高中物理解題方法之8：波函數(shù)法（解析版）江蘇省特級教師戴儒京內(nèi)容提要：關(guān)于“振動和波”的題目，本文除了用傳統(tǒng)方法解以外，還用另一種方法——鮮為人知的“波函數(shù)法”去解，波函數(shù)法比傳統(tǒng)方法更“數(shù)學(xué)”一些，也是培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力”吧。關(guān)鍵詞：波函數(shù)，振動方程，波動公式，振動和波，一、什么是波函數(shù)？波函數(shù)的定義：為了定量地描述介質(zhì)中波動的情況，必修求得介質(zhì)中各質(zhì)元的位移與該質(zhì)元所處的平衡位置及時間的定量關(guān)系，這種定量關(guān)系就是波的表達(dá)式，也叫做波函數(shù)（wavefunction）。二、簡諧波函數(shù)的推導(dǎo)設(shè)有一波前為平面的簡諧波，在均勻介質(zhì)中沿軸正方向傳播，波速為。由于這是一種平面波，所以在與軸垂直的平面上，各點的振動情況是一樣的。所以只要討論軸上各點的振動，就可以知道空間中各點的情況。以O(shè)點為波源，設(shè)該處質(zhì)元做簡諧振動，其位移與時間的關(guān)系為式中A為振幅，為角頻率。考察波線O上的任一點P，它離O點的距離為，當(dāng)波源O的振動傳到P點時，P點的質(zhì)元將重復(fù)O點的質(zhì)元的振動，角頻率也相同，但振動的相位要落后于O點。因為O點的振動傳到P點需要時間，所以P處質(zhì)元在時刻的振動相位和O點質(zhì)元在時刻的振動相位一樣，即其相位為因為平面簡諧波傳播時各質(zhì)元的振幅相等，P處質(zhì)元在時刻的位移為，這就是平面簡諧波的波函數(shù)。因為,,所以波函數(shù)也可以寫為當(dāng)取某一確定值時，波函數(shù)便是某質(zhì)點的振動方程，例如，便是振源O的振動方程。據(jù)此可以畫出該質(zhì)點的振動圖象。當(dāng)取某一確定值時，波函數(shù)便是某時刻的波動方程，例如，便是時刻的波動函數(shù)方程。據(jù)此可以畫出該時刻的波的圖象。三、波函數(shù)的應(yīng)用：解高考“振動與波”題振動與波的問題，歷來是高考的熱點。不論原大綱高考，還是新課標(biāo)高考，振動與波的問題，都占有一席之地。2010年高考的波的圖象問題，又有新動向。如2010年高考上海物理卷第20題，是一道關(guān)于波的圖象的難題，難在哪？難在兩點間的距離不是的整數(shù)倍，還難在波的傳播時間不是的整數(shù)倍，而以往的高考題往往都是的整數(shù)倍。筆者經(jīng)認(rèn)真研究，給出本題的不同于一般的解法：用波函數(shù)解，當(dāng)然，也就給出了此類題的此種解法。因為2010年高考其它省市的理綜或物理試卷中，關(guān)于機械振動和機械波的題目，也有此類情況，這，就是高考題的發(fā)展與變化的規(guī)律。例1.如圖1，一列沿軸正方向傳播的簡諧橫波，振幅為，波速為，在波的傳播方向上兩質(zhì)點的平衡位置相距（小于一個波長），當(dāng)質(zhì)點在波峰位置時，質(zhì)點在軸下方與軸相距的位置，則圖1（A）此波的周期可能為（B）此波的周期可能為（C）從此時刻起經(jīng)過，點可能在波谷位置（D）從此時刻起經(jīng)過，點可能在波峰位置解法1圖象法：形象思維解題法對AB選項，根據(jù)題意，有兩種情況：第1種情況：波的圖象如圖2，從圖象得，，，根據(jù)，，所以波長，周期，A正確。圖2第2種情況：波的圖象如圖3，從圖象得，，，，根據(jù)，，所以，波長，周期。圖3因為只有以上兩種情況，所以B錯誤。對CD選項，根據(jù)以上兩種情況，也有兩種有兩種對應(yīng)的情況：第1種情況：波長是的波，在波的圖象如圖4，從圖象知，b在波谷，所以C正確。圖4第2種情況，波長是的波，波的圖象如圖5，從圖象知，的在波峰，所以D正確。圖5綜上各圖，所以本題選ACD。解法2.波函數(shù)解法：抽象思維解題法波函數(shù)，在求出波長和周期后，第1種情況，振幅，周期，波長，所以具體波函數(shù)是，將和代入波函數(shù)得：，是波谷；所以C正確。第2種情況，振幅，周期，波長，所以具體波函數(shù)是，將和代入波函數(shù)得：，是波峰；所以D正確。所以本題選ACD。例2.有兩列簡諧橫波a、b在同一媒質(zhì)中沿x軸正方向傳播，波速均為v＝2.5m/s。在t＝0時，兩列波的波峰正好在x＝2.5m處重合，如圖所示。（1）求兩列波的周期Ta和Tb。（2）求t＝0時，兩列波的波峰重合處的所有位置。（3）辨析題：分析并判斷在t＝0時是否存在兩列波的波谷重合處。 某同學(xué)分析如下：既然兩列波的波峰存在重合處，那么波谷與波谷重合處也一定存在。只要找到這兩列波半波長的最小公倍數(shù)，……，即可得到波谷與波谷重合處的所有位置。 你認(rèn)為該同學(xué)的分析正確嗎？若正確，求出這些點的位置。若不正確，指出錯誤處并通過計算說明理由。分析：本題考查機械波的圖象和用數(shù)學(xué)方法解決物理問題。（1）從圖象可以直接讀出波長，然后根據(jù)波速公式求周期。（2）根據(jù)兩列波的波峰重合處的已知的一個位置，求兩列波的波長的最小公倍數(shù)，可求兩列波的波峰重合處的所有位置，因為每經(jīng)過一個波長就是一個波峰。