點(diǎn)睛

1.命題：用國(guó)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，能夠判斷真假的語(yǔ)句叫做命題,一般可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母

表示，如p,q,r,.

其中判斷為真的命題叫做真命題,判斷為假的命題叫做假命題.

〈教師備案〉1.含有變量X的語(yǔ)句，可以用符號(hào)p(x)，式X)等表示，這類(lèi)語(yǔ)句無(wú)法判斷真假，不是命

題.又稱(chēng)為開(kāi)句或條件命題.當(dāng)賦予變量X某個(gè)值或一定的條件時(shí)，這些含有變量的

語(yǔ)句就變成命題了，如p(x):2x+6是正數(shù)，不是命題；p(-5):2x(-5)+6是正數(shù).是

命題；對(duì)任意實(shí)數(shù)x,2x+6是正數(shù)，是命題.

2.一般來(lái)說(shuō)，命題是陳述句，祈使句與疑問(wèn)句都不是命題.例：下面是命題的有.

①求證：G是無(wú)理數(shù)：(2)X2+4X+4^0：

③你是高一的學(xué)生嗎？④一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù).

解：①祈使句，不是命題.

②不是命題：加上若xeR,則》2+4》+4>0,就是命題了.

③是疑問(wèn)句，不涉及真假，不是命題.

④是假命題，正整數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).

甘經(jīng)典精講

【例1】★★判斷下列命題的真假.

⑴兩個(gè)無(wú)理數(shù)的乘積一定是無(wú)理數(shù)；

(2)若4。8,則A8#A；

(3)若加>1,則方程V-2》+〃/=0無(wú)實(shí)數(shù)根：

(4)已知a,6,c,deR,若a聲c且Z?fd,則a+〃wc+d；

(5)已知a,〃eR,若awl或人工1,則①一?+S一1)2片0.

【解析】⑴假命題；

⑵真命題：

⑶真命題；

(4)假命題；

⑸真命題.

命題分類(lèi)及量詞引入

對(duì)命題可以有各種形式的分類(lèi)，按照結(jié)構(gòu)分類(lèi)命題可以分成簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題.

其中簡(jiǎn)單命題只有六種形式：

①所有的S是P：②所有的S不是P：③有的S是P;④有的S不是P.

⑤a(或某個(gè)S)是P;⑥a(或某個(gè)S)不是P;

其中⑤與⑥是單稱(chēng)命題；①與②是全稱(chēng)命題，陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)；

③與④是特稱(chēng)命題(又稱(chēng)存在性命題)，陳述某集合中有(存在)一些元素具有某性質(zhì).

全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題都有特定的量詞——全稱(chēng)量詞與存在量詞.表示“所有”的量詞是全稱(chēng)量詞，

用符號(hào)V表示(英文單詞any的首字母倒著寫(xiě))；表示“有的”的量詞是存在量詞，并用符號(hào)三表示(英

文單詞exist的首字母倒著寫(xiě)).

考點(diǎn)2：量詞

知識(shí)點(diǎn)睛

1.全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有”、"一切”、"每一個(gè)”,在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全

稱(chēng)量詞，并用符號(hào)"V”表示.

全稱(chēng)命題：含有全稱(chēng)量詞的命題.

如：一切反動(dòng)派都是紙老虎；每一個(gè)人都是獨(dú)一無(wú)二的；所有的矩形都是正方形.

全稱(chēng)命題的符號(hào)：''對(duì)集合"中所有x,p(x)“記為：VxeM,p(x).

其中p(x)表示含有變量x的語(yǔ)句，如x>0,1+1=0等.

如：VxeR?x2+1>0；Vx>0,=x.

〈教師備案〉只要是表示全體的量詞，不管怎么敘述，都是全稱(chēng)量詞.省略量詞的如果是對(duì)某一群體進(jìn)

行描述的，一般都是全稱(chēng)命題.如山下的女人是老虎、人應(yīng)該好好學(xué)習(xí)、實(shí)數(shù)的平方非負(fù)

等等.

2

2.存在量詞：短語(yǔ)“有一個(gè)”、“有些”、，，至少有一個(gè)，，在陳述中表示所述事件的個(gè)體或部分,邏輯中

通常叫做存在量詞,并用符號(hào)‘勺”表示.

