1.2.1任意角的三角函數(shù)定義學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；2.知道正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,能初步利用定義,分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題;3.理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；在初中階段,我們對在直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義如下：zxxk①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù):③正切函數(shù)：復(fù)習(xí)回顧cbaBAC┏為了研究任意角的三角函數(shù),我們先在平面上建立一個直角坐標(biāo)系xoy,將任意角α的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊放在x軸的非負(fù)半軸上,設(shè)OP為它的終邊,如右圖：一.任意角三角函數(shù)的定義xyoPM知識建構(gòu)在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r.xyoPM【探究1】比值是否因?yàn)镻(a,b)點(diǎn)在終邊上的位置發(fā)生變化而變化？結(jié)論:三個比值都不會隨點(diǎn)P在α終邊上的位置變化而改變.xyoPMzxxkMAPoyx【探究1】比值是否因?yàn)镻(a,b)點(diǎn)在終邊上的位置發(fā)生變化而變化？即當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在單位圓上時,正弦函數(shù)值,余弦函數(shù)值,正切函數(shù)值會有什么樣的結(jié)果？設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓(在直角坐標(biāo)系中,稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓)交于點(diǎn)P(x,y).MAPoyx當(dāng)角α是其它象限角時,它的三角函數(shù)的定義也是一樣．設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).MAPoyxy叫α的正弦：x叫α的余弦：叫α的正切：我們把正弦、余弦,正切,都看成是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),以上三種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．(3)三角函數(shù)是比值,是一個實(shí)數(shù),這個實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無關(guān),只由角α的終邊位置決定,即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).對三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)是一種函數(shù),它滿足函數(shù)的定義,可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應(yīng).(2)三角函數(shù)是用坐標(biāo)的比值來定義的,所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)是比值,是一個實(shí)數(shù),這個實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無關(guān),只由角α的終邊位置決定,即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).對三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)是一種函數(shù),它滿足函數(shù)的定義,可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應(yīng).(2)三角函數(shù)是用坐標(biāo)的比值來定義的,所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)是比值,是一個實(shí)數(shù),這個實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無關(guān),只由角α的終邊位置決定,即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).對三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)是一種函數(shù),它滿足函數(shù)的定義,可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應(yīng).(2)三角函數(shù)是用坐標(biāo)的比值來定義的,所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)：上面三個函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)思考:如果角α確定,其值sinα=y是否唯一確定?同理,【探究2】三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域RR單位圓中解:在直角坐標(biāo)系中,作例1.求的正弦、余弦和正切值.易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為BAoyx┓

1.利用三角函數(shù)的定義求的三個三角函數(shù)值.練一練BAoyx┓解:在直角坐標(biāo)系中,作易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為【探究3】如果已知角終邊上一點(diǎn),而這個點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢?前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無關(guān),僅與角α的大小有關(guān).點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離oyx設(shè)角是一個任意角，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離那么①叫做的正弦，即

②叫做的余弦，即③叫做的正切，即二.任意角的三角函數(shù)第二定義：xyMP(x,y)例2.已知角α

終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角α

的正弦、余弦和正切值.解:∵x＝-3,y＝-4,Oyx

2.已知角的終邊過點(diǎn),

求的三個三角函數(shù)值.于是,解:由已知可得：練一練【探究4】三角函數(shù)在各個象限的符號一全正、二正弦、三正切、四余弦xyoxyoxyo例3求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時,角為第三象限角.①

②證明：因?yàn)棰偈匠闪?所以角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；又因?yàn)棰谑匠闪?，所以角的終邊可能位于第一或第三象限.因?yàn)棰佗谑蕉汲闪ⅲ越堑慕K邊只能位于第三象限.于是角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明.2.下列各式為正值的是（）A.cos2B.cos2sin2C.tan2cos2D.sin2tan2C3.若lg(sintan)有意義,則是（）A.第一象限角B.第四象限角C.第一象限角或第四象限角D.第一或第四象限角或x軸的正半軸C第三象限練一練終邊相同終邊相同的角的集合:點(diǎn)的坐標(biāo)相同同一函數(shù)值相等公式一：思考：如果兩個角的終邊相同,那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值

.例4確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）（2）（3）解：（1）因?yàn)槭堑谌笙藿牵?；?）因?yàn)?，而是第一象限角，所以；練習(xí):確定下列三角函數(shù)值的符號（3）因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所?C檢測1.利用三角函數(shù)的定義求的三個三角函數(shù)的值.2.若a是第二象限角,則點(diǎn)P(sina,cosa)在第___象限.3.sin2cos3tan4的值____0(填大于,等于或小于)4.若三角形的兩內(nèi)角A,B滿足sinAcosB<0,則此三角形的形狀為()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定5.已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(-4a,3a)(a≠0),則2sinθ+cosθ的值是()A.B.C.或