廣東省河源市燈塔中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是1.5，則正視圖中的x的值是

A.2

B.4.5

C.1.5

D.3參考答案：C由三視圖可知：原幾何體是一個四棱錐，其中底面是一個上、下、高分別為1、2、2的直角梯形，一條長為x的側(cè)棱垂直于底面．

則體積為=，解得x=1.5．2.若雙曲線x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右頂點分別為A、B，點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點，若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是(

) A． B． C． D．參考答案：D考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)P（m，n），得直線PA、PB的斜率KPA和KPB滿足：KPA?KPB=，由點P是雙曲線x2﹣y2=a2上的點，得n2=m2﹣a2，整理得KPA?KPB=1．由斜率與傾斜角的關(guān)系，得tanα?tanβ=1，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，得α+β=，最后根據(jù)β=α化簡整理，即可得到本題的答案．解答： 解：∵雙曲線方程為x2﹣y2=a2，即﹣=1（a＞0）∴雙曲線的左頂點為A（﹣a，0），右頂點為B（a，0）設(shè)P（m，n），得直線PA的斜率為KPA=；直線PB的斜率為KPB=∴KPA?KPB=…（1）∵P（m，n）是雙曲線x2﹣y2=a2上的點，∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得KPA?KPB=1，∵直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，得tanα=KPA，tanβ=KPB，∴tanα?tanβ=1，∵P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點，得α、β均為銳角∴α+β=（k+1）α=，解之得α=，故選D．點評：本題給出等軸雙曲線上一點P，求P與兩個頂點連線的傾斜角之間的一個關(guān)系式，著重考查了直線的斜率、三角函數(shù)公式和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．3.函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)所在區(qū)間是（

） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）參考答案：C略4.設(shè)全集是實數(shù)集,,則（

）A． B．C． D．參考答案：A5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(,0),B(1,2),動點P滿足,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],則所有點P構(gòu)成的圖形面積為（A）1 （B）2 （C） （D）2參考答案：C本題考查向量坐標(biāo)運算,線性規(guī)劃.設(shè),則所有點P構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分）故選C6.若均為單位向量，且，則的最小值為 （

） A．

B．1

C．

D．參考答案：A,因為，且，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，最小為，所以，即的最小值為。選A.7.已知函數(shù)，則（

）A.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對稱B.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對稱C.y=f(x)的周期為1，其圖象關(guān)于直線對稱D.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對稱參考答案：A，∴，令，解得：當(dāng)時，得到圖象的一條對稱軸為.故選：A8.已知平面向量，，則與的夾角為A.

B．

C.

D.參考答案：B，，與的夾角為，故選B.9.對于實數(shù)和，定義運算，運算原理如右圖所示，則式子的值為（

）A．8

B．10 C．12

D．參考答案：C10.已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是

．參考答案：設(shè)圓柱的底面半徑為，母線為，則，所以。12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點，△ABC的頂點C在雙曲線的右支上，則的值是

．參考答案：13.若為兩個不同的平面，m、n為不同直線，下列推理:①若；②若直線；③若直線m//n，；④若平面直線n；其中正確說法的序號是________.參考答案：略14.在正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱，

則正三棱錐外接球的表面積為____

_.參考答案：36π略15.已知銳角A，B滿足tan(A＋B)＝2tanA，則tanB的最大值是

▲

．參考答案：16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面積為，則△ABC周長的最小值為______.參考答案：6【分析】根據(jù)正弦定理化簡題目所給表達式，求得的值，由此求得的大小，根據(jù)三角形的面積公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，進而求得的最小值.【詳解】由，得，即，因為，所以，所以，所以.由，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立），則，可得，故.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查利用基本不等式求和的最小值，屬于中檔題.17.觀察下列不等式：①＜1；②；③；…則第5個不等式為

．參考答案：考點：歸納推理；進行簡單的合情推理．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：前3個不等式有這樣的特點，第一個不等式含1項，第二個不等式含2項，第三個不等式含3項，且每一項的分子都是1，分母都含有根式，根號內(nèi)數(shù)字的規(guī)律是2；2，6；2，12；由此可知，第n個不等式左邊應(yīng)含有n項，每一項分子都是1，分母中根號內(nèi)的數(shù)的差構(gòu)成等差數(shù)列，不等式的右邊應(yīng)是根號內(nèi)的序號數(shù)．解答： 解：由①＜1；②+；③；歸納可知第四個不等式應(yīng)為；第五個不等式應(yīng)為．故答案為．點評：本題考查了合情推理中的歸納推理，歸納推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納，然后提出猜想的推理．是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.點外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢.某配餐店為擴大品牌影響力，決定對新顧客實行讓利促銷，規(guī)定：凡點餐的新顧客均可獲贈10元或者16元代金券一張，中獎率分別為和，每人限點一餐，且100%中獎.現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁四位員工決定點餐試吃.(Ⅰ)求這四人中至多一人抽到16元代金券的概率；(Ⅱ)這四人中抽到10元、16元代金券的人數(shù)分別用X、Y表示，記，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(Ⅰ)解:設(shè)“四人中恰有i人獲贈16元代金券”為事件，其中i=0,1,2,3,4.

則由

………(2分)得.(5分)

(Ⅱ)解:隨機變量的所有可能取值為.

………(6分)，

（8分），

…(10分)，

………(11分)

∴隨機變量的分布列為034

…………(12分)

的數(shù)學(xué)期望.

………(13分)19.（2017?河北二模）已知關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此時a，b，c的值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，對x與m的范圍討論即可．（Ⅱ）構(gòu)造柯西不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|當(dāng)3≤x≤m，或m≤x≤3時取等號，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值為1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．由柯西不等式：（++1）（4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等號當(dāng)且僅當(dāng)4a=9b=c，且a+b+c=1時成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=，c=時，4a2+9b2+c2的最小值為．【點評】本題主要考查了絕對值不等式的幾何意義和解法以及柯西不等式的構(gòu)造思想．屬于中檔題．20.（本題滿分16分）

已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時，求證：.參考答案：解：（1），

當(dāng)時，；當(dāng)時，；函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)

-----------------------3分當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.，解得.

--------------------5分（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，又因為方程有實數(shù)解，那么，即，所以實數(shù)的取值范圍是：.

----------10分（另解：，，令，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值為當(dāng)方程有實數(shù)解時，.）（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，，即

----------12分即，而，結(jié)論成立.

-----------------16分21.已知函數(shù)f（x）=，曲線y=f（x）在點（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）是否存在常數(shù)k，使得對于定義域內(nèi)的任意x，f（x）＞+2恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）分離參數(shù)得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ），∵曲線y=f（x）在點（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．

（Ⅱ）∵恒成立，即，①當(dāng)x∈（0，1）時，lnx＜0，則恒成立，令，則g′（x）=，再令，則h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，所以當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②當(dāng)x∈（1，+∞）時，lnx＞0，則恒成立，由①可知，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2?k≤2；

綜合①②可得：k=2．22.（本小題滿分12分）2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為“國際數(shù)學(xué)節(jié)”，其來源是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的“數(shù)學(xué)嘉年