存在性命題：含有存在量詞的命題就叫做存在性命題，又叫特稱(chēng)命題.

如：有些人活著，他已經(jīng)死了；至少有一種魚(yú)不是用腮呼吸的.

存在性命題的符號(hào)：“存在集合M中的元素x,q(x)”記為：HreM,q(x).

如：3x>0,x2<x；3x,yeR.(x-1)2+(y-l)2=0.

〈教師備案〉注意數(shù)學(xué)中的“有一些”、"有些”只表示存在，不表示“多于一”.如有些實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)是真

命題，雖然只有一個(gè)數(shù)——零沒(méi)有倒數(shù).

j經(jīng)典精講

【鋪墊】用量詞符號(hào)表示下列命題，并判斷下列命題的真假.

⑴存在一對(duì)實(shí)數(shù)4,6,使4+b<0成立；

⑵有理數(shù)X的平方仍為有理數(shù)；

⑶實(shí)數(shù)的平方大于0.

【解析】⑴加"eR,a2+b<0-,真命題；

(2)VxeQ,x2eQ：真命題；

(3)VxeR,x2>0：假命題.

【例2】★★判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，并判斷真假.

(1)xeR時(shí)，2x+l是整數(shù)；

⑵對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,x>3；

⑶單位向量都相等；

(4)末位是0的整數(shù)，可以被2整除；

⑸角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

⑹對(duì)任意一個(gè)整數(shù)x,2/+1為奇數(shù)；

⑺有的實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；

(8)有些三角形不是等腰三角形；

(9)有的菱形是正方形.

【解析】(1)~⑹是全稱(chēng)命題，⑺?⑼是存在性命題，⑷~⑼是真命題，⑴⑵⑶是假命題.

提高班學(xué)案I

【拓1】命題“VxeR,+恒成立"是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a<0或a?3B.“W0或aN3C.a<0或a>3D.0<a<3

【解析】A

提高班學(xué)案2

【拓1】判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，并判斷真假.

(1)x€R且xwE,AeZ時(shí)，sinx■!——-—》2;

sinx

⑵去€{X|X是無(wú)理數(shù)},Y是無(wú)理數(shù)；

⑶存在一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使2x+3y+3>0成立；

(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，y,有f+y2>y_l成立.

【解析】⑴全稱(chēng)命題，假命題；

⑵存在性命題，真命題；

⑶存在性命題，真命題；

(4)全稱(chēng)命題，真命題.

復(fù)合命題

上一節(jié)我們說(shuō)過(guò)簡(jiǎn)單命題只有六種形式，簡(jiǎn)單命題是指不包含其他命題作為其組成部分的命題，

即在結(jié)構(gòu)上不能再分解出其他命題的命題.它可以分成兩類(lèi)，一類(lèi)是性質(zhì)命題，如：金屬是導(dǎo)電的；

有些花是紅的：所有的自然數(shù)都是非負(fù)數(shù)：另一類(lèi)是關(guān)系命題，這類(lèi)命題不限于一個(gè)主項(xiàng)，謂項(xiàng)反映

的是主動(dòng)之間存在的關(guān)系，如：武漢位于北京與長(zhǎng)沙之間；張三和李四是同學(xué)；所有的單位向量模長(zhǎng)

都相等；簡(jiǎn)單命題的真假判斷不能依靠命題邏輯推理，只能依據(jù)客觀事實(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)自行判斷.

通過(guò)一些聯(lián)結(jié)詞把一些簡(jiǎn)單命題組成為更復(fù)合的命題，在日常語(yǔ)言中，這類(lèi)聯(lián)結(jié)詞有：

⑴并且，然后，不但…而且…，雖然…但是…，既不…也不…；

⑵或者…或者…，也許…也許…，要么…要么…；

⑶如果…那么，只要…就…，一旦…就…，只有…才…，不…就不…，…除非…；

(4)當(dāng)且僅當(dāng)，如果…那么…并且只有…才…；

⑸并非，并不是.