原解答：（1）從圖中可以看出兩列波的波長分別為λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它們的周期分別為s＝1s s＝1.6s（2）兩列波的波長的最小公倍數(shù)為 S＝20m在t＝0時，兩列波的波峰重合處的所有位置為 x＝（2.520k）m，k＝0，1，2，3，…… （3）該同學(xué)的分析不正確。要找兩列波的波谷與波谷重合處，必須從波峰重合處出發(fā)，找到這兩列波半波長的奇數(shù)倍恰好相等的位置。設(shè)距離x＝2.5m為L處兩列波的波谷與波谷相遇，并設(shè)L＝（2m－1） L＝（2n－1），式中m、n均為正整數(shù)只要找到相應(yīng)的m、n即可將λa＝2.5m，λb＝4.0m代入并整理，得由于上式中m、n在整數(shù)范圍內(nèi)無解，所以不存在波谷與波谷重合處。本人原創(chuàng)解法：波函數(shù)解法（1）從圖中可以看出兩列波的波長分別為λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它們的周期分別為s＝1s s＝1.6s（2）從圖中可以求出在t＝0時兩列波的波函數(shù)分別為：，兩列波的波峰所有位置分別為：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）兩列波的波峰重合處的所有位置為，即=，，當(dāng)（k=0,1,2,3…）時,m為整數(shù)，所以當(dāng)（k=0,1,2,3…）時兩列波的波峰重合（包括第1此重合處，即k=0，x=2.5m處）。(3)兩列波的波谷所有位置分別為：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）兩列波的波谷重合處的位置應(yīng)該為，即+1.25=，，當(dāng)n=0,1,2,3,4,5…時，m=,,,,,…即m無論取什么值，n都不能為整數(shù)，所以兩列波的波谷重合處是沒有的。該同學(xué)的做法是：假設(shè)存在一個兩列波的波谷與波谷重合處，尋找另外的重合處，可用該同學(xué)的方法，該同學(xué)錯誤之處在于假設(shè)不成立，因為沒有一個兩列波的波谷與波谷重合處。此題在解題方法上給我們深刻的啟示：從此題可以看出，解題方法不能生搬硬套。本題中，已知一個兩列波的波峰與波峰重合處，求其它重合處，可用求波長的最小公倍數(shù)的方法。而該同學(xué)生搬硬套，還用求這兩列波半波長的最小公倍數(shù)的方法，雖然他注意了把波長的最小公倍數(shù)改為半波長的最小公倍數(shù)，仍然是錯誤的，因為第1個波谷與波谷重合處的假設(shè)不成立。例3．圖甲為一列簡諧橫波在t=0.10s時的波形圖，P是平衡位置為x=1m處的質(zhì)點，Q是平衡位置為x=4m處的質(zhì)點，圖乙為質(zhì)點Q的振動圖像，則（）A、t=0.15s時，質(zhì)點Q的加速度達(dá)到正向最大B、t=0.15s時，質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向C、從t=0.10s到t=0.25s，該波沿x軸正方向傳播了6mD、從t=0.10s到t=0.25s，質(zhì)點P通過的路程為30cm【答案】AB【分析】本題考查振動圖像和波動圖像的綜合應(yīng)用。由圖乙可知t=0.15s時，質(zhì)點Q到達(dá)波谷，其加速度達(dá)到正向最大，A選項正確；圖甲表示0.10s時的波形圖，t=0.10s時由圖乙可知質(zhì)點Q正經(jīng)過平衡位置向下振動，結(jié)合圖甲可知這列波向左傳播（因為波向左傳播，Q才處在“上坡”的位置，其運動方向才向下）。又由圖甲可知波長為8m，由圖乙可知周期為0.20s，波速v=λ/T=40m/s,從0.10s到0.15s時間段內(nèi)，波向左平移s=vt=2m。畫出此時的波形如下圖（將波向左平移2m）從圖可以發(fā)現(xiàn)，此時質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向，B選項正確；從t=0.10s到t=0.25s，該波沿x軸負(fù)方向傳播的距離s=vt=6m，C選項方向判斷錯誤；從t=0.10s到t=0.25s，經(jīng)過的時間為0.15s，等于即0.05s的3倍，質(zhì)點P做變速運動，通過的路程不能用來計算（從平衡位置或正負(fù)最大位移處開始計時，才能這樣算），實際路程不等于30cm（此處有的同學(xué)禁不住問：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案選擇AB。【進(jìn)一步研究】此題可用波函數(shù)定量地解。