太原市2023年高三年級模擬考試（一）數(shù)學試卷（考試時間：下午3:00-5:00）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至4頁，第Ⅱ卷5至8頁。2．回答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考試編號填寫在答題卡上。3．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，寫在本試卷上無效。4．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡相應位置上，寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．設復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A．B．C．或D．或3．已知等比數(shù)列的前2項和為24，，則（）A．1B．C．D．4．的展開式中的系數(shù)為（）A．9B．10C．24D．255．在中，，，D為垂足，若，則（）A．B．C．D．6．算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字170．若在個、十、百、千位檔中，先隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．B．C．D．8．已知，分別為定義在上的函數(shù)和的導函數(shù)，且，，若是奇函數(shù)，則下列結論不正確的是（）A．函數(shù)的圖象關于點對稱B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．的最小正周期為B．的值域為C．的圖象是軸對稱圖形D．的圖象是中心對稱圖形10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，且，則下列結論正確的是（）A．雙曲線C的漸近線方程為B．若P是雙曲線C上的動點，則滿足的點P共有兩個C．D．內(nèi)切圓的半徑為11．已知正方體的棱長為4，E為側面的中心，F(xiàn)為棱的中點，P為線段上的動點，Q為上底面內(nèi)的動點，則下列結論正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則C．若恒成立，則線段FQ的最大值為D．當DQ與的所成角為時，點Q的軌跡為雙曲線的一部分12．已知函數(shù)，，若直線與曲線和分別相交于點，且，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，則與的夾角為_______．14．已知，，，則的最小值為_______．15．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩個不同點，若，，則直線AB的斜率為_______．16．已知函數(shù)有唯一的零點，則實數(shù)a的最大值為_______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列中，，為的前n項和，且也是等差數(shù)列．（1）求；2）設，求數(shù)列的前n項和．18．（本小題滿分12分）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，點D在BC上，，．（1）從下面條件①、②中選擇一個條件作為已知，求A；（2）在（1）的條件下，求面積的最大值．條件①：；條件②：．注：若條件①和條件②分別解答，則按第一個解答計分．19．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，，，且，，，直線PA與平面ABCD的所成角為，E，F(xiàn)分別是BC和PD的中點．（1）證明：平面PAB；（2）求平面PAB與平面PAD夾角的余弦值．20．（本小題滿分12分）某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成份的含量x（單位：）與藥效指標值y（單位：m）之間的關系，該公司研發(fā)部門進行了20次試驗，統(tǒng)計得到一組數(shù)據(jù)，其中分別表示第i次試驗中這種藥物成份的含量和相應的藥效指標值，且．（1）已知該組數(shù)據(jù)中y與x之間具有線性相關關系，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）據(jù)臨床經(jīng)驗，當藥效指標值y在內(nèi)時，藥品對人體是安全的，求該新藥中此藥物成份含量x的取值范圍；（3）該公司要用A與B兩套設備同時生產(chǎn)該種新藥，已知設備A的生產(chǎn)效率是設備B的2倍，設備A生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設備B生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設備A與B生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨立．（i）從該公司生產(chǎn)的新藥中隨機抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；（ii）在該新藥產(chǎn)品檢驗中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設備A生產(chǎn)的概率．參考公式：，．21．（本小題滿分12分）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，其離心率，直線AB與圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與橢圓C相交于P，Q兩個不同點，過點P作x軸的垂線分別與AB，AQ相交于點D和N，證明：D是PN中點．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若恰有三個不同的極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，證明：①；②．太原市2023年高三年級模擬考試（一）數(shù)學試題參考答案及評分標準一、選擇題：ACDBACDC二、選擇題：9．BC10．ACD11．AC12．AD三、填空題：13．14．115．16．四、解答題：17．解：（1）設的公差為d，∵是等差數(shù)列，∴，∴，∴，∴；5分（2）由（1）得，∴，8分∴．10分18．解：（1）選擇條件①：，由題意可得，由正弦定理得，3分由余弦定理可得，∴，∵，∴；6分選擇條件②：，由題意可得，即，由正弦定理得，3分由余弦定理得，∵，∴；6分（2）由（1）得，∵，∴，∴，9分∴，∴，∴，當且僅當，時，的面積取最大值．12分19解：（1）取AD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，∵F是PD的中點，∴，∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB，同理可得平面PAB，3分∵，平面GEF，平面GEF，∴平面平面PAB，∴平面PAB；6分（2）以點A為原點，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，∵，直線PA與平面ABCD的所成角為，∴點P的豎坐標，又∵，∴點P的橫坐標，縱坐標，∴，8分設是平面PAB的一個法向量，則∴令，則，∴，設是平面PAD的一個法，則∴令，則，∴，10分∴，∴平面PAB與平面PAD夾角的余弦值為．12分20．解:（1）∵，∴，∴，∴，∴y關于x的線性經(jīng)驗回歸方程為；3分（2）由（1）得，∵，∴，∴該新藥中此藥物成份含量x的取值范圍為；5分（3）（i）設“隨機抽取一件新藥，是設備A生產(chǎn)的”，則“隨機抽取一件新藥，是設備B生產(chǎn)的”，“隨機抽取一件新藥為不合格品”，由題意得，，，，∴；8分（ii）設“抽到一件不合格的新藥，它是設備A生產(chǎn)的”，則，10分設X表示三件不合格新藥來自設備A生產(chǎn)的件數(shù)，則，所求事件的概率為．12分21．解：（1）由題意可得直線AB的方程為，即，∵直線AB與圓相切，∴，∴，∵，，∴，由可得∴橢圓C的方程為；4分（2）由題意可設，由（1）得，，則直線AB的方程為，∴，直線AQ的方程為，∴，設直線PQ的方程為，，由得，∴，，8分∴，∵，∴，∴D是PN中點．12分22．解：（1）由題意得，，∴，①當時，，∴在上遞增，當時，，∴在上遞減，當時，，∴在上遞增，∴只有一個極值點，此時不符合題意；2分②當時，令，即，則和是方程的兩個實數(shù)解，且，∴在和上遞增，在上遞減，且，3分∵，，∴，，∴在上存在唯一零點，∵，，∴，，∴在上存在唯一