因?yàn)樗鼈兟?lián)結(jié)的是命題，故我們稱(chēng)它們?yōu)槊}聯(lián)結(jié)詞，也稱(chēng)為邏輯聯(lián)結(jié)詞.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們用“且”

作為第一類(lèi)聯(lián)結(jié)詞的代表，用“或”作為第二類(lèi)聯(lián)結(jié)詞的代表；用“如果(或若)則…”作為第三類(lèi)聯(lián)

結(jié)詞的代表；用“當(dāng)且僅當(dāng)”作為第四類(lèi)聯(lián)結(jié)詞的代表；用“非”表示第五類(lèi)聯(lián)結(jié)詞的代表.通過(guò)這些聯(lián)結(jié)

詞，我們可以由一個(gè)個(gè)命題，如“櫻桃紅了”、“芭蕉綠了”，組成更復(fù)合的命題，例如：

櫻桃紅了并且芭蕉綠了.

櫻桃紅了或者芭蕉綠了.

如果櫻桃紅了，那么芭蕉綠了.

只有櫻桃紅了，才芭蕉綠了.

櫻才光紅了，當(dāng)且僅當(dāng)，芭蕉綠了.

并非櫻桃紅了.

我們先看⑴⑵⑸對(duì)應(yīng)的邏輯聯(lián)結(jié)詞，下一板塊我們?cè)賹W(xué)習(xí)⑶對(duì)應(yīng)的命題的四種命題形式：最后我

們看⑷對(duì)應(yīng)的充要條件的相關(guān)知識(shí).

1.2邏里關(guān)竺了

考點(diǎn)3：邏輯聯(lián)結(jié)詞

知識(shí)點(diǎn)睛

“且”的引入

4

看下面的命題：

①魯迅既是文學(xué)家，又是思想家.

②天下雨，路又滑.

③他大發(fā)一通脾氣，然后氣沖沖地走了.

④李逵不但沒(méi)有跪下，反而把腰桿挺得更直.

這些分別表示并列、承接、轉(zhuǎn)折、遞進(jìn)關(guān)系的復(fù)合命題，都被稱(chēng)為聯(lián)言命題，有時(shí)，在自然語(yǔ)言

中，表示對(duì)偶、對(duì)比、排比關(guān)系的句子也常常省略掉聯(lián)結(jié)詞，如：紅了櫻桃，綠了芭蕉；鳥(niǎo)宿池邊樹(shù)，

僧敲月下門(mén)；富貴不能淫，貧賤不能移，威武不能屈.這些都是自然語(yǔ)言中的聯(lián)言命題.我們把“"且

二'看作它的標(biāo)準(zhǔn)表示形式，并稱(chēng)〃，q為支命題.

對(duì)于兩個(gè)命題〃，q,用“且”聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新的命題，記為〃八g,讀作“p且（?”.

在自然語(yǔ)言中，聯(lián)言命題表達(dá)了支命題之間在內(nèi)容、意義、甚至語(yǔ)氣上的相互關(guān)聯(lián)，邏輯不能處

理這些相互關(guān)聯(lián)，只研究支命題與復(fù)合命題在真假方面的相互關(guān)聯(lián).對(duì)于聯(lián)言命題，只有它的各個(gè)支

命題都是真的，它本身才是真的；如果有一個(gè)支命題為假，則聯(lián)言命題為假.即只有p,q都是真命題

時(shí)，才是真命題.只要〃，夕中有假命題，就是假命題.

例如：小張既高又胖，只有在小張高和小張胖都真的情況下才是真的，在其余情況下都是假的.

一、邏輯聯(lián)結(jié)詞：且（A）、或（V）、非（「）.

1.且：用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且“把命題p和q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作讀作“p且4”.

可以用“且''定義集合的交集：AB={X|（XCA）A（XWB）}.

〈教師備案〉邏輯聯(lián)結(jié)詞“且''是由日常語(yǔ)言中的“并且“、“及"與“和“抽象出來(lái)的，但含義并不完全相

同.在日常語(yǔ)言中，這些聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來(lái)的語(yǔ)句中，明顯為假的支語(yǔ)句會(huì)被排斥，而且往

往它的順序是不能隨意顛倒的，而且常常有一些聯(lián)系，如“他獲得了奧運(yùn)會(huì)的金牌，并且

參加了奧運(yùn)會(huì)”在邏輯上可接受的命題，但它對(duì)日常思維來(lái)說(shuō)卻是不恰當(dāng)?shù)?同樣地，“他

參加了亞運(yùn)會(huì)，并且雪是白的”在邏輯上可以為真，但是在日常生活中不會(huì)被使用.

