關于概率隨機變量函數(shù)第1頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:

當隨機變量X,Y的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?第2頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例1若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布第3頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三解依題意

例2若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.第4頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.第5頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例3設X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.第6頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序第7頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三由概率密度與分布函數(shù)的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.第8頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式第9頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4

若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即第10頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是第11頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例5

若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式第12頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第13頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第14頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:第15頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)第16頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)第17頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:第18頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有第19頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

例6

設系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY第20頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三XY解(i)串聯(lián)的情況

由于當系統(tǒng)中有一個損壞時,系統(tǒng)L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數(shù)為第21頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三當

x>0時,當

x0時,故類似地,

可求得Y的分布函數(shù)為第22頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為第23頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三XY(ii)并聯(lián)的情況

由于當且僅當系統(tǒng)都損壞時,系統(tǒng)L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數(shù)為第24頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個系統(tǒng)L的壽命為

由于當系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)才開始工作,第25頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三當

z0時,當

z>0時,當且僅當即時,上述積分的被積函數(shù)不等于零.故第26頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三于是的概率密度為第27頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.第28頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三三