本題的波函數(shù)解法：因為時刻波方程是，波函數(shù)基本函數(shù)式是（因為本題波向左傳播，所以式中負(fù)號改為正號）由圖甲可知波長為8m，振幅為A=10cm,由圖乙可知周期為T=0.20s，所以本題波函數(shù)可以寫為==1\*GB3①A選項：Q點的振動方程是=2\*GB3②對=2\*GB3②式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)==3\*GB3③對=3\*GB3③式求導(dǎo)數(shù)得加速度函數(shù)1000=4\*GB3④將t=0.15s代入=4\*GB3④式得1000，是正最大，所以A正確；B選項：P點的振動方程是=5\*GB3⑤對=5\*GB3⑤式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)==6\*GB3⑥將t=0.15s代入=6\*GB3⑥式得=，為負(fù)，所以B正確；C選項：t=0.10s時的波函數(shù)可以寫為=cm===7\*GB3⑦t=0.25s時的波函數(shù)可以寫為=cm===8\*GB3⑧根據(jù)=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧兩式，用電子計算機Excel分別畫出t=0.10s時和t=0.25s時的圖象如下圖：從圖可以看出，從t=0.10s到t=0.15s，該波的波形從y1變成y2，該波沿x軸負(fù)方向傳播了6m，例如波峰從10到4，所以C錯誤。D選項：從上圖可以看出，t=0.10s時刻，質(zhì)點P（x=1）的位移為7cm，t=0.15s時刻，質(zhì)點P（x=1）的位移為-7cm，因為t=0.10s時刻和t=0.25s時刻質(zhì)點P的運動方向都是向上，所以t=0.10s到t=0.25s，質(zhì)點P通過的路程為3+10+10+3cm=26cm，所以D錯誤。注意：此處算出了從t=0.10s到t=0.25s，質(zhì)點P通過的路程，回答了同學(xué)的疑問。例4.在時刻，質(zhì)點A開始做簡諧運動，其振動圖象如圖乙所示。質(zhì)點A振動的周期是▲s；時，質(zhì)點A的運動沿軸的▲方向（填“正”或“負(fù)”）；質(zhì)點B在波動的傳播方向上與A相距16m，已知波的傳播速度為2m/s，在時，質(zhì)點B偏離平衡位置的位移是cm答案：（2）4正10解法1：圖象法從振動圖象可直接讀出周期為4s，把圖象延長，可以看出，時，質(zhì)點A的運動方向沿軸的正方向。先求波長，所以B與A相距16m，為2個波長，波從A傳播到B的時間為2個周期，即8，在時，質(zhì)點B振動了個周期，所以偏離平衡位置的位移大小等于振幅A，是10cm。解法2：波函數(shù)法本題的波函數(shù)為，其中，4s,，所以波函數(shù)為，對于A，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，質(zhì)點A的運動方向沿軸的正方向。對于B，，當(dāng)時，。點評：本題考查了振動圖象，振動方向，以及波的傳播。重要的是波傳播過程中時間與空間的對應(yīng)關(guān)系，即每經(jīng)過一個周期的時間，波傳播一個波長。本題是逆向應(yīng)用，即波傳播2個波長，對應(yīng)的時間是2個周期。例5.（1）圖1為一簡諧波在t=0時刻的波形圖，介質(zhì)中的質(zhì)點P做簡諧運動的表達(dá)式為y=Asin5t，求該波的速度，并畫出t=0.3s時的波形圖(至少畫出一個波長)?！窘馕?】分析法（1）由簡諧運動的表達(dá)式可知，所以，周期由波形圖讀出波長，代入波速公式得。t=0時刻質(zhì)點P向上運動，故波沿x軸正方向傳播。t=0.3s時波向右傳播了，即，波峰由傳播到，所以t=0.3s時的波形圖如圖2所示?！窘馕?】波函數(shù)法因為在t=0時刻，振源0點運動方向向下，所以波函數(shù)，已知p點，即當(dāng)時，y=Asin5t，所以,。并且，所以，所以波速當(dāng)t=0.3s時，，所以t=0.3s時的波形圖如圖2所示。例6.一列波長大于1m的橫波沿著軸正方向傳播，處在和的兩質(zhì)點、的振動圖像如圖所示。由此可知A．波長為mB．波速為C．末、兩質(zhì)點的位移相同D．末點的振動速度大于點的振動速度答案A【解析1】分析法，由于波沿x正方向傳播，所以A先振動，又由于波長大于1m，所以，所以，，A對，波速，B錯；由振動圖像知，在3s末，、兩質(zhì)點的位移不相同，C錯；1s末A點速度為零，B點速度最大，D錯?！窘馕?】波函數(shù)法從圖象知，A的振動方程為，B的振動方程為，因為A在前B在后，所以二者的相差是（不是）。根據(jù)波函數(shù)，對A，，對B，，所以有，解得，A正確。波速，所以B錯誤。CD判斷方法同上。例7．一簡諧振子沿軸振動，平衡位置在坐標(biāo)原點。＝0時刻振子的位移＝-0．1m；＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m。該振子的振幅和周期可能為(A．0．1m，B．0．1m，8C．0．2m，D．0．2m，8此為ACD)【解析】解法1：圖象法。對A，如圖1，知A正確。圖1對B，如圖2，知B錯誤，因，。圖2對C，有兩種可能情況：情況1，質(zhì)點在時刻運動方向向上，如圖3，正確。圖3情況2。質(zhì)點在時刻運動方向向下，如圖4，正確。圖4所以C正確。對D，情況1，質(zhì)點在時刻運動方向向上，如圖5，正確。圖5情況2如圖6，質(zhì)點在時刻運動方向向下，因為，。所以不正確。圖6綜合以上兩圖，D也選，因為選可能的。所以本題選ACD。解法2：公式法即波函數(shù)法波函數(shù)在x一定的情況下變?yōu)橘|(zhì)點的振動方程。對A，=,根據(jù)＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當(dāng)＝時刻＝0．1m；當(dāng)＝4時刻＝0．1m，A正確；對B，=,根據(jù)＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當(dāng)＝時刻=0．05m；B錯誤；對C，=,根據(jù)A=0．2m及

＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為（對應(yīng)圖3）：，當(dāng)＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m，正確；或者方程為（對應(yīng)圖4）m，當(dāng)＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m，也正確；所以C正確。對D，=，根據(jù)A=0．2m及＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當(dāng)＝時刻=0．1m，成立；當(dāng)＝時刻=0．1m，成立；或者振動方程為：，當(dāng)＝時刻==-0．2m，題干要求=0．1m，不成立；當(dāng)＝時刻=0．1m，成立；因為題目要求選可能的，所以D也可選；所以本題選ACD。解法3：用Excel作圖法。對C，對應(yīng)圖3為圖7，方程是：，圖7從圖7可以看出，當(dāng)＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；對應(yīng)圖4為圖8，方程是：，圖8從圖8可以看出，當(dāng)＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；兩圖綜合說明，C正確。對D，對應(yīng)圖5為圖9，方程是：，圖9從圖9可以看出，當(dāng)＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；對應(yīng)圖6為圖10，方程是：，圖10從圖10可以看出，當(dāng)＝時刻＝-0．2m；＝4時刻＝0．1m；因為凡可能者皆選，所以D也選。綜合以上，本題選ACD。解法4：物理情境分析法對CD兩項，設(shè)一彈簧振子，振幅A=0．2m，初始位置即時刻，在的A處，如圖11所示。初速度指向O，則從A到平衡位置的O處，用時間為，從O到位移為的B處，用時間為，從B到位移為即振幅的C處，用時間為，從C到位移為的B處，用時間為，圖11如圖12所示。初速度指向D，則從A到位移為的D處，用時間為，從D回到A，用時間為，然后從A到平衡位置O處，用時間為，對于C，因為周期為，所以當(dāng)＝時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子從A經(jīng)O、B．C又回到B，所以＝0．1m成立；當(dāng)＝4時刻，即的時間即一個T又內(nèi)，彈簧振子又回到B，所以＝0．1m成立；另一種情況，時刻，彈簧振子的初速度不是從A向O，而是從A向D，則當(dāng)＝時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子從A到D后，又經(jīng)A．O到B，所以＝0．1m成立；所以C正確。對于D，因為周期為，所以當(dāng)＝時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子從A經(jīng)O到B．所以＝0．1m成立；當(dāng)＝4時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子又經(jīng)C回到B，所以＝0．1m也成立；另一種情況，時刻，彈簧振子的初速度不是從A向O，而是從A向D，則當(dāng)＝時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子只能從A到D，＝-0．2m，所以＝0．1m不成立；但當(dāng)＝4時刻，即的時間內(nèi)，彈簧振子從A到D后又經(jīng)A．O到B，所以＝0．1m成立；雖然D項的兩種情況中只有一種情況成立，但因為題干中是“該振子的振幅和周期可能為”所以D也可選正確。因此，本題答案為ACD。本題考查波的圖象，出現(xiàn)非的整數(shù)倍的情況，難度：大。例7.一列橫波沿水平繩傳播，繩的一端在t＝0時開始做周期為T的簡諧運動，經(jīng)過時間t(T＜t＜T)，繩上某點位于平衡位置上方的最大位移處。則在2t時，該點位于平衡位置的(A)上方，且向上運動(B)上方，且向下運動(C)下方，且向上運動(D)下方，且向下運動【解析】波函數(shù)公式。為確定起見，我設(shè)波長，設(shè),符合條件(T＜t＜T)），則，則分別得到和時刻的波函數(shù)：=用Excel作圖如下，蘭線表示t時刻的波形，紅線表示2t時刻的波形。從圖象可以看出，在時刻位于平衡位置上方的最大位移處的某點（），在時刻位于平衡位置的上方。由于它前面的質(zhì)點在它的下面，所以該質(zhì)點向上運動，所以A正確?！敬鸢浮緼【點評】本題考查波的傳播，難度：難例8.如圖，a.b,c.d是均勻媒質(zhì)中x軸上的四個質(zhì)點.