如果被使用起來(lái)，往往蘊(yùn)含深意.

有一個(gè)故事說(shuō)的是德國(guó)詩(shī)人海涅，他因?yàn)槭仟q太人，在當(dāng)時(shí)常常遭人恥笑和攻擊.

一次，一位學(xué)者對(duì)他說(shuō):“我最近剛從塔希提島旅行回來(lái)，你猜最使我驚訝的是什么？

——這個(gè)島上既沒(méi)有猶太人，也沒(méi)有驢子！”

海涅立即回敬道：“我倆一起到那島上去，那就既有猶太人，又有驢子了！”

“或”的引入

看下面的命題：

①一個(gè)三角形，要么是直角三角形，要么是斜三角形.

②不是老虎吃掉武松，就是武松打死老虎.

③藝術(shù)作品質(zhì)量差，也許由于內(nèi)容不好，也許由于形式不好.

④小張學(xué)習(xí)成績(jī)不理想或因?qū)W習(xí)方法不對(duì)，或因不努力.

⑤病人或失業(yè)者可以停付保險(xiǎn)費(fèi).

這些命題是借助"或者”這類(lèi)聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)支命題，稱(chēng)為選言命題.選言命題分為相容選言命題

和不相容選言命題兩類(lèi).如上面的①②是不相容選言命題，兩個(gè)支命題（又稱(chēng)選言支）互相排斥，不

能同時(shí)為真，且二者必居其一.③④⑤是相容選言命題，至少有一種存在，也可以同時(shí)存在.

在數(shù)學(xué)上，我們研究相容選言命題，各個(gè)選言支并不相互排斥，可以同時(shí)為真.只要有一個(gè)選言

支為真，相容選言命題就為真；如果所有選言支都假，則相容選言命題為假.

對(duì)于兩個(gè)命題p,q,用“或''聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)選言命題，記為p7q,讀作“p或4”.

如果/?,q兩個(gè)命題中，至少有一個(gè)是真命題（包括：0對(duì)g錯(cuò)，p錯(cuò)q對(duì)，對(duì)g對(duì)），則pvq

是真命題.如果pvq是假命題，則/?,q一定都是假命題.

如：自然數(shù)x或者是偶數(shù)或者是奇數(shù).只有在自然數(shù)x既不是偶數(shù)與不是奇數(shù)的情況下才是假的.所

以這個(gè)命題一定是恒真的.

2.或：用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p或q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作pyq,讀作“p或小，

可以用“或"定義集合的并集：A38={x|(xeA)v(xeB)}.

“非”的引入

除了聯(lián)言命題與選言命題外，還有一類(lèi)命題稱(chēng)之為負(fù)命題，是由否定一個(gè)命題而得到的命題.用

聯(lián)結(jié)詞「(讀作“非”或“否定”)表示，對(duì)命題p的否定記作f.“非”的意義是由日常語(yǔ)言中的“不是”、“全

盤(pán)否定”、”問(wèn)題的反面”等抽象而來(lái).非命題滿足：

(1)與一/7的真假性一定不同.〃真，則一/?假；〃假，則一/，真.

(2)TrP)=P成立，即雙重否定等于肯定.如：他不可能不是師哥，意思是他是帥哥.

例：命題"表示：甲是帥哥；則一/>表示：甲不是帥哥：

命題〃：所有的男人都很勇敢；力：不是所有男人都很勇敢，也就是有些男人不勇敢.

命題〃：不是所有的牛奶都叫特侖蘇.：所有牛奶都叫特侖蘇.

3.非：一般地，對(duì)命題〃加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作二巳，讀作“非p”或"p的否定

可以用"非''來(lái)定義集合A在全集U中的補(bǔ)集：6A={xeU|T_reA)}={xeU|x￡A}.

4.不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱(chēng)為簡(jiǎn)單命題，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱(chēng)為復(fù)合命題.

〈教師備案>1.復(fù)合命題的真假判斷有真值表如下：

PQP2p~q

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.常用的下面詞語(yǔ)與它的否定詞:

正面

等于大于小于是都是都不是至少有一個(gè)至多有一個(gè)

詞語(yǔ)

至少有

否定不等于不大于不小于不是不都是一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)

一個(gè)是

3.對(duì)聯(lián)言命題與選言命題的否定我們放到同步再講.

