山西省大同市小村鄉(xiāng)辛寨中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.參考答案：B略2.將兩個(gè)數(shù)交換,使,下面語(yǔ)句正確一組是(

)參考答案：B3.用三段論推理：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2＞0”，你認(rèn)為這個(gè)推理(

) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．是正確的參考答案：A考點(diǎn)：演繹推理的基本方法．專(zhuān)題：常規(guī)題型．分析：要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確，根據(jù)三個(gè)方面都正確，得到結(jié)論．解答： 解：∵任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2＞0，大前提：任何實(shí)數(shù)的平方大于0是不正確的，0的平方就不大于0．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的演繹推理，這種問(wèn)題不用進(jìn)行運(yùn)算，只要根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，判斷這種說(shuō)法是否正確，是一個(gè)基礎(chǔ)題．4.已知集合，，則（）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略5.兩名男生和兩名女生隨機(jī)站成一排照相，則兩名男生相鄰的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用捆綁法求出兩名男生相鄰的情況種數(shù)，再根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【詳解】?jī)擅猩噜彽那闆r共有：種則兩名男生相鄰的概率本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型求解概率問(wèn)題，關(guān)鍵是利用捆綁法求出符合要求的情況種數(shù).6.已知函數(shù)，或，且，則A.

B.C.

D.與的大小不能確定參考答案：C7.已知集合A=則AB= (

)A．{1,2}

B．{1，2，3}

C．{1，2，3，4}

D．參考答案：D略8.若，，且和的等差中項(xiàng)是1，則的最小值為(

)A. B. C. D.1參考答案：B9.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn))，則k的值為 (A)或(B)

(C)或

(D)參考答案：A10.設(shè)，則下列大小關(guān)系式成立的是(

).A.

B.C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下面一組等式：S1=1，S2=2+3+4=9，S3=3+4+5+6+7=25，S4=4+5+6+7+8+9+10=49，…根據(jù)上面等式猜測(cè)S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），則a2+b2=

．參考答案：25【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】利用所給等式，對(duì)猜測(cè)S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），進(jìn)行賦值，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，S1=（4×?1﹣3）（a+b）=a+b=1，①當(dāng)n=2時(shí)，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②，由①②解得a=4，b=﹣3，∴a2+b2=16+9=25，故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理，根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理12.已知的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為-14，則a=_______．參考答案：4【分析】首先寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于a的方程，解方程可得a的值.【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知的展開(kāi)式為：，分別令，結(jié)合題意可得項(xiàng)的系數(shù)為：，故，解得：.【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．13.已知地鐵列車(chē)每10分鐘一班，在車(chē)站停1分鐘，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是__________________________。參考答案：14.中，三邊長(zhǎng)分別為，則

。參考答案：15.在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，它的前10項(xiàng)和=__________．參考答案：略16.已知偶函數(shù)滿(mǎn)足，則的解集為_(kāi)_________．參考答案：17.拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿(mǎn)足a1+a2=4，a32=a2a6；設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn=．（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正項(xiàng)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn=．b1=，解得b1．n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，∴a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q=2，a1=2．∴an=2n．正項(xiàng)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn=．∴b1=，解得b1=1．n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化為：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，∴bn﹣bn﹣1=2，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差為2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）?2n，∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1）?2n+1=（3﹣2n）?2n+1﹣6，∴Tn=（2n﹣3）?2n+1+6．19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的左焦點(diǎn)是F1，離心率為，且C上任意一點(diǎn)P到F1的最短距離為.（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與C交于兩點(diǎn)E、F，M為線段EF的中點(diǎn).（i）證明：直線OM與l的斜率乘積為定值；（ii）求△OEF面積的最大值及此時(shí)l的斜率.參考答案：（1）由題意得，解得，∴，，∴橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)直線為：，，，，由題意得，∴，∴，即，由韋達(dá)定理得：，，∴，，∴，∴，∴直線與的斜率乘積為定值.（ii）由（i）可知：，又點(diǎn)到直線的距離，∴的面積，令，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，且滿(mǎn)足，∴面積的最大值是，此時(shí)的斜率為.20.(本小題共12分)如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，(Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定（Ⅱ）求線段的長(zhǎng)的最小值；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或（Ⅰ），令，則由題設(shè)可知，∴直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以，（），從而有.（Ⅱ）由題設(shè)可以得到直線的方程為，直線的方程為，由，

由，直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn).

又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到，故線段長(zhǎng)的最小值是.（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有，又，所以以為直徑的圓的方程為，令解得，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和.21.（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：22.某財(cái)經(jīng)頻道報(bào)道了某地建筑市場(chǎng)存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大學(xué)實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)抽取了60個(gè)樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

混凝土耐久性達(dá)標(biāo)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)總計(jì)使用淡化海砂25t30使用未經(jīng)淡化海砂s1530總計(jì)402060

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出s，t的值，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？（Ⅱ）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個(gè)，現(xiàn)從這6個(gè)樣本中任取2個(gè)，則取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k0）0.100.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828

參考公式：．參考答案：（Ⅰ）,能；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）由圖易知，然后由已知數(shù)據(jù)，利用公式得通過(guò)查表可知能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)；（Ⅱ）由圖可知使用淡化海砂的樣本中混凝土耐久性達(dá)標(biāo)與不達(dá)標(biāo)的比例為25:5，即5:1.從而知這6個(gè)樣本中“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的為5，混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的為1.再計(jì)算從這6個(gè)樣本中任取2個(gè)的基本事件總數(shù)，以及取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的對(duì)立事件數(shù)，再利用古典概率的公式即可得到所求概率.試題解析：（Ⅰ）(2分)假設(shè)：是否使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)無(wú)關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：因此，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)．(6分)（Ⅱ）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