相鄰兩點的間距依次為2m、4m和6m，一列簡諧橫波以2m/s的波速沿x軸正向傳播，在t=O時刻到達(dá)質(zhì)點a處，質(zhì)點a由平衡位置開始豎直向下運動，t=3s時a第一次到達(dá)最高點。下列說法正確的是(填正確答案標(biāo)號。選對I個得3分，選對2個得4分，選對3個得6分。每選錯I個扣3分，最低得分為0分)A．在t=6s時刻波恰好傳到質(zhì)點d處B．在t=5s時刻質(zhì)點c恰好到達(dá)最高點C.質(zhì)點b開始振動后，其振動周期為4sD.在4s<t<6s的時間間隔內(nèi)質(zhì)點c向上運動E.當(dāng)質(zhì)點d向下運動時，質(zhì)點b一定向上運動【解析】A．在t=6s時刻波傳播的距離，，A正確；B．用波函數(shù)，其中因為，所以，又,所以，將t=5s代入得t=5s時刻的波的方程，用Excel作出t=5s時刻的波的圖象如下圖從同圖象可以看出，在t=5s時刻質(zhì)點c（）恰好到達(dá)平衡位置，B錯誤。C．質(zhì)點b開始振動后，其振動周期與a相等為4s，C正確D．用波函數(shù)將，，代入得質(zhì)點C的振動方程為，用Excel作出質(zhì)點C的振動圖象如下圖從同圖象可以看出，在4s<t<6s的時間間隔內(nèi)質(zhì)點c向上運動，D正確。E．b點的振動方程是，d點的振動方程是,用Excel在同一坐標(biāo)系中作出質(zhì)點b和d的振動圖象如下圖（蘭線為b,紅線為d）從圖象可以看出，當(dāng)質(zhì)點d向下運動時（例如從t=1到3），質(zhì)點b不一定向上運動，所以E錯誤。綜上所述，本題選ACD。例9.甲乙兩列簡諧橫波在同一介質(zhì)中分別沿軸正向和負(fù)向傳播，波速均為，兩列波在時的波形曲線如圖所示求（=1\*romani）時，介質(zhì)中偏離平衡位置位移為16的所有質(zhì)點的坐標(biāo)（=2\*romanii）從開始，介質(zhì)中最早出現(xiàn)偏離平衡位置位移為的質(zhì)點的時間【解答：原解法】（i）t=0時，在x=50cm處兩列波的波峰相遇，該處質(zhì)點偏離平衡位置的位移16cm.兩列波的波峰相遇處的質(zhì)點偏離平衡位置的位移均為16cm。從圖線可以看出，甲，乙兩列波長分別為，=1\*GB3①甲，乙兩列波波峰的x坐標(biāo)分別為，…=2\*GB3②,…=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③式得，介質(zhì)中偏離平衡位置位移為16cm的所有質(zhì)點的x坐標(biāo)為x=（50+300n）cm，，…=4\*GB3④【解析：波函數(shù)解法】寫出兩列波時的波函數(shù)如下：（）（）用Excel計算插入散點圖，可得到與題圖相同的圖象，如下：增加，得到的是一條兩列波疊加以后的圖象，從圖象可以看出，當(dāng)時，兩列波的位移都是8，疊加后的波的位移是16.那么，這樣的點還有多少呢？把圖象延長，得到如下的圖象，從圖象中可以看出：當(dāng)…可以寫出通式x=（50+300n）cm，，…兩列波波峰與波峰相遇，疊加后，偏離平衡位置的位移為32cm。（ii）【原答案】只有兩列波的波谷相遇處的質(zhì)點的位移為-16cm.t=0時，兩波波谷間的x坐標(biāo)之差為=5\*GB3⑤式中，和均為整數(shù)。將=1\*GB3①式代入=5\*GB3⑤式得=6\*GB3⑥由于，均為整數(shù)，相向傳播的波谷間的距離最小為=7\*GB3⑦從=0開始，介質(zhì)中最早出現(xiàn)偏離平衡位置位移為-16cm的質(zhì)點的時間為=8\*GB3⑧代入數(shù)值得=0.1s=9\*GB3⑨【波函數(shù)圖象解法】實際上，從圖象可以看出，當(dāng)，甲波為波谷，當(dāng)，乙波為波谷，二者相距最近，由于兩列波向向傳播，所以，時間【點評】本題考查兩列波的疊加，難度：難。例10.一簡諧橫波沿水平繩向右傳播，波速為v，周期為T，振幅為A。繩上兩質(zhì)點M、N的平衡位置相距3/4波長，N位于M右方。設(shè)向上為正，在t=0時M位移為+A/2，且向上運動；經(jīng)時間t（t<T），M位移仍為+A/2，但向下運動，則（A）在t時刻，N恰好在波谷位置（B）在t時刻，N位移為負(fù)，速度向上（C）在t時刻，N位移為負(fù)，速度向下（D）在2t時刻，N位移為-A/2，速度向下【波函數(shù)解法】因為是選擇題，原題只有答案C而沒有解法。波函數(shù)設(shè)：振幅，波長，周期時的波函數(shù)為因為，所以在時刻的波函數(shù)是則在2t時刻，波函數(shù)是用電腦Excel作出3個波形圖象，如下圖，其中，蘭線為時的波形圖，紅線為時的波形圖，黃線為2時的波形圖.從圖象可以看出：在t時刻，N不在波谷位置；在t時刻，N位移為負(fù)，速度向下，在2t時刻，N位移為0，速度向上。所以答案為C.波函數(shù)是解決復(fù)雜、疑難的有關(guān)波的問題的利器，屢試不爽。大家知道，小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題難，學(xué)會代數(shù)就不難；初中平面幾何難，學(xué)會解析幾何就不難；同樣，高中物理振動與波題難，學(xué)會波函數(shù)就不難了。例11.