二、全稱(chēng)命題與存在性命題的否定：

1.存在性命題的否定：

存在性命題p：BxeA,p(x);它的否定是力：VxeA,「p(x).

將存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞，再否定它的性質(zhì).

2.全稱(chēng)命題的否定：

全稱(chēng)命題q：VxeA,q(x);它的否定是r7：3xeA,->q(x).

將全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，再否定它的性質(zhì).

練習(xí)區(qū)給出下列命題的否定：

(DVx>0.x2+2x+l>0；⑵3xW0,x2+2x+l<0.

⑶有些三角形不是直角三角形；⑷有些三角形是直角三角形；

⑸所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；⑹質(zhì)數(shù)不都是奇數(shù).

宣(l)3x>0,X2+2X+1<0:⑵VXWO,X2+2X+1>0.

⑶所有三角形都是直角三角形.⑷所有的三角形都不是直角三角形.

⑸存在一些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù).(6)所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).

〈教師備案〉我們只研究前面提到的簡(jiǎn)單命題的六種形式的否定.即以下六種命題的否定.

①所有的S是P;②所有的S不是P;③有的S是P;④有的S不是P.

⑤a(或某個(gè)S)是P;⑥a(或某個(gè)S)不是P.

有些全稱(chēng)命題會(huì)省略全稱(chēng)量詞，如女人愛(ài)逛街，指得是：所有的女人都愛(ài)逛街；所以它的

否定為：有些女人不愛(ài)逛街.再如：若X>0,則％2>0；可以轉(zhuǎn)化為：對(duì)Vx>0,有*2>0,

再否定就簡(jiǎn)單了.

經(jīng)典精講

【例3】⑴內(nèi)下列各組命題中，滿足“p或夕”為真、“〃且二'為假，“非〃”為真的是()

A.p：0=0:q：Oe0

B.p：在AABC中，若cos2A=cos23,則A=3；

q：y=sinx在(0,上是增函數(shù).

C.p：a+b^2x[ab(a,eR)；q：不等式>x的解集是(Y?,0)

D.p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有/+y2>x-l成立；q：Vxe{-1,0,1},2x+l>0

⑵★★甲、乙兩人參加一次競(jìng)賽，設(shè)命題〃是“甲獲獎(jiǎng)”，命題夕是“乙獲獎(jiǎng)”，試用p,q及邏

輯聯(lián)結(jié)詞”且“、”或”、"非”表示：

①兩人都獲獎(jiǎng)；②兩人都未獲獎(jiǎng)；

③至少有一人獲獎(jiǎng)；④恰有一人獲獎(jiǎng).

【解析】⑴C

⑵①p八g;

②(->p)A(r)；

③pvq;

④([pAg)vsAR).

【點(diǎn)評(píng)】④也是對(duì)②中情況的否定，故也可表示為T(mén)Jp)人(M)),故容易知道pvq=T(-iP)人Jq)),

也即TpVq)=(->/?)A(->4).

尖子班學(xué)案1

【拓2】在下邊的橫線上填上真命題或假命題.

(1)若命題與命題""都是真命題，那么是；—p/\q是;

(2)若命題"—p或r"是假命題，那么p△夕是；prq是；—/?是

【解析】⑴假命題，真命題；

⑵真命題，真命題，假命題.

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】已知命題p：關(guān)于x的不等式卜-2006|+k-2008|>。恒成立；命題q：關(guān)于x的函數(shù)

y=log“（2-or）在［0,1］上是減函數(shù).若pvq為真命題，"Aq為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【解析】

上面我們看了由“或“、“且"、"非’'三種邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的三類(lèi)復(fù)合命題：聯(lián)言命題、選言命題與負(fù)

命題.下面我們研究一類(lèi)由“如果…則…”聯(lián)結(jié)起來(lái)的復(fù)合命題，我們稱(chēng)之為條件命題（又稱(chēng)為假言命

題）.這類(lèi)命題中有條件〃與結(jié)論q,條件命題斷定了條件與結(jié)論之間的某種關(guān)系，記為pfq.

板塊1.3研究對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行否定以及互換后對(duì)應(yīng)的四種命題形式；板塊1.4研究條件與結(jié)論之

間的關(guān)系，將條件命題分為充分條件、必要條件與充要條件三類(lèi).

