近五年高考數學真題分類匯編九、計數原理（答案解析）1．C【分析】采用插空法，4個1產生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.【解析】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.2．C【解析】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.3．C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【解析】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.4．C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【解析】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C5．C【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【小結】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．6．C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數和乘法計數原理求解.【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【小結】本小題主要考查分步計數原理和組合數的計算，屬于基礎題.7．C【分析】根據原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【解析】根據題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數之和為10．故選：C．【小結】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎題．8．C【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數，問題得解.【解析】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數為，在中，令，可得：，該項中的系數為所以的系數為故選：C【小結】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及分析能力，屬于中檔題.9．D【分析】男女生人數相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.【解析】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【小結】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數學建模和數學運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉化的思想解題．10．A【分析】本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數．【解析】由題意得x3的系數為，故選A．【小結】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數．11．A【分析】本題主要考查利用兩個計數原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統文化、數學計算等數學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【解析】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【小結】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．12．C【解析】分析：寫出，然后可得結果解析：由題可得令,則所以故選C.小結：本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．13．C【解析】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數為；當時，展開式中的系數為，則的系數為.故選C.14．C【解析】因為，則展開式中含的項為，展開式中含的項為，故的系數為，選C.小結:對于兩個二項式乘積的問題，用第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項，分析含的項共有幾項，進行相加即可.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構成這一項的具體情況，尤其是兩個二項展開式中的不同.15．D【解析】4項工作分成3組,可得：=6，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.16．D【解析】4項工作分成3組,可得：=6，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.17．;.【分析】根據二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.【解析】，，所以，，所以.故答案為：.18．【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數問題，考查學生的數學運算能力，是一道基礎題.19．【分析】本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數，屬于常規(guī)題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據要求，考察的冪指數，使問題得解.【解析】的通項為可得常數項為，因系數為有理數，，有共5個項【小結】此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數”不能記混，其次，計算要細心，確保結果正確.20．164【解析】由二項式展開式可得通項公式為：，分別取和可得，取，可得．【小結】本題主要考查二項式定理的通項與系數，屬于簡單題．二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項式定理的應用．21．10【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數為2，即可求出．【解析】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數為．故答案為：．【小結】本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎題．22．【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數項.【解析】其二項式展開通項：當，解得的展開式中常數項是：.故答案為：.【小結】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.23．【分析】根據題意，有且只有2名同學在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數原理得解.【解析】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：根據分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【小結】本題主要考查了計數原理的綜合應用，解題關鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.24．【分析】根據二項展開式的通項公式得出通項，根據方程思想得出的值，再求出其常數項．【解析】，由，得，所以的常數項為.【小結】本題考查二項式定理的應用，牢記常數項是由指數冪為0求得的．25．15【分析】寫出二項展開式通項，通過得到，從而求得常數項.【解析】二項展開式通項為：當時，常數項為：本題正確結果：【小結】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.26．24【分析】首先安排甲，可知連續(xù)天的情況共有種，其余的人全排列，相乘得到結果.【解析】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種【小結】本題考查基礎的排列組合問題，解題的關鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優(yōu)先考慮，然后再考慮普通元素.27．21.【分析】利用二項式展開式的通項公式求得展開式中x2的系數．【解析】二項式（1+x）7展開式的通項公式為Tr+1=?xr，令r=2，得展開式中x2的系數為=21．故答案為21．【小結】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.28．1260.【解析】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據分類與分步計數原理計數.解析：若不取零，則排列數為若取零，則排列數為因此一共有個沒有重復數字的四位數.小結：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.29．7【解析】分析:先根據二項式展開式的通項公式寫出第r+1項，再根據項的次數為零解得r，代入即得結果.解析：二項式的展開式的通項公式為,令得，故所求的常數項為小結：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數的值，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出特定項的系數.30．.【分析】由題意結合二項式定理展開式的通項公式得到的值，然后求解的系數即可.【解析】結合二項式定理的通項公式有：，令可得：，則的系數為：.【小結】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注意二項式系數中和的隱含條件，即、均為非負整數，且，如常數項指數為零、有理項指數為整數等）)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解．31．【分析】首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數，之后應用減法運算，求得結果.【解析】根據題意，沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【小結】該題是一道關于組合計數的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.32．1080【解析】33．【解析】（1+