由波源S形成的簡諧橫波在均勻介質(zhì)中向左、右傳播。波源振動的頻率為20Hz，波速為16m/s。已知介質(zhì)中P、Q兩質(zhì)點位于波源S的兩側(cè)，且P、Q和S的平衡位置在一條直線上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之間的距離分別為15.8m、14.6m，P、Q開始振動后，下列判斷正確的是_____。（填正確答案標(biāo)號。選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分。每選錯1個扣3分，最低得分為0分）A．P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相同B．P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反C．當(dāng)S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點也正好通過平衡位置D．當(dāng)S恰好通過平衡位置向上運動時，P在波峰E．當(dāng)S恰好通過平衡位置向下運動時，Q在波峰【解析】根據(jù)題意信息，，根據(jù)，得波長為找P點關(guān)于S點的對稱點P’,根據(jù)對稱性可知P’和P的振動情況完全相同，P’Q兩點相距為半波長的整數(shù)倍，所以兩點為反相點，故P’Q兩點振動方向始終相反，則PQ兩點振動方向始終相反，A錯誤B正確；P點距離S點，當(dāng)S恰好通過平衡位置向上振動時，P點在波峰，Q點相距S點，，當(dāng)S恰好通過平衡位置向下振動時，Q點在波峰，DE正確。（以上的“解析”，不畫圖象，你信服嗎？）【易錯點】P、Q的平衡位置之間的距離為15.8+14.6=20.4cm，為個波長，所以P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反，則B正確，A錯誤。錯誤原因是P、Q在波源的兩側(cè)而不是同側(cè)?！居貌ê瘮?shù)和圖象研究】當(dāng)S恰好通過平衡位置向上運動時，波函數(shù)：Y=SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=-SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的圖象如下：從圖象可以看出，P(設(shè)x=1.4，位置與相同)在波峰。當(dāng)S恰好通過平衡位置向下運動時，波函數(shù)：Y=-SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的圖象如下：從圖象可以看出，Q(設(shè)x=-1，因為位置與同相)在波峰。從以上兩個圖象都可以看出，P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反而不是相同，A錯誤，B正確。并且當(dāng)S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點都不通過平衡位置，C錯誤?！敬鸢浮緽DE【點評】本題考查機械波的傳播，難度：中等。例12.甲、乙兩列橫波在同一介質(zhì)中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播，波速為2m/s，振幅相同；某時刻的圖像如圖所示。則（A）甲乙兩波的起振方向相反（B）甲乙兩波的頻率之比為3:2（C）再經(jīng)過3s，平衡位置在x=7m處的質(zhì)點振動方向向下（D）再經(jīng)過3s，兩波源間（不含波源）有5個質(zhì)點位移為零【解析】據(jù)題意，甲波向右傳播，乙波向左傳播，起振方向都向上，A正確；從圖可以看出，，；根據(jù)，得，，所以甲乙兩波的頻率之比為3:2，B正確；再經(jīng)過3s，甲波波谷到達(dá)x=7m處，乙波是平衡位置與波峰之間某振動到達(dá)x=7m處，所以，該質(zhì)點應(yīng)該向上振動（語焉不詳），C錯誤；此時，除了波源還有x=9m，x=6-7m，x=6m，x=5-6m，x=2-3m處質(zhì)點位移為0（語焉不詳且不太準(zhǔn)確），D正確?！敬鸢浮緼BD（這最后一問的“解析”，不畫圖象，你更不信服吧！這幾個數(shù)據(jù)從何而來？）【用波函數(shù)和圖象研究】再經(jīng)過3s時的波函數(shù)（M-N之間即0-12之間）如下：Y甲=SIN(2*3.1415926*X/4),()Y乙=SIN(2*3.1415926*X/6),()Y=Y甲+Y乙,()再經(jīng)過3s時的波形圖像（M-N之間即0-12之間）如下從圖像可以看出，再經(jīng)過3s，平衡位置在x=7m處的質(zhì)點（黃色）在平衡位置以下。從以上圖像還可以看出，再經(jīng)過3s，兩波源間（不含波源）有5個質(zhì)點位移為零（黃線與x軸的交點）處，分別為x=9m，x=7-7.5m，x=6m，x=4.5-5m，x=2-2.5m處，（有2處與“解析”不同），所以D正確。為了進(jìn)一步理解x=7的點的運動趨勢，我再畫再過0.5s后的波形圖象，先寫出波函數(shù)。