條件命題在自然語(yǔ)言中的表述形式非常多，指出下面條件命題的條件與結(jié)論：

⑴只要勤奮耕耘，就會(huì)有所收獲；

⑵如果這個(gè)玻璃杯從我手中滑落，那么它會(huì)摔得粉碎；

⑶一見(jiàn)到美女，他就臉紅；

⑷除非你找到證據(jù)，我才相信你說(shuō)的話：

⑸你只有臉皮夠厚，才能克服膽怯的毛病.

給我們一個(gè)命題「：如果一個(gè)人是女生，那么她愛(ài)逛街.

你能把這些命題的條件與結(jié)論互換，得到的命題是什么樣的？

命題q:如果一個(gè)人愛(ài)逛街，那么她是女生.

如果把這些命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定，得到的命題是什么樣的？

命題r:如果一個(gè)人不是女生，那么她不愛(ài)逛街.

如果把這些命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定，再將否定后的條件與結(jié)論互換，得到的命題是什么的？

命題s:如果一個(gè)人不愛(ài)逛街，那么她不是女生.

我們把最開(kāi)始的命題p稱(chēng)為原命題，將它的條件與結(jié)論互換，得到的命題夕稱(chēng)為〃的逆命題；將

這個(gè)命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定，得到的命題r稱(chēng)為夕的否命題；將這個(gè)命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定，

并將否定后的結(jié)論當(dāng)成條件，條件當(dāng)成結(jié)論，得到的命題s稱(chēng)為命題〃的逆否命題.

本節(jié)中我們只討論p一夕形式的命題（即若…則…形式的命題），不討論條件與結(jié)論不明確的命

題的四種命題形式./?—>4的逆命題為：qtp；否命題為：—p—：逆否命題為：—qT—p.

四種命題是一種相互關(guān)系，不能單純地說(shuō)某個(gè)命題是逆命題，只能說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的逆命題，誰(shuí)是誰(shuí)的

否命題.

,1.3四種命題形式

考點(diǎn)4：四種命題

8

知識(shí)點(diǎn)睛

1.命題的四種形式：

命題“如果p,則二'是由條件p和結(jié)論4組成的，對(duì)夕，4進(jìn)行“換位”和“換質(zhì)(否定)”后，可以構(gòu)

成四種不同形式的命題.

⑴原命題:如果/?,則夕；

⑵原命題的逆命題:如果夕，則p；

⑶原命題的否命題:如果非〃，則非q；

⑷原命題的逆否命題:如果非q,則非p.

練習(xí)2|：寫(xiě)出命題“若/(x)=sinx,則/(x)是周期函數(shù)”的逆命題，否命題，逆否命題.并判斷這四個(gè)

命題的真假.

答案:原命題：真；逆命題：若/(x)是周期函數(shù)，則/(x)=sinx;假

否命題：若/(x)wsinx,則/(x)不是周期函數(shù)；假；

逆否命題：若/(x)不是周期函數(shù)，則/(x)xsinx.真.

：寫(xiě)出命題“若則a-l>b-1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四個(gè)命題的真假.

原命題：真；逆命題：若a—l>b—1,則a>b,真；

B否命題：若aWb,則a—1W6-1,真；

逆否命題：若a-lW6—1,則真.

有時(shí)我們會(huì)遇到有大前提的命題，對(duì)于這類(lèi)命題，寫(xiě)它的逆命題，否命題與逆否命題時(shí)，大前提

不變.所以對(duì)于一個(gè)命題，我們需要區(qū)分大前提與命題的條件.如：命題：已知a,人是實(shí)數(shù)，若a>b,

則a2>〃.它的逆命題為：已知叫人是實(shí)數(shù)，若合>〃，則否命題為：已知a,b是實(shí)數(shù)，若aWb,

則逆否命題：已知a,人是實(shí)數(shù)，若/W尸，則aWb.這四個(gè)命題都是假命題.

命題的四種形式的真假有什么聯(lián)系呢？

2.命題“如果p,則二'的四種形式之間有如下關(guān)系：

⑴逆命題與否命題互為逆否命題；

⑵互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)(同真或同假).因此證明原命題，也可以改證它的逆否命題.

⑶互逆或互否的兩個(gè)命題不等價(jià).

原命題與它的逆命題以及否命題的

真假都沒(méi)有關(guān)系，但在現(xiàn)實(shí)生活中，我們有時(shí)卻會(huì)錯(cuò)用推理，把否命題的真假或者逆命題的真假與原

命題建立起聯(lián)系來(lái)：

如：有人想反駁“錢(qián)不是萬(wàn)能的”.給出的理由是：沒(méi)有錢(qián)是萬(wàn)萬(wàn)不能的.這個(gè)邏輯對(duì)嗎？應(yīng)該怎

樣給出理由呢？如果直接反駁，前提是某人有錢(qián)，但是有辦不到的事情.

再如：有人想討論：科技能不能帶來(lái)社會(huì)發(fā)展.思考方向是：沒(méi)有科技的時(shí)候社會(huì)發(fā)展很慢.

再如：我們都知道如果小亮對(duì)小雪有意思，則小亮?xí)?duì)小雪好.

現(xiàn)在小雪尋思：小亮對(duì)我挺好的，他應(yīng)該對(duì)我有意思，這個(gè)推理有問(wèn)題嗎？

因?yàn)樵}與它的逆否命題等價(jià)，所以要論證原命題正確，可以通過(guò)論證它的逆否命題正確，但

不能通過(guò)論證它的逆命題正確，或者論證它的否命題的正確或錯(cuò)誤.比如，如果小亮對(duì)小雪不好，那

么一定能推出小亮對(duì)小雪沒(méi)有意思.

3.注意命題的否定與否命題之間的區(qū)別.命題的否定與原來(lái)命題的真假一定是不同的，而否命題與原

命題之間的真假?zèng)]有關(guān)系.

〈備注〉這一部分內(nèi)容我們到同步再展開(kāi)講解.

經(jīng)典精講

【例4】★★若a,b,ceR,寫(xiě)出命題”若ac<0,則如?+法+°=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、

否命題、逆否命題，并判斷這三個(gè)命題的真假.

【解析】逆命題：a,b,ceR,若ox?+/?x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0;假命題.

否命題：a,b,ceR,若ac'O,則方程or?+fex+c=O沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

假命題.

逆否命題：a,b,ceR,若ax?+fov+c=O沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則aCO;

真命題.

尖子班學(xué)案2

【拓2】給出以下四個(gè)命題：

①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題；

②“如果兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等”的否命題；

③“若qW-1,貝吐+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；

④“不等邊三角形的三內(nèi)角相等”的逆否命題.

其中真命題是（）

A.①②B.②③C.①③D.（3）@

【解析】C

目標(biāo)班學(xué)案2

【拓3】⑴原命題：設(shè)a,b,ceR,若a>b,則公2>秘2,以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，

真命題共有（）個(gè).

A.0B.IC.2D.4

（2）命題“已知a,匕，c,deR,a+b^c+d,貝！Iawc或6w4”是（填“真''或"假"）命題.

【解析】⑴C；

⑵真命題.

“充分必要條件”引入

2013北約人文科學(xué)基礎(chǔ)科目考了這樣一道選擇題：

如果你是明智的牛奶廠家，你會(huì)采用下面哪一句廣告詞：（）

A.只要喝“飛鹿”牛奶，就有好身體

B.一喝“飛鹿”牛奶，就好身體

C.只有喝“飛鹿”牛奶，才有好身體

10

分析：我們看A與C:

對(duì)于A選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，喝了“飛鹿”牛奶就足以保證有好身體了，在這里，有了“飛鹿”牛奶這個(gè)條件,

就能保證好身體這個(gè)結(jié)論，這個(gè)條件是足夠的，充分的；

對(duì)于C選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，想要有好身體必須有“飛鹿”牛奶，但有了“飛鹿”牛奶，能不能保證有好身體

不知道.在這里，想有好身體，必須要喝“飛鹿”牛奶，這是必要的，這個(gè)說(shuō)法明顯是虛假的.而

且，喝了是不是能保證有好身體呢，還不好說(shuō)，這樣的條件是必要的條件.

B選項(xiàng)也是充分條件，但是“一…就...”時(shí)間上的緊迫性太強(qiáng)，容易被質(zhì)疑，而A強(qiáng)調(diào)的是效果,

所以A更合適.