因為，所以甲波向右傳播1m，乙波向左傳播1m，Y甲=SIN(2*3.1415926*(X-1)/4)，()Y乙=SIN(2*3.1415926*(X+1)/6)，（）再過0.5s后的波形圖象如下兩個圖象對比可以得到，在t=3s時，平衡位置為x=7的質(zhì)點是向上運動的。這里需要指出的是，在兩個波合成的波中，不能像一個波那樣，按照“上坡下行，下坡上行”的土辦法判斷質(zhì)點的運動方向了?！敬鸢浮緼BD【點評】本題考查機械波的傳播，質(zhì)點的振動，難度：較難通過波的前沿質(zhì)點振動方向判斷波的起振方向，根據(jù)波長、波速與頻率關(guān)系計算兩列波的頻率，通過平移法畫出再經(jīng)過3s時的波形，再進(jìn)行分析問題。例13.在均勻介質(zhì)中坐標(biāo)原點O處有一波源做簡諧運動，其表達(dá)式為，它在介質(zhì)中形成的簡諧橫波沿x軸正方向傳播，某時刻波剛好傳播到x=12m處，波形圖像如圖所示，則A、此后再經(jīng)過6s該波傳播到x=24m處B、M點在此后第3s末的振動方向沿y軸正方向C、波源開始振動時的運動方向沿y軸負(fù)方向D、此后M點第一次到達(dá)y=-3m處所需時間是2s【解析】波的周期，波長，波速，則再經(jīng)過6s,波傳播的距離為x=vt=12m,故該波傳到x=24m處，選項A正確；M點在此時振動方向向下，則第3秒末，即經(jīng)過了0.75T,該點的振動方向沿y軸正向（語焉不詳），選項B正確；因波傳到x=12m處時，（波前）質(zhì)點向y軸正向振動，故波源開始振動時的運動方向沿y軸正向，C錯；M點第一次到達(dá)y=-3cm位置時，振動的時間為（為什么？語焉不詳）D錯誤；選AB.【用波函數(shù)和圖象研究】某時刻（t=0）的波函數(shù)為Y0=5*SIN(3.1415926*X/4),()t=3s時刻的波函數(shù)為Y3=5*SIN(3.1415926*2*(X/8-3/4)),()t=0（蘭線）和t=3s（紅線）的波形圖：從圖象可以看出，M點在此后第3s末的位置約在y=4m處，其振動方向沿y軸正方向（下坡上行）.M點的振動方程如下，因為當(dāng)時，，所以，，即或，則或1.58s所以振動方程為Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.3)/4) 或Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.6)/4)M點的振動圖象分別如下圖：從以上圖象可以看出，此后M點第一次到達(dá)y=-3m處所需時間約是2s，但是，次圖象表明，在t=0s時刻，M點是向上運動的，但原題，M點是向下運動的（見上圖之波形圖）.這兩個圖象判斷M點的運動方向，也體現(xiàn)了振動圖像與波形圖的不同，在振動圖像中，是“上坡上行，下坡下行”，波形圖中是“沿波的傳播方向看，上坡下行，下坡上行”，可見，對老師教的“解題經(jīng)驗”，不能死記硬背，要靈活應(yīng)用。例14.如圖1，在xoy平面內(nèi)有一列沿x軸傳播的簡諧橫波，頻率為2.5Hz。在t=0時，P點位于平衡位置且速度向下，Q點位于平衡位置下方的最大位移處，則在t=0.35s時，P、Q兩質(zhì)點的（）A.位移大小相等，方向相反B.速度大小相等，方向相同C.速度大小相等，方向相反D.加速度大小相等，方向相反圖1解法1.圖象法（原答案解法），先畫出t=0時的波形圖象如圖2之實線所示。圖2，t=0.35s=,再畫出t=0.35s時的波形圖象如圖2之虛線所示（與的波形圖相同）。根據(jù)圖象可知，ABD正確。解法2.公式法（波函數(shù)法和微分法）：根據(jù)已知條件，寫出t=0時的波動方程（P點x=0，y=0,Q點x=，y=-A），根據(jù)在t=0時，P點速度向下，進(jìn)一步寫出波函數(shù)為，將代入，得，當(dāng)t=0.35s=時的方程為，P點坐標(biāo)為（0,0.707A），Q點坐標(biāo)為（,-0.707A）,所以位移大小相等，方向相反，A正確；速度是位移對時間的微分，所以=A，其中，令,則P點xP=0，vP=-0.707,Q點xQ=，vQ=-0.707,所以速度大小相等，方向相同，即B正確，C錯誤；加速度是速度對時間的微分，所以=A，其中，令,則P點xP=0，aP=-0.707,Q點xQ=，aQ=0.707,所以加速度大小相等，方向相反，即D正確；所以本題選ABD。解法3.用Excel作圖法（公式法和圖象法的綜合應(yīng)用）圖3是t=0和t=0.35s時的位移圖象（系列1即藍(lán)線是t=0時的位移圖象，系列2即紅線是t=0.35s時的位移圖象），圖3從圖象可以看出，在t=0時，P點（x=0）的位移為0（y=0）且質(zhì)點的運動方向向下（上坡），Q點（x=1.5即，因為）的位移為-A（y=-1，A=1）,符合題意。在t=0.35時，P點（x=0）的位移為0.7A（y=0.7），Q點（x=1.5即，因為）的位移為-0.7A（y=-0.7，A=1），所以P點和Q點在t=0.35s時的位移大小相等，方向相反，A正確。