1.4充分必要條件

考點(diǎn)5：充分必要條件

知識(shí)點(diǎn)睛

1.當(dāng)命題“如果〃，則經(jīng)過(guò)推理證明斷定是真命題時(shí)，我們就說(shuō)則〃可以推出q,記作夕=4,讀

作“p推出g”.

2.如果可推出外則稱(chēng)〃是q的充分條件，q是p的必要條件.

一般地，如果pnq,且gnp,則稱(chēng)，是g的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)〃是q的充要條件，記作

poq,顯然夕也是p的充要條件，此時(shí)又常說(shuō)“q當(dāng)且僅當(dāng)p“或"p與q等價(jià)”.

如果p=>4，且4%p,則稱(chēng)。是q的充分不必要條件，稱(chēng)q為p的必要不充分條件.

〈教師備案〉充分必要條件是一種相互關(guān)系，只能說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的充分或必要條件，不能直接說(shuō)誰(shuí)是充分或

必要條件.

必要性是排外的，在集合的問(wèn)題中，如果A是B的必要條件，一般來(lái)說(shuō)A的范圍更廣、

更基礎(chǔ)，才可能是必要的.如：x>l是x>2的必要條件；再比如是動(dòng)物與是人誰(shuí)是必要

呢，一定是是動(dòng)物更必要，也就是說(shuō)甲是動(dòng)物是甲是人的必要條件.因?yàn)閯?dòng)物的范圍更

大.又因?yàn)楸匾獥l件是基礎(chǔ)，所以必要條件往往不能推出什么，我們不能由甲是動(dòng)物推出

甲是人，也不能由x>l推出x>2.

而充分的條件呢，不一定全面，含義是只要有就行了，弱水三千，只取一瓢飲.比如x=100

是的充分條件，充分條件是更嚴(yán)格的，范圍更小的條件.

經(jīng)典精講

【例5】自用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空.

(1)A：=B：向量。=(，〃+2,3膽)與向量力=(根-2,機(jī)+2)垂直，則A是8的

________條件.

⑵已知x,yeR,(x-1?+(y-2>=0是(x—l)(y-2)=0的條件；

⑶A：f-4x-5<0,B：\x-2\<2,則A是B成立的條件；

⑷A：log,(|x|-3)>0,B：x2--x+->0,則A是8成立的條件.

【解析】（1）充分不必要;

⑵充分不必要;

（3）必要不充分；

（4）充分不必要；

提高班學(xué)案3

【拓1】用"充分不必要”、“必要不充分"、"充要''和"既不充分也不必要”填空.

（1）對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,“x+y*8”是或yx6”的條件.

⑵|x+y|=|x|+|y|是盯20的條件.

【解析】（D充分不必要條件；

（2）充要條件；

尖子班學(xué)案3

【拓2】6（2010陜西卷理9）對(duì)于數(shù)列｛凡｝,“4,|>同（〃=1,2,）”是”｛4｝為遞增數(shù)列”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（2）（2010山東卷文7）設(shè)｛““｝是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“4</”是“數(shù)列｛可｝是遞增數(shù)

歹的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】⑴B

（2）C

目標(biāo)班學(xué)案3

【拓3】已知命題~<2；-2x+l-〃/W0（〃?>0）,若力是—17的充分非必要條件，求

實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【解析】，"的取值范圍為（0,3].

也可以先將題目條件轉(zhuǎn)化為〃是q的必要非充分條件，再求解.

【例6】?jī)?nèi)在下列結(jié)論中，正確的有.

①為真”是“pvq為真”的充分不必要條件;

②"pA"為假”是“pvq為真”的充分不必要條件;

③“pvq為真”是“pw為真”的充分不必要條件;

④“pvq為真”是“-P為假”的必要不充分條件；

⑤“一/?為真''是"pAq為假”的必要不充分條件.

12

【解析】①④;

充要條件這一塊要特別注意題目的寫(xiě)法，通常的寫(xiě)法是〃是q的充分/必要條件，在出現(xiàn)另一種

寫(xiě)法：p的充分/必要條件是g時(shí)，這可以通過(guò)分析句子主干得到，轉(zhuǎn)化為誰(shuí)是誰(shuí)的條件.

如：的充分條件是q,主干是條件是g,即夕是p的充分條件，故為4np.

同樣：/?的必要條件是g,主干是條件是q,即夕是〃的必要條件，故為p=