表1與圖3對應(yīng)的數(shù)據(jù)表000.7071070.1250.3826830.923880.250.70710710.3750.923880.923880.510.7071070.6250.923880.3826830.750.707107-5.4E-080.8750.382683-0.3826815.36E-08-0.707111.125-0.38268-0.923881.25-0.70711-11.375-0.92388-0.923881.5-1-0.707111.625-0.92388-0.382681.75-0.7071101.875-0.382680.3826832-1.1E-070.7071072.1250.3826830.92388與表1對應(yīng)的公式B1=SIN(3.1415926*A1)C1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))圖4是t=0.35s時的位移、速度、加速度圖象（系列1即藍(lán)線是t=0.35時的位移圖象，系列2即紅線是t=0.35s時的速度圖象，系列3即黃線是t=0.35s時的加速度圖象）圖4從上圖可以看出，P點和Q點在t=0.35s時的位移大小相等，方向相反（xP=0.7,xQ=-0.7）,P點和Q點在t=0.35s時的速度大小相等，方向相同（vP=0.7,vQ=0.7）,P點和Q點在t=0.35s時的加速度大小相等，方向相反（aP=-0.7,aQ=0.7）,所以答案為ABD。表2與圖4對應(yīng)的數(shù)據(jù)表00.707107-0.707106715-0.707110.1250.92388-0.382683352-0.923880.2518.03847E-08-10.3750.923880.3826835-0.923880.50.7071070.707106829-0.707110.6250.3826830.923879556-0.382680.75-5.4E-0815.36E-080.875-0.382680.9238795150.3826831-0.707110.7071067530.7071071.125-0.923880.3826834010.923881.25-1-2.67949E-0811.375-0.92388-0.3826834510.923881.5-0.70711-0.7071067910.7071071.625-0.38268-0.9238795350.3826831.750-101.8750.382683-0.923879535-0.3826820.707107-0.707106791-0.70711與表2對應(yīng)的方程：B1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))C1=-COS(3.1415926*(A1-14/8))D1=-SIN(3.1415926*(A1-14/8))三種方法之比較：圖象法很直觀，但不太精確，公式法較精確，但不直觀，Excel作圖法既直觀又精確，但比較麻煩。關(guān)于名牌大學(xué)自主招生考試題與高考題及競賽題的比較：難度：名牌大學(xué)自主招生考試題在高考題與競賽題之間，例如關(guān)于波動問題，高考題一般是時間是周期的四分之一的整數(shù)倍（最近兩年有的省跨越了這個界限），所以一般用圖象法可解，名牌大學(xué)自主招生考試題中時間不一定是周期的四分之一的整數(shù)倍，所以僅用圖象法沒有十分把握，因為不能精確計算，本題還好，時間=,可以估計出來。例15.從兩個波源發(fā)出的兩列振幅相同、頻率均為5Hz的簡諧橫波，分別沿x軸正、負(fù)方向傳播，在某一時刻到達(dá)A、B點，如圖中實線、虛線所示。兩列波的波速均為10m/s。求（i）質(zhì)點P、O開始振動的時刻之差；（ii）再經(jīng)過半個周期后，兩列波在x=1m和x=5m之間引起的合振動振幅極大和極小的質(zhì)點的x坐標(biāo)。【解答】（i）根據(jù)波速公式，得，根據(jù)波傳播過程中的時間和空間的關(guān)系，即每經(jīng)過1個周期，傳播一個波長。以O(shè)點為波源的波（為方便，稱為波1,下同）向右傳播到A點，2個波長，所以時間為2個周期；以P點為波源的波（為方便，稱為波2,下同）向左傳播到B點，個波長，所以時間為個周期；所以質(zhì)點P、O開始振動的時刻之差為，波2比波1晚。（ii）波函數(shù)法波函數(shù)公式本題設(shè)以O(shè)點為波源向右傳播的波為波1，以,P點為波源向左傳播的波為波2，則對于x=1，2，3，4，5的點，因為，所以它們的合振動方程是，合振幅為分振動的振幅的2倍，是極大值。對于x=1.5，2.5，3,5，4.5，5.5的點，因為，所以它們的合振動振幅為0，是極小值。本題波函數(shù)法用到的數(shù)學(xué)公式：，，記憶方法是：奇變偶不變，符號看象限，也可以用移動坐標(biāo)軸的方法，“+”號向左移，“-”號向右移。，。注意：前加后減，前減后加。例16.一列簡諧橫波在t=時的波形圖如圖（a）所示，P、Q是介質(zhì)中的兩個質(zhì)點，圖（b）是質(zhì)點Q的振動圖像。求（i）波速及波的傳播方向；（ii）質(zhì)點Q的平衡位置的x坐標(biāo)。【傳統(tǒng)方法】34.（2）（i）由圖（a）可以看出，該波的波長為①由圖（b）可以看出，周期為T=2s②波速為③由圖（b）知，當(dāng)時，Q點向上運動，結(jié)合圖（a）可得，波沿x軸負(fù)方向傳播。（ii）設(shè)質(zhì)點P、Q平衡位置的x坐標(biāo)分別為xP、xQ。由圖（a）知，x=0處，因此④由圖（b）